结束放映返回概要获取详细资料请浏览：www.zxjkw.com【2014年高考会这样考】1．考查平面向量的数量积的运算、化简、向量平行与垂直的充要条件的应用．2．以平面向量的数量积为工具，考查其他综合应用题，常与三角函数等知识结合．第3讲平面向量的数量积选择题填空题解答题选择题填空题解答题抓住3个考点突破3个考向揭秘3年高考活页限时训练平面向量的数量积平面向量数量积的性质及其坐标表示平面向量数量积的运算律考向一考向二考向三助学微博考点自测A级【例2】【训练2】【例1】【训练1】【例3】【训练3】平面向量数量积的综合应用平面向量数量积的运算向量的夹角与向量的模B级平面向量的数量积在平面几何中的应用单击标题可完成对应小部分的学习，每小部分独立成块，可全讲，也可选讲考点梳理考点梳理两个结论助学微博三点提醒考点自测单击图标显示详解答案显示单击题号显示结果BCD-1612345【审题视点】解考向一平面向量数量积的运算【方法锦囊】解（1）考向一平面向量数量积的运算M/【审题视点】考向二向量的夹角与向量的模解析【方法锦囊】解析考向二向量的夹角与向量的模考向三平面向量数量积的综合问题（1）证明【审题视点】（2）解考向三平面向量数量积的综合应用【审题视点】考向三平面向量数量积的综合应用(1)证明热点突破12——平面向量的数量积在平面几何中的应用揭秘3年高考揭秘3年高考【教你审题】【反思】揭秘3年高考XY法一完法二完法一法二一、选择题单击显:题干/详解点击题号出答案题号1234DADAA级基础演练单击显：题干/详解点击题号出答案题号二、填空题A级基础演练56三、解答题A级基础演练87三、解答题A级基础演练78一、选择题单击显：题干/详解点击题号出答案题号12CDB级能力突破单击显：题干/详解点击题号出答案题号二、填空题34B级能力突破结束放映返回概要获取详细资料请浏览：www.zxjkw.com解得k＝.
答案(1)4(2)
＝3|e1|2－2e1·e2－8|e2|2＝3－2cos－8＝3－1－8＝－6.
∵〈e1，e2〉＝,|e1|＝1,|e2|＝1，
所以＋＝2，
又＝2，||＝1，
∴b1·b2＝(e1－2e2)·(3e1＋4e2)
设＝＝k，的坐标为(2－2k,1)，
·＝2(2－2k)＋k＝4－3k，而0≤k≤1，故1≤4－3k≤4.
8．(13分)在平面直角坐标系xOy中，已知点A(－1，－2)，B(2,3)，C(－2，－1)．
(1)求以线段AB，AC为邻边的平行四边形的两条对角线的长；
(2)设实数t满足(－t)·＝0，求t的值．
而|a＋b|2＝|a|2＋2a·b＋|b|2＝3|a|2，|a＋b|＝|a|.
1．若向量a＝(3，m)，b＝(2，－1)，a·b＝0，则实数m的值为()．
A．－B.C．2D．6
1(2)依题意有|a||b|sinθ＝，即sinθ＝，
答案(1)－6(2)－1．解析由|a＋b|＝|a－b|，两边平方并化简得a·b＝0，又a，b都是非零向量，所以ab.答案B
2．解析由题意得(2a＋b)·b＝2a·b＋b2＝2|a|2·cos〈a，b〉＋a2＝0，所以cos〈a，b〉＝－，所以a，b的夹角为120°，故选C.答案C
3．解析因为cosA＝，故A·A＝|A||A|cosA＝AC2＝16，故选D.答案D
4．解析2＝A＋A，B＝A－A，(2A)2＝(A＋A)2，B2＝(A－A)2，4A·A＝4A2－B2＝－64，A·A＝－16.答案－16
5．解析由题意得：(2a－b)2＝4|a|2＋|b|2－4a·b＝4＋|b|2－4×1×|b|cos45°＝10，即|b|2－2|b|－6＝0，解得：|b|＝3.答案3
(1)若a，b，c是实数，则ab＝acb＝c(a≠0)；但对于向量就没有这样的性质，即若向量a，b，c若满足a·b＝a·c(a≠0)，则不一定有b＝c，即等式两边不能同时约去一个向量，但可以同时乘以一个向量．
(2)数量积运算不适合结合律，即(a·b)·c≠a·(b·c)，这是由于(a·b)·c表示一个与c共线的向量，a·(b·c)表示一个与a共线的向量，而a与c不一定共线，因此(a·b)·c与a·(b·c)不一定相等．
(3)向量夹角的概念要领会，比如三角形ABC中，与的夹角应为120°，而不是60°.
