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| 第3讲 三角函数的图象与性质 |
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结束放映返回概要获取详细资料请浏览：www.zxjkw.com【2014年高考会这样考】1．考查三角函数的单调性、奇偶性、周期性和对称性．2．考查三角函数的图象在研究三角函数性质中的应用．第3讲三角函数的图象与性质抓住1个考点突破3个考向揭秘3年高考活页限时训练正弦、余弦、正切函数的图象和性质考向一考向二考向三单击标题可完成对应小部分的学习，每小部分独立成块，可全讲，也可选讲助学微博考点自测A级【例2】【训练2】【例1】【训练1】【例3】【训练3】三角函数的奇偶性、周期性及对称性与三角函数有关的定义域和值域问题三角函数的单调性选择题填空题解答题B级选择题填空题解答题如何解决三角函数的值域(或最值)问题考点梳理一点提醒两种方法助学微博考点自测单击图标显示详解答案显示单击题号显示结果AB12单击转3-5题单击图标显示详解答案显示单击题号显示结果BA345考点自测单击转1-2题【审题视点】解(1)考向一与三角函数有关的定义域和值域问题【审题视点】解(2)考向一与三角函数有关的定义域和值域问题【方法锦囊】11解析(1)考向一与三角函数有关的定义域和值域问题解析(2)【审题视点】考向二三角函数的单调性解析（1）考向二三角函数的单调性解析(2)【审题视点】考向二三角函数的单调性解析（1）易理解y=sint与y=-sint单调增减区间对调不变ω的符号为正可以做吗？我们知到复合函数y=f(g(x)),只有f(t)与g(x)同增同减时y才为增函数于是由得出结论，整理看得到的结论相同吗？【审题视点】考向三三角函数的奇偶性、周期性及对称性解析XY1-1此时图像最高点落在Y轴上，即x=0时，y取得最大值，且关于Y轴对称，函数是偶函数，此时图像最低点落在Y轴上，即x=0时，y取得最小值，且关于Y轴对称，函数是偶函数，于是【方法锦囊】考向三三角函数的奇偶性、周期性及对称性解析规范解答6——如何解决三角函数的值域（或最值）问题揭秘3年高考【命题研究】通过近三年的高考试题分析，对三角函数的值域(或最值)的考查特别青睐，主要考查y＝Asin(ωx＋φ)形式的三角函数在R上或给定的闭区间[a，b]上的值域(或最值)，往往作为某一种答题的其中一问，题目难度不大．【教你审题】揭秘3年高考通过近三年的高考试题分析，对三角函数的值域(或最值)的考查特别青睐，主要考查y＝Asin(ωx＋φ)形式的三角函数在R上或给定的闭区间[a，b]上的最值(或值域)，往往作为某一种答题的其中一问，题目难度不大．【教你审题】揭秘3年高考【阅卷老师手记】【模板构建】第一步第二步第三步第四步揭秘3年高考解揭秘3年高考一、选择题单击显：题干/详解点击题号出答案题号1234BBACA级基础演练单击显：题干/详解点击题号出答案题号二、填空题56A级基础演练三、解答题A级基础演练78三、解答题A级基础演练78三、解答题A级基础演练78一、选择题单击显：题干/详解点击题号出答案题号12AAB级能力突破单击显：题干/详解点击题号出答案题号二、填空题34B级能力突破结束放映返回概要获取详细资料请浏览：www.zxjkw.com求出所求函数的值域(或最值)．
[－－，2－]．(12分)
其中当2kπ＋＜2x＋≤2kπ＋，kZ时g(x)单调递增即kπ＜x≤kπ＋k∈Z，
g(x)的单调增区间为k∈Z.
又当2kπ＋＜2x＋＜2kπ＋k∈Z时，g(x)单调递减，即kπ＋＜x＜kπ＋，kZ.
∴g(x)的单调减区间为k∈Z
综上，g(x)的递增区间为(kZ)；递减区间为(kZ).
