结束放映返回概要获取详细资料请浏览：www.zxjkw.com【2014年高考会这样考】以平面向量的数量积为工具，考查其综合应用性问题，常与三角函数、解析几何等结合．第4讲平面向量应用举例抓住3个考点突破3个考向揭秘3年高考活页限时训练向量在平面几何中的应用向量在三角函数中的应用向量在解析几何中的应用考向一考向二考向三助学微博考点自测A级【例2】【训练2】【例1】【训练1】【例3】【训练3】向量在解析几何中的应用向量在平面几何中的应用向量在三角函数中的应用选择题填空题解答题B级选择题填空题解答题高考中平面向量与三角函数的交汇问题单击标题可完成对应小部分的学习，每小部分独立成块，可全讲，也可选讲考点梳理考点梳理一个手段助学微博两条主线考点自测单击图标显示详解答案显示单击题号显示结果BAAD12345【审题视点】解考向一向量在平面几何中的应用【方法锦囊】ABC加法三角形法则解考向一向量在平面几何中的应用【审题视点】考向二向量在三角函数中的应用解【方法锦囊】解考向二向量在三角函数中的应用解考向二向量在三角函数中的应用λ考向三向量在解析几何中的应用解【审题视点】考向三向量在解析几何中的应用【审题视点】【方法锦囊】考向三向量在解析几何中的应用解考向三向量在解析几何中的应用规范解答8——高考中平面向量与三角函数的交汇问题揭秘3年高考揭秘3年高考【教你审题】揭秘3年高考【阅卷老师手记】【模板构建】第一步第二步第三步第四步揭秘3年高考一、选择题单击显：题干/详解点击题号出答案题号1234ABBAA级基础演练单击显：题干/详解点击题号出答案题号二、填空题56A级基础演练三、解答题A级基础演练87三、解答题A级基础演练78三、解答题A级基础演练78一、选择题单击显：题干/详解点击题号出答案题号12ACB级能力突破单击显:题干/详解点击题号出答案题号二、填空题34B级能力突破结束放映返回概要获取详细资料请浏览：www.zxjkw.com因为||＝||＝||，所以点O到三角形的三个顶点的距离相等，
∴|a＋b|＝2cosx.
＝＝2＝2|cosx|.
6
2．向量在三角函数中的应用
与三角函数相结合考查向量的数量积的坐标运算及其应用是高考热点题型．解答此类问题，除了要熟练掌握向量数量积的坐标运算公式、向量模、向量夹角的坐标运算公式外，还应掌握三角恒等变换的相关知识．
3．向量在解析几何中的应用
向量在解析几何中的应用，是以解析几何中的坐标为背景的一种向量描述．它主要强调向量的坐标问题，进而利用直线和圆锥曲线的位置关系的相关知识来解答，坐标的运算是考查的主体．
根据向量式寻找△ABC边、角之间的关系．
解(1)＝(cosα－3，sinα)，＝(cosα，sinα－3)，
2＝(cosα－3)2＋sin2α＝10－6cosα，
2＝cos2α＋(sinα－3)2＝10－6sinα，
由||＝||，可得2＝2，
即10－6cosα＝10－6sinα，得sinα＝cosα.
又α，α＝.
【命题研究】通过近三年高考试题分析，考查平面向量的有关知识，常与三角函数、解析几何结合在一起在解答题中出现，主要是以三角函数、解析几何等知识为载体，考查数量积的定义、性质等．若出现平面向量与三角函数的交汇问题，题目难度中等．
-1
x1y2－x2y1＝0.
利用正弦定理进行边化角(2)解
化简三角函数式；
【训练2】已知向量a＝，b＝cos，－sin，且x.(1)求a·b及|a＋b|；(2)若f(x)＝a·b－2λ|a＋b|的最小值是－，求λ的值．
②当0≤λ≤1时，
③当λ>1时，
综上所述，λ＝即为所求
所以点P在椭圆上，其方程为＋＝1.