【试一试】在△ABC中，∠C＝90°，且CA＝CB＝3，点M满足＝2，则·＝________.
3．已知向量a，b，c满足a＋b＋c＝0，(a－b)c，ab，若|a|＝1，则|a|2＋|b|2＋|c|2的值是________．
(1)抓住题眼“矩形ABCD”；
(2)合理建立平面直角坐标系．
(2)解
【训练3】已知平面向量a＝(，－1)，b＝.(1)证明：a⊥b；(2)若存在不同时为零的实数k和t，使c＝a＋(t2－3)b，d＝－ka＋tb，且c⊥d，试求函数关系式k＝f(t)．
(2)设a与a＋b的夹角为θ，由|a|＝|b|，得|a|2＝|b|2.
(1)向量数量积有两种计算公式：一是夹角公式a·b＝|a||b|cosθ；二是坐标公式a·b＝x1x2＋y1y2.
(2)求较复杂的向量数量积的运算时，可先利用向量数量积的运算律或相关公式进行化简．
∴(8a－c)·c＝3×6＋3×x＝30，解得x＝4.
＝k＋(1－2k)cos－2＝2k－＝0，
(2)
如图，因为M是BC的中点，
答案(1)2(2)
∴c·d＝－4k＋t3－3t＝0，k＝f(t)＝(t≠0)．（1）因为|2a－b|2＝(2a－b)2
法一由＝2可知，A是线段MB的中点，如图所示．由题意，AC⊥BC，且CA＝CB＝3，
·＝(＋)·
＝(＋)·＝(＋－)·
＝(2－)·
＝22－·＝2×32＝18.
则C(0,0)，B(3,0)A(0,3)．
由题意知：||＝3，
||＝6.设M(x，y)，
则x＝－3，y＝6，即M(－3,6)．
·＝(－3,6)·(0,3)＝18.
如图，以A点为坐标原点建立平面直角坐标系，则各点坐标为又由|b|2＝|a－b|2＝|a|2－2a·b＋|b|2.
4．(2012·天津)已知ABC为等边三角形，AB＝2.设点P，Q满足＝λ，＝(1－λ)，λR.若·＝－，则λ等于()．
A.B.C.D.
5．(2012·北京)已知正方形ABCD的边长为1，点E是AB边上的动点，则·的值为________；·的最大值为________．
解由已知得e＝4，e＝1，e1·e2＝2×1×cos60°＝1.
(2te1＋7e2)·(e1＋te2)＝2te＋(2t2＋7)e1·e2＋7te＝2t2＋15t＋7.
欲使夹角为钝角，需2t2＋15t＋7＜0，得－7＜t＜－.
设2te1＋7e2＝λ(e1＋te2)(λ＜0)，∴2t2＝7.t＝－，此时λ＝－.即t＝－时，向量2te1＋7e2与e1＋te2的夹角为π.∴当两向量夹角为钝角时，t的取值范围是∪
(1)直接利用数量积的坐标运算即可；
(1)两个向量a与b的夹角为锐角，则有a·b>0，反之不成立(因为夹角为0时不成立)；
(2)两个向量a与b的夹角为钝角，则有a·b<0，反之不成立(因为夹角为π时不成立)．
5．(12分)设两向量e1，e2满足|e1|＝2，|e2|＝1，e1，e2的夹角为60°，若向量2te1＋7e2与向量e1＋te2的夹角为钝角，求实数t的取值范围．
在利用平面向量的数量积解决平面几何中的问题时，首先要想到是否能建立平面直角坐标系，利用坐标运算题目会容易的多．
A(0,0)，B(2,0)，C(2,1)，D(0,1)4
－
解(1)由题设知＝(3,5)，＝(－1,1)，则＋＝(2,6)，－＝(4,4)．所以|＋|＝2，|－|＝4.
故所求的两条对角线长分别为4，2.
7．(12分)设向量a，b满足|a|＝|b|＝1及|3a－2b|＝.