∴当sinx＝时，ymin＝；
故函数的定义域为：故其最小正周期为π，函数f(x)在上是增函数，
故选C
1．(2011·山东)若函数f(x)＝sinωx(ω＞0)在区间上单调递增，在区间上单调递减，则ω＝()．
A.B.C．2D．3
6．(13分)已知a＞0，函数f(x)＝－2asin＋2a＋b，当x时，－5≤f(x)≤1.(1)求常数a，b的值(2)设g(x)＝f且lgg(x)＞0求g(x)的单调区间．
(1)求与三角函数有关的定义域问题实际上是解简单的三角不等式，常借助三角函数线或三角函数图象来求解．
(2)求解三角函数的值域(最值)首先把三角函数化为y＝Asin(ωx＋φ)＋k的形式，再求最值(值域)，或用换元法(令t＝sinx，或t＝sinx±cosx)化为关于t的二次函数求值域(最值)．
充分利用对称轴x＝π；
一审：
∴由2kπ＋π≤2x＋≤2kπ＋2π得
【例2】?(2012·北京)已知函数f(x)＝.
2．(2012·洛阳模拟)已知ω是正实数，且函数f(x)＝2sinωx在上是增函数，那么()．A．0<ω≤B．0<ω≤2C．0<ω≤D．ω≥2
故y＝cos的单调递增区所以f(x)的最小正周期为π.
由x的取值范围确定ωx＋φ的取值范围，再确定sin(ωx＋φ)的取值范围．
1．解析先将f(x)化为单一函数形式：f(x)＝sin，
∵f(x)的最小正周期为π，∴ω＝2.∴f(x)＝sin.
由f(x)＝f(－x)知f(x)是偶函数，因此φ＋＝kπ＋(k∈Z)．
又|φ|<，∴φ＝，∴f(x)＝cos2x.由0<2x<π，得0
2．解析因为f(x)＝sinx－cosx＋sinx＝×＝sin，
所以函数f(x)的值域为[－，]．答案B
1．(2011·新课标全国)设函数f(x)＝sin(ωx＋φ)＋cos(ωx＋φ)的最小正周期为π，且f(－x)＝f(x)，则()．
A．f(x)在单调递减B．f(x)在单调递减
C．f(x)在单调递增D．f(x)在单调递增
2．(2012·湖南)函数f(x)＝sinx－cos的值域为()．
A．[－2,2]B．[－，]C．[－1,1]D.
【训练3】(2012·银川联考)已知函数f(x)＝sin(x∈R)，下面结论错误的是()．A．函数f(x)的最小正周期为π函数f(x)的图象关于直线x＝对称
B．函数f(x)是偶函数D.函数f(x)在区间上是增函数
(1)若0＜α＜g(x)＝sin是偶函数则α的值为__(2)函数y＝2sin(3x＋φ)的一条对称轴为x＝则φ＝___∴k＝04．(2012·西安模拟)下列命题中：
①α＝2kπ＋(k∈Z)是tanα＝的充分不必要条件；
②函数f(x)＝|2cosx－1|的最小正周期是π；
③在△ABC中，若cosAcosB>sinAsinB，则△ABC为钝角三角形；
④若a＋b＝0,则函数y＝asinx－bcosx的图象的一条对称轴方程为x＝.
其中是真命题的序号为___
解析①∵α＝2kπ＋?tanα＝，而tanα＝?/α＝2kπ＋，∴①正确．
②∵f(x＋π)＝|2cos(x＋π)－1|＝|－2cosx－1|＝|2cosx＋1|≠f(x)，∴②错误．
③∵cosAcosB>sinAsinB，∴cosAcosB－sinAsinB>0，即cos(A＋B)>0，
∵0
④∵a＋b＝0，∴b＝－a，y＝asinx－bcosx＝asinx＋acosx＝asin，
∴x＝是它的一条对称轴，∴④正确．
∵y＝cosx的单调递增区间为[2kπ＋π2kπ＋2π]k∈Z.
故φ＝.
【规范解答】
1．(2012·新课标全国)已知ω>0，函数f(x)＝sin在单调递减，则ω的取值范围是()．
A.B.C.D．(0,2]
当2x＋＝－，即x＝－时，X
故f(x)的定义域为{x∈R|x≠kπ，k∈Z}，
6．若f(x)＝2sinωx(0<ω<1)在区间上的最大值是，则ω＝________.
