结束放映返回目录获取详细资料请浏览：www.zxjkw.com【2014年高考会这样考】1．考查利用正、余弦定理解三角形的问题，常与边之间的和或积、角的大小或三角函数值等综合考查．2．考查正、余弦定理与平面向量、三角形的面积等结合问题．第6讲正弦定理和余弦定理抓住3个考点突破3个考向揭秘3年高考活页限时训练正弦定理和余弦定理在△ABC中，已知a,b和A时，解的情况三角形中常用的面积公式，考向一考向二考向三助学微博考点自测A级【例2】【训练2】【例1】【训练1】【例3】【训练3】与三角形面积有关的问题利用正、余弦定理解三角形判断三角形形状选择题填空题解答题B级选择题填空题解答题解三角形与其他知识的交汇问题考点梳理考点梳理一个定律助学微博二种途径考点自测单击图标显示详解答案显示单击题号显示结果CAπ/212345【审题视点】解(1)考向一利用正、余弦定理解三角形【方法锦囊】解(1)考向一利用正、余弦定理解三角形(2)【审题视点】考向二判断三角形的形状解(1)【方法锦囊】解析(1)考向二判断三角形的形状【审题视点】考向三与三角形面积有关的问题解（1）【方法锦囊】（2）注意角的范围，以便确定A是否唯一解(1)考向三与三角形面积有关的问题本问由果索因，为便于化简，边化角是关键(2)热点突破11——解三角形与其他知识的交汇问题揭秘3年高考揭秘3年高考【教你审题】[反思]本题考查余弦定理和基本不等式，易错点有三：一是余弦定理公式记错；二是不能消去参数c，无法得出关于a，b的代数式；三是基本不等式用错．揭秘3年高考解析一、选择题单击显：题干/详解点击题号出答案题号1234ABCBA级基础演练单击详解点击题号出答案题号二、填空题56A级基础演练三、解答题A级基础演练87三、解答题A级基础演练78一、选择题单击显：题干/详解点击题号出答案题号12CAB级能力突破单击显:题干/详解点击题号出答案题号二、填空题34B级能力突破三、解答题B级能力突破56三、解答题B级能力突破56三、解答题B级能力突破56结束放映返回目录获取详细资料请浏览：www.zxjkw.com由sinB＋sinC＝，
得2a2＝(2b－c)b＋(2c－b)c，【例1】(1)(2012·北京)在ABC中，若a＝2，b＋c＝7，cosB＝－，则b＝________.
(2)(2012·重庆)设ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且cosA＝，cosB＝，b＝3，则c＝________.
由余弦定理得a2＋b2－c2＝2abcosC，(2)解B＋C＝π－A＝，因此B＝，C＝.
由a＝，A＝，得b＝＝2sin，c＝＝2sin，
所以ABC的面积S＝bcsinA＝sinsin
＝cossin＝.
故bc＝4.本问由cosB＝.联想S＝acsinB，进而寻找与其相关的量，上问结果的利用是关键
则＝所以C为钝角，【真题探究】(2012·陕西)在ABC中，角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，若a2＋b2＝2c2，则cosC的最小值为()．A.B.C.D．－
8．(13分)(2012·浙江)在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知cosA＝，sinB＝cosC.
(1)求tanC的值；(2)若a＝，求ABC的面积．
(1)由正弦定理进行边化角；
设角A，B，C的对边分别为a，b，c.【命题研究】∴cosA＝＝，（2）
答案(1)4(2)
(1)由正弦定理进行角化边，再用余弦定理求cosA；
(2)由三角形内角和定理把角C用角B表示，求角B，从而确定三角形的形状．
解决判断三角形的形状问题，一般将条件化为只含角的三角函数的关系式，然后利用三角恒等变换得出内角之间的关系式；或将条件化为只含有边的关系式，然后利用常见的化简变形得出三边的关系．另外，在变形过程中要注意A，B，C的范围对三角函数值的影响．
6．(13分)(2012·江西)在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知A＝，bsin－csin＝a.
(1)求证：B－C＝；(2)若a＝，求ABC的面积．
故b2＋c2＝8.【训练3】在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知＝.(1)求的值；(2)若cosB＝，b＝2，求△ABC的面积S.
与三角形面积有关的问题
得c＝2a.【解法】
1．(2012·湖北改编)设ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若(a＋b－c)(a＋b＋c)＝ab，则角C＝()．
A．60°B．90°C．120°D．150°
2．(2012·天津)在ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.已知8b＝5c，C＝2B，则cosC＝()．A.B．－C．±D.