解(1)m·n＝sin·cos＋cos2＝sin＋＝sin＋，m·n＝1，sin＝.
cos＝1－2sin2＝，cos＝－cos＝－.
1．平面上有四个互异点A、B、C、D，已知(＋－2)·(－)＝0，则ABC的形状是()．
A．直角三角形B．等腰三角形C．等腰直角三角形D．无法确定
2．(2013·银川模拟)若a，b是非零向量，且ab，|a|≠|b|，则函数f(x)＝(xa＋b)·(xb－a)是()．A．一次函数且是奇函数B．一次函数但不是奇函数C．二次函数且是偶函数D．二次函数但不是偶函数
3．已知向量a＝(cosθ，sinθ)，b＝(，－1)，则|2a－b|的最大值、最小值分别是()．A．4,0B．16,0C．2,0D．16,4
4．(2012·江西)在直角三角形ABC中，点D是斜边AB的中点，点P为线段CD的中点，则＝()．A．2B．4C．5D．10
5．在平面直角坐标系xOy中，若定点A(1,2)与动点P(x，y)满足·＝4，则点P的轨迹方程是_______．
把a＝－代入，得－＋3y＝0，
＝－(y0＋3)2＋20.
所以当y0＝－3时，2取得最大值20，
当y0＝2时，
得|PC|2－|PQ|2＝0，
(1)题目条件给出向量的坐标中含有三角函数的形式，运用向量共线或垂直或等式成立等，得到三角函数的关系式，然后求解．
(2)给出用三角函数表示的向量坐标，要求的是向量的模或者其他向量的表达形式，解题思路是经过向量的运算，利用三角函数在定义域内的有界性，求得值域等．
∵x∈，cosx≥0，
则点P在AC边的垂线上，同理可得点P在其他边的垂线上，所以点P为三角形ABC的垂心．(1)因为a与b－2c垂直，
＝≤4.
等号成立，所以|b＋c|的最大值为4.
同理可得点N在其他边的中线上，所以点N为三角形ABC的重心；
(1)证明由正弦定理知＝，
从而sinBcosA＝3sinAcosB，
因为cosC＝，0
所以sinC＝＝，
由(1)得＝－2，解得tanA＝1或－，
当且仅当cosx＝0时，f(x)取得最小值－1，这与已知矛盾．
第(1)问直接设动点P的坐标，先把向量之间的关系化简，然后代入向量坐标，化简整理即得轨迹方程；
(1)设P(x，y)，则Q(8，y)．
－
6．(13分)(2012·南通模拟)已知向量m＝，
n＝.(1)若m·n＝1，求cos的值；
(2)记f(x)＝m·n，在ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且满足(2a－c)cosB＝bcosC，求函数f(A)的取值范围．
(2)∵(2a－c)cosB＝bcosC，由正弦定理得(2sinA－sinC)cosB＝sinBcosC，2sinAcosB－sinCcosB＝sinBcosC.2sinAcosB＝sin(B＋C)．A＋B＋C＝π，sin(B＋C)＝sinA≠0.cosB＝，0＜B＜π，B＝，0＜A＜.＜＋＜，sin.
又f(x)＝sin＋，f(A)＝sin＋.