(1)求a，b夹角的大小；(2)求|3a＋b|的值．
(3)夹角：cosθ＝＝.
(4)a⊥b的充要条件：a·b＝0x1x2＋y1y2＝0.
(5)|a·b|≤|a||b|(当且仅当ab时等号成立)|x1x2＋y1y2|≤·.
3．平面向量数量积的运算律
(1)a·b＝b·a(交换律)；
(2)λa·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(结合律)；
(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c(分配律)．
(1)证明两向量互相垂直，转化为计算这两个向量的数量积问题，数量积为零即得证．
(1)依题意可得8a－b＝(6,3)，
(2)由条件表示出a·b，然后找到关于k的等式进行求解．
所以·(＋)＝·2P＝－4||2
∵0°≤θ≤180°，θ＝30°，即a与a＋b的夹角为30°.
∴c·d＝[a＋(t2－3)b]·(－ka＋tb)
＝－ka2＋t(t2－3)b2＋[t－k(t2－3)]a·b＝0，
1．(201·鄂州模拟)在直角坐标系中，O为坐标原点，已知向量＝(2,2)，＝(4,1)，在x轴上取一点P，使·B有最小值，则P点的坐标是()．A．(－3,0)B．(2,0)C．(3,0)D．(4,0)
[解法]
则点M的坐标为(2，k)，点N
则＝(2，k)，＝(2－2k,1)，
[结论][1,4]
【】?(2012·上海)在矩形ABCD中，设AB，AD的长分别为2,1.若M，N分别是边BC，CD上的点，且满足＝，则·的取值范围是________．
∴a·b＝|a|2，
∴cosθ＝＝＝.
又|a|＝4，|b|＝3，a·b＝－6.
解(1)由|m＋n|＝，得m2＋n2＋2m·n＝3，即1＋1＋2＝3，cosA＝.∵0
＝4a2＋b2－4a·b＝4a2＋b2＝4＋4＝8，故|2a－b|＝2.
＝－||2＝－，故填－.
∵c＝a＋(t2－3)bd＝－ka＋tb且cd，
6．(13分)(2012·东营模拟)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知m＝，n＝，且满足|m＋n|＝.(1)求角A的大小；
(2)若||＋||＝||，试判断△ABC的形状．
(2)∵||＋||＝||，∴sinB＋sinC＝sinA，
∴sinB＋sin＝×，即sinB＋cosB＝，
∴sin＝.∵0
故B＝或.当B＝时，C＝；当B＝时，C＝.
故△ABC是直角三角形．
4．(2012·安徽)若平面向量a，b满足|2a－b|≤3，则a·b的最小值是________．
解(1)设a与b夹角为θ，(3a－2b)2＝7，即9|a|2＋4|b|2－12a·b＝7，而|a|＝|b|＝1，
a·b＝，|a||b|cosθ＝，即cosθ＝，
又θ[0，π]，a，b所成的角为.
∴|a＋b|2＝|a|2＋2a·b＋|b|2＝42＋2×(－6)＋32＝13，|a＋b|＝.
【命题研究】通过近三年高考试题分析，平面向量数量积的应用是必考内容，主要考查利用数量积解决垂直、长度、夹角等问题，题型为选择题、填空题，难度中等偏下．
(1)利用|a|2＝a·a求解；
【例2】?(1)已知向量a，b满足a·b＝0，|a|＝1，|b|＝2，则|2a－b|＝________.
(2)(2011·浙江)若平面向量a，b满足|a|＝1，|b|≤1，且以向量a，b为邻边的平行四边形的面积为，则a和b的夹角θ的取值范围是________．
(1)∵(2a－3b)·(2a＋b)＝61，
6．(2012·江苏)如图，在矩形ABCD中，AB＝，BC＝2，点E为BC的中点，点F在边CD上，若A·A＝，则A·B的值是________．
(2)a·b＝(e1－2e2)·(ke1＋e2)
由|b|≤1，得1≥sinθ≥，又0≤θ≤π，故有≤θ≤.
又a2＝|a|2＝4，b2＝|b|2＝1，a·b＝0，
∴4|a|2－4a·b－3|b|2＝61.