故A正确；∴函数f(x)的值域为(1)由sinx≠0，得x≠kπ(kZ)，
4．(2011·安徽)已知函数f(x)＝sin(2x＋φ)，其中φ为实数．若f(x)≤对xR恒成立，且f＞f(π)，则f(x)的单调递增区间是()．
A.(kZ)B.(k∈Z)
C.(k∈Z)D.(k∈Z)
解析由f(x)＝sin(2x＋φ)，且f(x)≤对xR恒成立，f＝±1，即sin＝±1.
＋φ＝kπ＋(kZ)．φ＝kπ＋(kZ)．又f>f(π)，即sin(π＋φ)>sin(2π＋φ)，
－sinφ>sinφ.sinφ<0.∴对于φ＝kπ＋(kZ)，k为奇数．
f(x)＝sin(2x＋φ)＝sin＝－sin.由2mπ＋≤2x＋≤2mπ＋(mZ)，
得mπ＋≤x≤mπ＋(mZ)，f(x)的单调递增区间是(mZ)．
得φ＝kπ＋(k∈Z)，
5．(12分)已知函数f(x)＝coscos，g(x)＝sin2x－.
(1)求函数f(x)的最小正周期；(2)求函数h(x)＝f(x)－g(x)的最大值，并求使h(x)取得最大值的x的集合．
＝sin2x－cos2x=sin，
∵0<α<，(2)由y＝sinx的对称轴为x＝kπ＋(k∈Z)，
二审：
解(2)由(1)得a＝2，b＝－5，f(x)＝－4sin－1，g(x)＝f＝－4sin－1＝4sin－1，
又由lgg(x)＞0，得g(x)＞1，
4sin－1＞1，
sin＞，2kπ＋＜2x＋＜2kπ＋k∈Z，
函数y＝sinx的单调递减区间为
（1）因为f(x)＝4cosxsin－1
＝sin2x＋2cos2x－1
(2)因为－≤x≤，
于是，当2x＋＝，即x＝时，【训练1】(1)函数y＝的定义域为________；
(2)当x∈时，函数y＝3－sinx－2cos2x的最小值为____，
最大值为_____．
＝3－sinx－2(1－sin2x)
y＝3－sinx－2cos2x即，
所以f(x)的最小正周期是.(6分)
(1)将所给函数变换到f(x)＝Asin(ωx＋φ)的形式时由于变换公式和变换方法不熟造成失分．
(2)有的考生混淆了对称轴与对称中心，导致失分．
由函数f(x)＝－cos2x的图象可知，f(x)＝sin＝－cos2x，求三角函数值域(最值)的两种方法
(1)将所给函数化为y＝Asin(ωx＋φ)的形式，通过分析ωx＋φ的范围，结合图象写出函数的值域；
(2)换元法：把sinx(cosx)看作一个整体，化为二次函数来解决．
故f(x)max＝，f(x)min＝－1.
只需令＋α＝＋kπ(k∈Z)；
则需＋α＝kπ＋，kZ，确定λ的值．
f(x)＝2cosxsinx－2cos2x＋1即ω＝＋(kZ)，所以k＝1，＝－cos2ωx＋sin2ωx＋λ由直线x＝π是y＝f(x)图象的一条对称轴，
【真题探究】(本小题满分12分)(2012·湖北)已知向量a＝(cosωx－sinωx，sinωx)，b＝(－cosωx－sinωx,2cosωx)，设函数f(x)＝a·b＋λ(xR)的图象关于直线x＝π对称，其中ω、λ为常数，且ω.(1)求函数f(x)的最小正周期；(2)若y＝f(x)的图象经过点，求函数f(x)在区间上的取值范围．
(k∈Z)．
求原函数的定义域，只要使得原函数式有意义即可；先化简原函数为f(x)＝Asin(ωx＋φ)的形式，再求周期及单调区间．
【方法锦囊】
求较为复杂的三角函数的单调区间时，首先化简成
y＝Asin(ωx＋φ)形式，再求y＝Asin(ωx＋φ)的单调区间，只需把
ωx＋φ看作一个整体代入y＝sinx的相应单调区间内即可注意要先把ω化为正数．
（2）
∴由＋2kπ≤－≤2kπ＋，k∈Z故y＝3sin的单调递增区间为(k∈Z)
－8.(13分)(201·东营模拟)已知函数f(x)＝cos＋2sinsin(1)求函数f(x)的最小正周期和图象的对称轴；
(2)求函数f(x)在区间上的值域．
＝sin2x－cos2x－1
∴sinx∈，
故f(x)＝2sin－.