3．(2013·三亚模拟)在ABC中，若2cosBsinA＝sinC，则ABC的形状是()．
A．等边三角形B．等腰三角形C．直角三角形D．等腰直角三角形
4．在ABC中，若a＝3，b＝，A＝，则C的大小为________．
5．(2013·郑州调研)已知圆的半径为4，a，b，c为该圆的内接三角形的三边，若abc＝16，则三角形的面积为________．
又0
A.B.C.D.
【训练2】(1)(2012·上海)在ABC中，若sin2A＋sin2B
A．钝角三角形B．直角三角形C．锐角三角形D．不能确定
(2)在ABC中acos＝bcos则ABC的形状为_____．
【例2】(2013·临沂一模)在ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且2asinA＝(2b－c)sinB＋(2c－b)sinC.(1)求角A的大小；
(2)若sinB＋sinC＝，试判断ABC的形状．
∴sinB＋cosB＝，∴30°
∴A＝B＝C＝60°，因为A＋B＋C＝π，所以sinC＝2sinA.
二审：
【试一试】(2012·湖南)在ABC中，AB＝2，AC＝3，·＝1，则BC＝()．A.B.C．2D.
所以＝，
一审：
由已知等式和余弦定理消去c；6．(13分)(2012·江西)在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知A＝，bsin－csin＝a.
(1)求证：B－C＝；(2)若a＝，求ABC的面积．
及cosB＝，b＝2，从而c＝2.
所以sinB＝，＝×1×2×＝.由正弦定理，设＝＝＝k，1．在ABC中，A＝60°，且最大边长和最小边长是方程x2－7x＋11＝0的两个根，则第三边的长为()．
A．2B．3C．4D．5
所以·sinA·sinC－cosA·sinC－sinC＝0.
【例3】?(2012·课标全国)已知a，b，c分别为△ABC三个内角AB,C的对边且2asinA＝(2b－c)sinB＋(2c－b)sinC.
(1)求A；(2)若a＝2，△ABC的面积为，求b，c.
3．(2012·金华模拟)在Rt△ABC中，C＝90°，且A，B，C所对的边a，b，c满足a＋b＝cx，则实数x的取值范围是________．
7．(12分)(2012·浙江)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bsinA＝acosB.(1)求角B的大小；
(2)若b＝3，sinC＝2sinA，求a，c的值．
∴sinB＋sin120°cosB－cos120°sinB＝.
解(1)因为0＜A＜π，cosA＝，得sinA＝＝.又cosC＝sinB＝sin(A＋C)＝sinAcosC＋cosAsinC＝cosC＋sinC.所以tanC＝.
(2)利用正弦定理和三角形内角和定理求解．
根据余弦定理代入b2＝4＋(7－b)2－2×2×(7－b)·，
而sinC＝sin(A＋B)＝sinAcosB＋cosAsinB由2asinA＝(2b－c)sinB＋(2c－b)sinC，证明由bsin－csin＝a应用正弦定理，得sinBsin－sinCsin＝sinA，sinB－sinC＝，整理得sinBcosC－cosBsinC＝1，即sin(B－C)＝1.由于0＜B，C＜π，从而B－C＝.
在解决三角形问题中，面积公式S＝absinC＝bcsinA
＝acsinB最常用，因为公式中既有边又有角，容易和正弦定理、余弦定理联系起来．
≥＝，即ABC为钝角三角形．得a2＋b2
所以c＝2a＝2.
5．(12分)(2012·郑州三模)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，点(a，b)在直线x(sinA－sinB)＋ysinB＝csinC上．(1)求角C的值；
(2)若a2＋b2＝6(a＋b)－18，求△ABC的面积．
【训练1】(1)(2011·辽宁)ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，asinAsinB＋bcos2A＝a，则＝()．
A．2B．2C.D.
(2)在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a＝，b＝2，sinB＋cosB＝，则角A的大小为________．
得sinB＋sin(120°－B)＝，在三角形中，大角对大边，大边对大角；大角的正弦值
也较大，正弦值较大的角也较大，即在△ABC中，
A＞B?a＞b?sinA＞sinB.