2．(201·东北三校联考)已知|a|＝6，|b|＝3，a·b＝－12，则向量a在向量b方向上的投影是()．A．－4B．4C．－2D．2
3．(2011·广东)若向量a，b，c满足ab，且ac，则c·(a＋2b)＝()．
A．4B．3C．2D．0
(2)找出平行四边形的面积与|a|·|b|的关系式．
【例1】?(1)若向量a＝(1,1)，b＝(2,5)，c＝(3，x)满足条件(8a－b)·c＝30，则x＝________.
(2)(201·安庆模拟)已知e1，e2是夹角为的两个单位向量，a＝e1－2e2，b＝ke1＋e2，若a·b＝0，则实数k的值为________．
＝ke＋(1－2k)e1·e2－2e
【训练1】(1)已知两个单位向量e1，e2的夹角为，若向量b1＝e1－2e2，b2＝3e1＋4e2，则b1·b2＝________.
(2)(2012·合肥模拟)在△ABC中，M是BC的中点，||＝1，＝2，则·(＋)＝________.
∵a·b＝×－1×＝0，a⊥b.
【例3】已知a＝(cosα，sinα)，b＝(cosβ，sinβ)(0<α<β<π)．
(1)求证：a＋b与a－b互相垂直；
(2)若ka＋b与a－kb的模相等，求β－α.(其中k为非零实数)
法二如图建立平面直角坐标系，
1．平面向量的数量积
(1)定义：已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，则数量|a||b|cosθ叫作a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝|a||b|cosθ，规定零向量与任一向量的数量积为0，即0·a＝0.
(2)几何意义：数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cosθ的乘积．
2．平面向量数量积的性质及其坐标表示
设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ为向量a，b的夹角．
(1)数量积：a·b＝|a||b|cosθ＝x1x2＋y1y2.
(2)模：|a|＝＝.
∵(a＋b)·(a－b)＝a2－b2＝|a|2－|b|2
6．(13分)(2012·东营模拟)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知m＝，n＝，且满足|m＋n|＝.(1)求角A的大小；
(2)若||＋||＝||，试判断△ABC的形状．
1．(2012·辽宁)已知两个非零向量a，b满足|a＋b|＝|a－b|，则下面结论正确的是()．
A．abB．abC．|a|＝|b|D．a＋b＝a－b
2．若非零向量a，b满足|a|＝|b|，(2a＋b)·b＝0，则a与b的夹角为()．
A．30°B．60°C．120°D．150°
3．在RtABC中，C＝90°，AC＝4，则A·A等于()．
A．－16B．－8C．8D．16
4．(2012·浙江)在ABC中，M是BC的中点，AM＝3，BC＝10，则·＝________.
5．(2012·新课标全国)已知向量a，b夹角为45°，且|a|＝1，|2a－b|＝，则|b|＝________.
【训练2】(1)已知|a|＝4，|b|＝3(2a－3b)·(2a＋b)＝61则|a＋b|＝___.(2)已知a与b是两个非零向量，且|a|＝|b|＝|a－b|，则a与(a＋b)的夹角为________．
(1)在数量积的基本运算中，经常用到数量积的定义、模、夹角等公式，尤其对|a|＝要引起足够重视，是求模常用的公式．
(2)利用向量数量积的定义，知cosθ＝，其中两向量夹角的范围为0°≤θ≤180°，求解时应求出三个量：a·b，|a|，|b|或者找出这三个量之间的关系．
(2)由模相等，列等式、化简．
【例3】已知a＝(cosα，sinα)，b＝(cosβ，sinβ)(0<α<β<π)．
(1)求证：a＋b与a－b互相垂直；
(2)若ka＋b与a－kb的模相等，求β－α.(其中k为非零实数)
∵|ka＋b|＝|a－kb|，
(1)证明两向量互相垂直，转化为计算这两个向量的数量积问题，数量积为零即得证．
【方法锦囊】
(1)当向量a与b是坐标形式给出时，若证明a⊥b，则只需证明a·b＝0x1x2＋y1y2＝0.
(2)当向量a，b是非坐标形式时，要把a，b用已知的不共线向量作为基底来表示且不共线的向量要知道其模与夹角，从而进行运算证明a·b＝0.
(3)数量积的运算中，a·b＝0a⊥b中，是对非零向量而言的，若a＝0，虽然有a·b＝0，但不能说a⊥b.