7．(12分)设f(x)＝.
(1)求f(x)的定义域；(2)求f(x)的值域及取最大值时x的值．
【例2】?(2012·北京)已知函数f(x)＝.
求函数y＝Asin(ωx＋φ)的单调区间时，应注意ω的符号，只有当ω>0时，才能把ωx＋φ看作一个整体，代入y＝sint的相应单调区间求解，否则将出现错误．
易知函数f(x)是偶函数，B正确；函数f(x)的图象关于直线x＝对称，∵x∈，三审：
解(1)x∈，2x＋.
∴sin∈，－2asin[－2a，a]．f(x)∈[b,3a＋b]，又－5≤f(x)≤1，b＝－5,3a＋b＝1，因此a＝2，b＝－5.
【训练2】求下列函数的单调递增区间：(1)y＝cos；(2)y＝3sin.
＝sin2x＋cos2x
kπ＋≤x≤kπ＋k∈Z
，kZ.
＝2sin，
所以f(x)的最小正周期T＝＝π.
5．定义在R上的函数f(x)既是偶函数又是周期函数，若f(x)的最小正周期是π，且当x∈时，f(x)＝sinx，则f的值为________．
＝2sin2x－sinx＋1
D正确，
由函数f(x)的图象易知，
3．(201·徐州模拟)已知函数f(x)＝(sinx＋cosx)－|sinx－cosx|，则f(x)的值域是________．
准确化成形如f(x)＝Asin(ωx＋φ)的形式；
f(x)取得最小值－1.
求原函数的定义域，只要使得原函数式有意义即可；先化简原函数为f(x)＝Asin(ωx＋φ)的形式，再求周期及单调区间．
＝22＋.
当sinx＝－时，ymax＝2.
由题意知：tanx≠1，2．已知函数f(x)＝sin(x＋θ)＋cos(x＋θ)是偶函数，则θ的值为()．A．0B.C.D.
3．函数y＝2sin(0≤x≤9)的最大值与最小值之和为()．A．2－B．0C．－1D．－1－
(1)要使g(x)＝sin为偶函数，又|φ|＜，
∴α＝.
即3×＋φ＝kπ＋(kZ)，
6．(13分)已知a＞0,函数f(x)＝－2asin＋2a＋b,当x∈时,－5≤f(x)≤1.
(1)求常数a，b的值;(2)设g(x)＝f且lgg(x)＞0,求g(x)的单调区间．
【例1】(2)函数f(x)＝2cosx(sinx－cosx)＋1在x上的最大值为____最小值为____．
所以2ωπ－＝kπ＋(kZ)，(k∈Z)．
由2kπ＋≤2x－≤2kπ＋，x≠kπ(kZ)，
得kπ＋≤x≤kπ＋(kZ)．
＝4cosx－1
(2)由y＝f(x)的图象过点，得f＝0，
即λ＝－.(9分)
＝－2sin＝－，所以－≤2x＋≤.
f(x)取得最大值2；因为f(x)＝
＝sin－1，
又，又x，三角函数式的化简，一般化成形如y＝Asin(ωx＋φ)＋h的形式或y＝Acos(ωx＋φ)＋k的形式．
根据题设条件求出y＝Asin(ωx＋φ)＋h中有关的参数．
【规范解答】
即λ＝－2sin＝2cosx(sinx－cosx)
C错误；
3．已知函数f(x)＝sin(ω>0)的最小正周期为π，则该函数的图象A．关于直线x＝对称B．关于点对称()．C．关于直线x＝－对称D．关于点对称
4．(2013·郑州模拟)已知ω是正实数，且函数f(x)＝2sinωx在上是增函数，那么()．
A．0<ω≤B．0<ω≤2C．0<ω≤D．ω≥2
5．(2012·全国)当函数y＝sinx－cosx(0≤x＜2π)取得最大值时，x＝____.