化简可得sin(A＋B)＝2sin(B＋C)．
由基本不等式求最小值．
得2abcosC＝(a2＋b2)，1．解析由已知可得a2＋b2－c2＝－ab，根据余弦定理得：cosC＝＝－.故C＝120°.答案C
2．解析因为8b＝5c，则由C＝2B得sinC＝sin2B＝2sinBcosB，由正弦定理得cosB＝＝＝，所以cosC＝cos2B＝2cos2B－1＝2×2－1＝，故选择A.答案A
3．解析由正、余弦定理得2··a＝c，整理得a＝b，故ABC为等腰三角形．答案B
得asinA＝bsinB，a2＝b2，a＝b，由acosC＋asinC－b－c＝0，及正弦定理得
sinAcosC＋sinAsinC－sinB－sinC＝0.
2.(2012·四川)如图，正方形ABCD的边长为1，延长BA至E，使AE＝1，连结EC、ED，则sin∠CED＝()．
A.B.C.D.
①②③
2．(201·豫北六校联考)已知△ABC的面积为，AC＝，∠ABC＝，则△ABC的周长等于()．
A．3＋B．3C．2＋D.
(1，]
所以cosC＝<0，根据所给条件确定三角形的形状，主要有两种途径：
(1)化边为角；
(2)化角为边，并常用正弦（余弦）定理实施边、角转化。
∴A＝60°.
∵A＋B＋C＝180°，(1)正弦定理是一个连比等式，在运用此定理时，只要知道其比值或等量关系就可以通过约分达到解决问题的目的，在解题时要学会灵活运用．
(2)运用余弦定理时，要注意整体思想的运用．
(1)利用余弦定理；
由已知条件可得sinA＝，sinB＝，c＝.
△ABC的面积S＝bcsinA＝，而a2＝b2＋c2－2bccosA，因此＝2.
由＝2.
得4＝a2＋4a2－4a2×.＝因此＝2.
所以sin＝.
所以－
故ABC为等腰三角形．
5．在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.若(a2＋c2－b2)·tanB＝ac，则角B的值为________．
－
1．正弦定理和余弦定理
在ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，则
正弦定理 余弦定理 内容 ＝＝＝2R(R为ABC外接圆半径)a2＝b2＋c2－2bccosA，b2＝a2＋c2－2accosB，c2＝a2＋b2－2abcosC 常见变形 a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC；(2)sinA＝，sinB＝，sinC＝；(3)a∶b∶c＝sinAsinB∶sinC cosA＝；cosB＝；cosC＝
即bc＝b2＋c2－a2，∵0°
△ABC为正三角形．三审：
用a，b表示出cosC；
解得b＝4.
(2)
解(1)由题意得a(sinA－sinB)＋bsinB＝csinC，
由正弦定理，得a(a－b)＋b2＝c2，即a2＋b2－c2＝ab，
由余弦定理得cosC＝＝，
结合0
解得b＝c＝2.
由余弦定理b2＝a2＋c2－2accosB解得a＝1，因为cosB＝，且0
由acos＝bcos，由sin2A＋sin2B
由于sinC≠0，
1．在ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若a2－b2＝bc，sinC＝2sinB，则A＝()．
A．30°B．60°C．120°D．150°
由正弦定理，得解(1)由bsinA＝acosB，可得sinBsinA＝sinAcosB，又sinA≠0，可得tanB＝，所以B＝.
4．(2012·安徽)设ABC的内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，则下列命题正确的是________(写出所有正确命题的编号)．
若ab>c2，则C<若a＋b>2c，则C<若a3＋b3＝c3，则C<若(a＋b)c<2ab，则C>若(a2＋b2)c2<2a2b2，则C>
解析由ab>c2，得－c2>－ab，由余弦定理可知cosC＝>＝，因为C(0，π)，函数y＝cosx在(0，π)上是减函数，所以C<，即正确．由余弦定理可知cosC＝>＝＝≥＝，所以C<，即正确．若C是直角或钝角，则a2＋b2≤c2，即2＋2≤1，而，(0,1)，而函数y＝ax(0c2，转化为命题，故错误．因为(a2＋b2)c2<2a2b2，所以c2<≤＝ab，即ab>c2，转化为命题，故错误．答案
6．(2012·福建)已知ABC的三边长成公比为的等比数列，则其最大角的余弦值为________．
(2)由tanC＝，得sinC＝，cosC＝.于是sinB＝cosC＝.由a＝及正弦定理＝，得c＝.设ABC的面积为S，则S＝acsinB＝.
＝，根据正弦定理＝得
故A＝.