(2)由模相等，列等式、化简．
＝(cos2α＋sin2α)－(cos2β＋sin2β)＝0，
∴a＋b与a－b互相垂直．
ka＋b＝(kcosα＋cosβ，ksinα＋sinβ)，
a－kb＝(cosα－kcosβ，sinα－ksinβ)，
|ka＋b|＝
|a－kb|＝.
∴2kcos(β－α)＝－2kcos(β－α)．
又k≠0，cos(β－α)＝0.
∵0<α<β<π，
∴0<β－α<π，β－α＝.
(2)由题设知＝(－2，－1)，－t＝(3＋2t,5＋t)．
由(－t)·＝0，得(3＋2t,5＋t)·(－2，－1)＝0，
从而5t＝－11，所以t＝－.
(2)(3a＋b)2＝9|a|2＋6a·b＋|b|2＝9＋3＋1＝13，
|3a＋b|＝.
2．(2012·广东)对任意两个非零的平面向量α和β，定义αβ＝.若平面向量a，b满足|a|≥|b|>0，a与b的夹角θ∈，且ab和ba都在集合中，则ab＝()．A.B．1C.D.
解析由定义αβ＝可得ba＝＝＝，由|a|≥|b|>0，及θ∈得0<<1，从而＝，即|a|＝2|b|cosθ.ab＝＝＝＝2cos2θ，因为θ∈，所以
2．(2012·广东)对任意两个非零的平面向量α和β，定义αβ＝.若两个非零的平面向量a，b满足a与b的夹角θ∈，且ab和ba都在集合中，则ab＝()．A.B.C．1D.
解析由a·b＝3×2＋m×(－1)＝0，解得m＝6.答案D
解析设a与b的夹角为θ，a·b为向量b的模与向量a在向量b方向上的投影的乘积，而cosθ＝＝－，|a|cosθ＝6×＝－4.
答案A
解析由ab及ac，得bc，则c·(a＋2b)＝c·a＋2c·b＝0.
答案D
解析以点A为坐标原点，AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系，则B(2,0)，C(1，)，由＝λ，得P(2λ，0)，由＝(1－λ)，得Q(1－λ，(1－λ))，所以·＝(－λ－1，(1－λ))·(2λ－1，－)＝－(λ＋1)(2λ－1)－×(1－λ)＝－，解得λ＝.答案A
解析以，为基向量，设＝λ(0≤λ≤1)，则＝－＝λ－，＝－，所以·＝(λ－)·(－)＝－λ·＋2＝－λ×0＋1＝1.又＝，所以·＝(λ－)·＝λ2－·＝λ×1－0＝λ≤1，即·的最大值为1.答案11
解析以A点为原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴建立直角坐标系xOy，则A＝(，0)，A
＝(，1)，设F(t,2)，则A＝(t,2)．∵A·A＝t＝，∴t＝1，所以A·B＝(，1)·(1－，2)＝.答案
解析设P点坐标为(x,0)，则＝(x－2，－2)，B＝(x－4，－1)．·B＝(x－2)(x－4)＋(－2)×(－1)＝x2－6x＋10＝(x－3)2＋1.当x＝3时，·B有最小值1.此时点P坐标为(3,0)，故选C.答案C
解析由定义αβ＝可得ba＝＝＝，
由|a|≥|b|>0，及θ∈得0<<1，从而＝，
即|a|＝2|b|cosθ.ab＝＝＝＝2cos2θ，
因为θ∈，所以
所以1<2cos2θ<2.结合选项知答案为C.答案C
解析由已知a·c－b·c＝0，a·b＝0，|a|＝1，
又a＋b＋c＝0，∴a·(a＋b＋c)＝0，即a2＋a·c＝0，
则a·c＝b·c＝－1，
由a＋b＋c＝0，∴(a＋b＋c)2＝0，
即a2＋b2＋c2＋2a·b＋2b·c＋2c·a＝0，
∴a2＋b2＋c2＝－4c·a＝4，
即|a|2＋|b|2＋|c|2＝4.答案4
解析由|2a－b|≤3可知，4a2＋b2－4a·b≤9，所以4a2＋b2≤9＋4a·b，而4a2＋b2＝|2a|2＋|b|2≥2|2a|·|b|≥－4a·b，所以a·b≥－，当且仅当2a＝－b时取等号．答案－
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