①③④
∴sin∈，
(2)应满足3×＋
φ＝kπ＋(k∈Z)
α＝kπ＋，kZ，可得sin＝±1，
又ω，kZ，故ω＝.(5分)
(1)f(x)＝sin2ωx－cos2ωx＋2sinωx·cosωx＋λ＝2sin＋λ.(3分)8.(13分)(201·东营模拟)已知函数f(x)＝cos＋2sinsin(1)求函数f(x)的最小正周期和图象的对称轴；(2)求函数f(x)在区间上的值域．
解()∵x∈，2x－，
－≤sin≤1.
即函数f(x)在区间上的值域为.
所以f(x)的单调递减区间为
【试一试】(2011·北京)已知函数f(x)＝4cosxsin－1.
(1)求f(x)的最小正周期；
(2)求f(x)在区间上的最大值和最小值．
y＝3sin＝－3sin，4kπ＋≤x≤4kπ＋，k∈Z.
Y
正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中kZ).
函数 y＝sinx y＝cosx y＝tanx 图象 定义域 R R 值域 [－1,1] [－1,1] R 周期性 2π 2π π 奇偶性 奇函数 单调性 [2kπ－，2kπ＋]为增；[2kπ＋，2kπ＋]为减 [2kπ，2kπ＋π]为减；[2kπ－π，2kπ]为增 kπ－，kπ＋为增 对称中心 对称轴 x＝kπ 无 【例1】(1)函数y＝的定义域为_______．
(2)函数f(x)＝2cosx(sinx－cosx)＋1在x
上的最大值为________，最小值为________．
sinx－cosx＝sin≥0，
将x－视为一个整体，
由正弦函数y＝sinx的图象和性质可知2kπ≤x－≤π＋2kπ，kZ，解得2kπ＋≤x≤2kπ＋，kZ.
所以定义域为.
将2x－看做一个整体，根据y＝sinx的单调递减区间列不等式求解．
将2x＋看做一个整体根据y＝cosx的单调递增区间列不等式求解．
【例3】?函数
y＝Asin(ωx＋φ)
(ω≠0)为奇函数的充要条件为
φ＝kπ(k∈Z)；
为偶函数的充要条件为
φ＝kπ＋(k∈Z)
(2)求f(x)＝Asin(ωx＋φ)(ω≠0)的对称轴，只需令ωx＋φ＝＋kπ(k∈Z)，求x；如要求f(x)的对称中心的横坐标，只需令ωx＋φ＝kπ(k∈Z)即可．
解(1)f(x)＝cos＋2sinsin
＝cos2x＋sin2x＋(sinx－cosx)(sinx＋cosx)
＝cos2x＋sin2x＋sin2x－cos2x＝cos2x＋sin2x－cos2x＝sin.
∴最小正周期T＝＝π，由2x－＝kπ＋(k∈Z)，
得x＝＋(kZ)．函数图象的对称轴为x＝＋(kZ)．
解(1)由1－2sinx≥0，根据正弦函数图象知：
定义域为{x|2kπ＋π≤x≤2kπ＋，kZ}．
(2)∵－1≤sinx≤1，－1≤1－2sinx≤3，
1－2sinx≥0，0≤1－2sinx≤3，
f(x)的值域为[0，]，
当x＝2kπ＋，kZ时，f(x)取得最大值．
4．(2012·西安模拟)下列命题中：
①α＝2kπ＋(k∈Z)是tanα＝的充分不必要条件；
②函数f(x)＝|2cosx－1|的最小正周期是π；
③在△ABC中，若cosAcosB>sinAsinB，则△ABC为钝角三角形；
④若a＋b＝0,则函数y＝asinx－bcosx的图象的一条对称轴方程为x＝.
其中是真命题的序号为___
解(1)f(x)＝coscos＝·
＝cos2x－sin2x＝－＝cos2x－，
f(x)的最小正周期为＝π.
