2.2.2换底公式
学习目标 重点难点 1．能记住换底公式，并会证明换底公式；
2．会利用换底公式解决一些对数式的化简、求值、证明问题；
3．能综合利用对数的相关知识解决问题. 重点：换底公式的应用——求值和化简；
难点：用换底公式和对数运算性质解决综合问题.
1．对数的换底公式
换底公式：logaN＝(a＞0，a≠1，c＞0，c≠1，N＞0)．
最常用的换底公式是logaN＝和logaN＝.
1
换底公式的意义是什么？
提示：换底公式的意义主要体现在化简和求值两个方面：
化简：把对数式的底数改变，化为同底数问题，利用运算法则进行化简与求值．
求值：在实际问题中，把底数换成10或e，可利用计算器或对数表得到结果．
2
除了课本中的方法，你还用其他方法证明换底公式吗？
提示：令＝x，则logcN＝xlogca＝logcax，
因此ax＝N，∴x＝logaN，
即logaN＝.
2．换底公式的两个重要推论
(1)＝logab.
(2)logab＝.
一、利用换底公式求值或化简
求解下列各题：
(1)化简(log43＋log83)；
(2)已知log1227＝a，求log616的值．
思路分析：对于(1)有两种思路：一是直接利用换底公式，将log43与log83都化为常用对数，然后进行化简；二是考虑到4和8都是2的幂的形式，因此可利用换底公式的变形，再将逆用换底公式，然后即可化简求值．
对于(2)，也有两种思路：一是直接利用换底公式，结合对数运算法则，寻求lg2与lg3的关系，然后代入化简；二是将对数log1227及log616的底数及真数进行分解变形，发现它们之间的关系，然后代入化简．
解：(1)方法一：原式＝＝·
＝·＋·＝＋＝.
方法二：原式＝·log32
＝·log32
＝log23·log32＝.
(2)方法一：由log1227＝a，得＝a，
∴lg2＝lg3.
∴log616＝＝＝＝.
方法二：由于log1227＝log1233＝3log123＝a，
∴log123＝.
于是log312＝，即1＋2log32＝.
因此log32＝.
而log616＝4log62＝＝＝＝＝.
故log616＝.
1．求值：log89·log2732.
解：方法一：log89·log2732＝·＝·＝.
方法二：log89·log2732＝＝log23·log32＝.
2．已知log23＝a，log37＝b，试用a，b表示log1456.
解：∵log23＝a，∴log37＝＝＝b.
∴log27＝ab.
∴log1456＝＝＝＝.
1．利用对数的换底公式计算化简时，通常有以下几种思路：
一是先依照运算性质：利用对数的运算法则及性质进行部分运算，最后再换成同一底．
二是一次性地统一换为常用对数，再化简、通分、求值．
三是将式子中的对数的底数及真数改写为幂的形式，然后利用变形＝logab.
对出现的对数进行化简，当底数和真数都较小时，容易发现它们之间的关系，然后再借助对数的运算法则求值．
2．对于换底公式，除了正用以外，也要注意其逆用以及变形应用．
二、利用对数的换底公式证明等式
已知a，b，c均为正数，3a＝4b＝6c，求证：＋＝.
思路分析：由于题目中涉及的字母均出现在幂式的幂指数上，因此可设出幂的结果，将指数式转化为对数式，然后利用换底公式及对数运算性质进行证明．
证明：不妨设3a＝4b＝6c＝m，则m＞0且m≠1，
于是a＝log3m，b＝log4m，c＝log6m.
则由换底公式可得＝logm3，＝logm4，＝logm6，
于是＋＝2logm3＋logm4＝logm(32×4)＝logm36＝2logm6＝.
因此等式成立．
已知2m＝5n＝10，求证：m＋n＝mn.
证明：由已知可得m＝log210，n＝log510，
因此＝lg2，＝lg5，
于是＋＝lg2＋lg5＝lg10＝1，
即＝1，故m＋n＝mn.
1．在已知条件中出现幂值相等的形式时，通常可以设出幂值的结果，然后将指数式转化为对数式，然后结合对数的换底公式、运算法则等进行化简和变形．
2．由于对数的运算法则都是针对同底数的对数才能成立的，因此变换底数是解决对数式证明问题的重要环节，当出现的对数的底数不同，但真数相同时，可利用性质logab＝进行变换．
三、对数换底公式的综合应用
(1)已知11.2a＝1000,0.0112b＝1000，求－的值；
(2)设logac，logbc是方程x2－3x＋1＝0的两根，求的值．
思路分析：由题目可获取以下主要信息：
第(1)题中的两个指数式的底数不同，指数式的值相同．
第(2)题方程的两根为对数式，所求式子涉及的字母都在表示两根的式子之中．
解答第(1)题需将指数式化为对数式，解答第(2)题需利用一元二次方程根与系数的关系列出式子，再利用换底公式与所求的式子联系起来，进行求解．
解：(1)∵11.2a＝1000，∴lg11.2a＝lg1000，即a·lg11.2＝3，
于是＝lg11.2.
同理可得＝lg0.0112.
于是－＝lg11.2－lg0.0112＝lg＝lg1000＝×3＝1.
(2)由根与系数的关系可得
由换底公式可知
因此
所以＝＝＝＝±.
设2a＝5b＝m，且＋＝2，则m等于()．
A．B．10C．20D．100
答案：A
解析：∵2a＝5b＝m，∴a＝log2m，b＝log5m.
∴＋＝＋＝logm2＋logm5＝logm10.
∵＋＝2.∴logm10＝2.
故m2＝10，又m＞0，∴m＝，选A．
对数的知识点的综合应用是本节的重点，它可能用到定义，对数式与指数式的互化，也可能用到换底公式或对数运算的法则，还可能用到其他知识(如一元二次方程根与系数的关系)．解题时应该全方位、多角度地思考，甚至用不同的几种方法去解同一题，然后分析、比较，从而掌握巩固所学的知识．
1．下列各式中错误的是()．
A．logab·logba＝1B．logcd＝
C．logcd·logdf＝logcfD．logab＝
答案：D
2．(2012安徽高考，文3)(log29)·(log34)＝()．
A．B．C．2D．4
答案：D
解析：原式＝(log232)·(log322)＝4(log23)·(log32)＝4··＝4.
3．化简＋的结果为()．
A．log38B．log83C．log36D．log63
答案：A
解析：原式＝log32＋log34＝log38，故选A．
4．已知ln2＝a，ln3＝b，那么log32用含a，b的代数式表示为()．
A．a－bB．C．abD．a＋b
答案：B
解析：log32＝＝，故选B．
5．若3x＝6y＝2，则－的值为__________．
答案：－1
解析：由于3x＝6y＝2，所以x＝log32，y＝log62.
于是＝log23，＝log26，
于是－＝log23－log26＝log2＝log2＝－1.
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