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从小跟随舅父江都名士秦恩复研读经史，嘉庆六年（1801）秦延聘数学家汪莱设馆于家，士琳受其影响，遂弃举子业，专习算学。性耿介，为同辈所嫉忌，未能任官。曾东出山海关，游历汴梁、楚中等地，为通人大德所推服。三年，太平军攻陷扬州，士琳不幸死于战乱，《清史稿》称当时他“年垂七十”，而今天所见几种传记资料均未载生年，则其生年当在乾隆四十八年（1783）前后。 罗士琳与年长他二十岁的名宦兼名儒的乡前辈阮元交谊颇深，年轻时投于阮元门下，颇得其赏识提携，相从最久，与当时算学名家焦循、李锐等过从甚密，“博览畴人书，日夕研求”。往来扬州和京师之间，两地数学氛围浓厚，为他提供了良好的学术环境，后入阮元浙江幕府，在诂经精舍遍交通人学士，对其开拓视野、提升造诣无疑起了积极作用。阮元致仕家居后，其弟子与儿子为其编录年谱七卷，士琳为撰跋语。道光二十六年（1846）秋，阮元奉旨重赴鹿鸣宴，荣耀至极，罗士琳尝撰一联致贺：“丙象著文明，衣钵相传，同庚鹿宴；午科多盛事，箕裘领解，接武蟾宫。”
罗士琳最初学的是西洋历算法，撰有《宪法一隅》《比例汇通》二书，前者言历法，后者是以比例算法释《九章算术》各问。他最重要的数学成就，是对传统四元术的阐发，其最有价值的著作，就是《四元玉鉴细草》。《四元玉鉴》是元代大数学家朱世杰的著作，然而元末以后，该书失传了四五百年。直到19 世纪初叶，阮元才从民间访得，但因其内容深邃古奥，当时已极少有人能读懂。道光二年（1822），阮元在京师遇到罗士琳，遂委托罗对该书进行整理解读。罗士琳参照当时所能见到的旧抄本和新刻元大德本，精心研读校勘，融会贯通，竭12 载之功，终于补出了全书各题算式演草，由原书3 卷扩充至24 卷，更名为《四元玉鉴细草》，于道光十四年印行，阮元特为其作序。本书的出版和传播，使得久已失传的“四元术”重新被人们认识和理解，在中国数学史上占有重要地位。 编撰《畴人传续编》，是罗士琳对于天文算学资料汇集、人物评价和学术研究的一大贡献。本书承阮元所纂名著《畴人传》而编。叙述学者生平事迹与天文历算成就，颇为详尽，每篇末精心撰写评论文字，客观公允，极有见地。实事求是，集其大成，视江、戴二君尤精。昔詹事尝谓宣城（梅文鼎）为国朝算学第一，余窃谓宣城犹逊詹事一筹焉。 罗士琳一生著述丰富，除前面所述外，尚有《春秋朔闰异同考》《缀术辑补交食图说举隅》《校正算学启蒙》《校正割圜密率捷法》《勾股容三事拾遗》《博能丛话》等，其毕生所著书汇刻成《观我生室汇稿》12种；所作骈俪之文，以唐人为法，尤工集句，以为谈艺之馀，诗文编为《观我生室剩稿》其传记载于《清史稿》卷507《畴人二》、《清史列传》卷69《儒林传下二》、（同治）《续纂扬州府志》卷13 及《畴人传三编》卷4 等。
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