(2)由(1)知h(x)＝f(x)－g(x)＝cos2x－sin2x＝cos，
当2x＋＝2kπ(kZ)，即x＝kπ－(kZ)时，h(x)取得最大值.
故h(x)取得最大值时，对应的x的集合为.
解析由题意知f(x)的一条对称轴为x＝，和它相邻的一个对称中心为原点，则f(x)的周期T＝，从而ω＝.
答案B
解析据已知可得f(x)＝2sin，若函数为偶函数，则必有θ＋＝kπ＋(kZ)，又由于θ，故有θ＋＝，解得θ＝，经代入检验符合题意．答案B
解析0≤x≤9，－≤x－≤，－≤sin≤1，－≤2sin≤2.函数y＝2sin(0≤x≤9)的最大值与最小值之和为2－.答案A
解析f＝f＝f＝sin＝.
答案
解析由0≤x≤，得0≤ωx≤<，
则f(x)在上单调递增，且在这个区间上的最大值是，所以2sin＝，且0<<，
所以＝，解得ω＝.答案
解析取ω＝，f(x)＝sin，其减区间为，kZ，显然kπ＋，kπ＋π，kZ，排除B，C.取ω＝2，f(x)＝sin，其减区间为，kZ，显然，kZ，排除D.答案A
解析由x且ω>0，得ωx.
又y＝sinx是上的单调增函数，则解得0<ω≤.答案A
解析f(x)＝(sinx＋cosx)－|sinx－cosx|＝画出函数f(x)的图象，可得函数的最小值为－1，最大值为，故值域为.
解析①∵α＝2kπ＋?tanα＝，而tanα＝?/α＝2kπ＋，∴①正确．
②∵f(x＋π)＝|2cos(x＋π)－1|＝|－2cosx－1|＝|2cosx＋1|≠f(x)，∴②错误．
③∵cosAcosB>sinAsinB，∴cosAcosB－sinAsinB>0，即cos(A＋B)>0，
∵0
④∵a＋b＝0，∴b＝－a，y＝asinx－bcosx＝asinx＋acosx＝asin，
∴x＝是它的一条对称轴，∴④正确．①③④
奇函数
偶函数
(kπ，0)x＝kπ＋3．解析由题意知T＝＝π，则ω＝2，所以f(x)＝sin，又f＝sin＝sinπ＝0.答案B
4．解析由x∈且ω>0，得ωx∈.
又y＝sinx是上的单调增函数，
则解得0<ω≤.答案A
5．解析y＝sinx－cosx＝2＝2sin的最大值为2，又0≤x＜2π，故当x－＝，即x＝时，y取得最大值．答案
4．(2011·安徽)已知函数f(x)＝sin(2x＋φ)，其中φ为实数．若f(x)≤对xR恒成立，且f＞f(π)，则f(x)的单调递增区间是()．
A.(kZ)B.(k∈Z)
C.(k∈Z)D.(k∈Z)
解析由f(x)＝sin(2x＋φ)，且f(x)≤对xR恒成立，f＝±1，即sin＝±1.＋φ＝kπ＋(kZ)．φ＝kπ＋(kZ)．又f>f(π)，即sin(π＋φ)>sin(2π＋φ)，－sinφ>sinφ.sinφ<0.
∴对于φ＝kπ＋(kZ)，k为奇数．f(x)＝sin(2x＋φ)＝sin＝－sin.由2mπ＋≤2x＋≤2mπ＋(mZ)，得mπ＋≤x≤mπ＋(mZ)，f(x)的单调递增区间是(mZ)．
【真题探究】(本小题满分12分)(2012·湖北)已知向量a＝(cosωx－sinωx，sinωx)，b＝(－cosωx－sinωx,2cosωx)，设函数f(x)＝a·b＋λ(xR)的图象关于直线x＝π对称，其中ω、λ为常数，且ω.(1)求函数f(x)的最小正周期；(2)若y＝f(x)的图象经过点，求函数f(x)在区间上的取值范围．
一审：
准确化成形如f(x)＝Asin(ωx＋φ)的形式；
二审：
充分利用对称轴x＝π；
三审：
确定λ的值．
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