即cosC＝
(2)
续表
解决
的问
题 (1)已知两角和任一边，求其他两边和一角；
(2)已知两边和其中一边的对角，求另一边和其他两角 (1)已知三边，求三个角；
(2)已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两角 2.在ABC中，已知a，b和A时，解的情况
A为锐角 A为钝角或直角 图形 关系
式 a＜bsinA a＝bsinA bsinA＜a＜b a≥b a＞b a≤b 解的
个数 无解 一解 两解 一解 一解 无解 3.三角形中常用的面积公式
(1)S＝ah(h表示边a上的高)．(2)S＝bcsinA＝absinC＝acsinB.
(3)S＝r(a＋b＋c)(r为ABC内切圆半径)．
∴B＋C＝180°－60°＝120°.即sin(B＋30°)＝1.
所以选C.
(2)由a2＋b2＝6(a＋b)－18，得(a－3)2＋(b－3)2＝0，
从而得a＝b＝3，所以△ABC的面积S＝×32×sin＝.
解析由a2－b2＝bc，sinC＝2sinB，得a2＝bc＋b2，＝2.由余弦定理，得cosA＝＝＝－＝－＝，所以A＝30°，故选A.答案A
解析依题意得知，CD＝1，CE＝＝，DE＝＝，cosCED＝＝，所以sinCED＝＝，选B.答案B
解析∵A，B，C成等差数列，∴A＋C＝2B，∴B＝60°.
又a＝1，b＝，∴＝，
∴sinA＝＝×＝，
∴A＝30°，∴C＝90°.∴S△ABC＝×1×＝.答案C
解析设AB＝c，BC边上的高为h.
由余弦定理得AC2＝c2＋BC2－2BC·ccos60°，
即7＝c2＋4－4ccos60°，即c2－2c－3＝0，c＝3.又h＝c·sin60°＝3×＝，故选B.
解析由余弦定理，得＝cosB，结合已知等式得
cosB·tanB＝，sinB＝，B＝或.
答案或
解析依题意得，ABC的三边长分别为a，a,2a(a>0)，则最大边2a所对的角的余弦值为：＝－.答案－
解析由A＝60°，不妨设△ABC中最大边和最小边分别为b，c，故b＋c＝7，bc＝11.
由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccos60°＝(b＋c)2－3bc＝72－3×11＝16，∴a＝4.答案C
解析由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accosB，即a2＋c2－ac＝3.又△ABC的面积为acsin＝，即ac＝2，所以a2＋c2＋2ac＝9，所以a＋c＝3，即a＋c＋b＝3＋，故选A.答案A
解析x＝＝＝sinA＋cosA＝sin.又A，
即x(1，]．答案(1，]
4．解析在△ABC中，由正弦定理，得＝，sin∠B＝.∵a>b，∴∠A>∠B，∴∠B＝，∴∠C＝π－－＝.答案
5．解析∵＝＝＝2R＝8，∴sinC＝，∴S△ABC＝absinC＝abc＝×16＝.答案
∵asinAsinB＋bcos2A＝a，
由正弦定理可得sin2AsinB＋sinBcos2A＝sinA，
∴sinB＝sinA，即＝.
由题可知，sinB＋cosB＝，
所以sin＝，
所以B＝，
根据正弦定理可知＝，
可得＝，
所以sinA＝，
又a＜b，故A＝.
答案(1)D(2)
因为B＝π－A－C，
又c2＝(a2＋b2)，.A·B＝1，即accosB＝－1..在ABC中，再根据余弦定理b2＝a2＋c2－2accosB，及AB＝c＝2，AC＝b＝3，可得a2＝3，即a＝.
可得a2＝3，即a＝.
答案A
4．(2012·安徽)设ABC的内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，则下列命题正确的是________(写出所有正确命题的编号)．
若ab>c2，则C<若a＋b>2c，则C<若a3＋b3＝c3，则C<若(a＋b)c<2ab，则C>若(a2＋b2)c2<2a2b2，则C>
4．(2012·安徽)设ABC的内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，则下列命题正确的是________(写出所有正确命题的编号)．
若ab>c2，则C<若a＋b>2c，则C<若a3＋b3＝c3，则C<若(a＋b)c<2ab，则C>若(a2＋b2)c2<2a2b2，则C>
解析由ab>c2，得－c2>－ab，由余弦定理可知cosC＝>＝，因为C(0，π)，函数y＝cosx在(0，π)上是减函数，所以C<，即正确．由余弦定理可知cosC＝>＝＝≥＝，所以C<，即正确．
③若C是直角或钝角，则a2＋b2≤c2，即2＋2≤1，而，(0,1)，而函数y＝ax(0c2，转化为命题，故错误．因为(a2＋b2)c2<2a2b2，所以c2<≤＝ab，即ab>c2，转化为命题，故错误．答案
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