故函数f(A)的取值范围是.(2)由b＋c＝(sinβ＋cosβ，4cosβ－4sinβ)，得|b＋c|＝
解
解(1)·＝cbcosA，·＝cacosB，
又·＝·，bccosA＝accosB，
sinBcosA＝sinAcosB，
即sinAcosB－sinBcosA＝0，sin(A－B)＝0，
－π＜A－B＜π，A＝B，即ABC为等腰三角形．
对于此类问题，一般需要灵活运用向量的运算法则、运算律，将已知条件等价变形，从而得到结论．
特别地，有的问题还需要依据几何图形选取适当的基底(基底中的向量尽量已知模或夹角)，将题中涉及的向量用基底表示，然后计算或证明．
因为·＝3·，所以AB·AC·cosA＝3BA·BC·cosB
求三角函数式的值或求角或分析三角函数式的性质；
【试一试】设a＝(cosα，(λ－1)sinα)，b＝(cosβ，sinβ)(λ>0，0<α<β<)是平面上的两个向量，若向量a＋b与a－b互相垂直．
(1)求实数λ的值；(2)若a·b＝，且tanβ＝，求tanα的值．
＝4sin(α＋β)－8cos(α＋β)＝0，
(1)向量兼具代数的抽象与严谨和几何的直观与形象，向量本身是一个数形结合的产物，在利用向量解决问题时，要注意数与形的结合、代数与几何的结合、形象思维与逻辑思维的结合．
(2)要注意变换思维方式，能从不同角度看问题，要善于应用向量的有关性质解题．
3．已知向量a＝(x－1,2)，b＝(4，y)，若ab，则9x＋3y的最小值为________．
实现平面向量与三角函数、平面向量与解析几何之间的转化的主要手段是向量的坐标运算．
【训练1】(201·厦门二检)已知点O，N，P在△ABC所在的平面内，且||＝||＝||，＋＋＝0，·＝·＝·，则点O，N，P依次是△ABC的()．
A．重心、外心、垂心B．重心、外心、内心
C．外心、重心、垂心D．外心、重心、内心
2．(201·郑州三模)ABC的外接圆圆心为O，半径为2，＋＋＝0，且||＝||，则在方向上的投影为()．
A．1B．2C.D．3
2·＝0，
答案C1．已知a＝(1，sin2x)，b＝(2，sin2x)，其中x(0，π)．若|a·b|＝|a||b|，则tanx的值等于()．
A．1B．－1C.D.
4．在ABC中，BAC＝60°，AB＝2，AC＝1，E，F为边BC的三等分点，则·＝()．A.B.C.D.
解析法一依题意，不妨设B＝E，＝2F，则有－＝(－)，即＝＋；－＝2(－)，即＝＋.所以·＝·＝(2＋)·(＋2)＝(22＋22＋5·)＝(2×22＋2×12＋5×2×1×cos60°)＝，选A.
法二由BAC＝60°，AB＝2，AC＝1可得ACB＝90°，
如图建立直角坐标系，则A(0,1)，E，F，
·＝·＝·＋(－1)·(－1)＝＋1＝，选A.
把数量积转化为三角形边、角关系；
即(x－2)2＋y2－(x－8)2＝0，
(1)a·b＝cos·cos－sin·sin＝cos2x.
由＝－，得
所以O为三角形ABC的外心；
【】?(2012·江苏)在△ABC中已知·＝3·.(1)求证tanB＝3tanA；
(2)若cosC＝，求A的值．
一审：
由(＋)·＝||2，
所以ab.
2．(201·九江模拟)若|a|＝2sin15°，|b|＝4cos15°，a与b的夹角为30°，则a·b的值是()．
A.B.C．2D.
x1x2＋y1y2＝0.
三审：
5．(201·温州适应性测试)在平行四边形ABCD中，已知AB＝2，AD＝1，BAD＝60°，E为CD的中点，则·＝________.
即f(x)＝2(cosx－λ)2－1－2λ2.
当且仅当cosx＝λ时，f(x)取得最小值－1－2λ2，即－1－2λ2＝－，解得λ＝.
当且仅当cosx＝1时，f(x)取得最小值1－4λ，即1－4λ＝－，解得λ＝，这与λ>1相矛盾．
∴∴
整理得y＝x2(x≠0).则＝(a,3)，＝(x－a，y)，＝(－x，b－y)，
【例3】?已知平面上一定点C(2,0)和直线l：x＝8，P为该平面上一动点，作PQ⊥l，垂足为Q，且·＝0.(1)求动点P的轨迹方程；(2)若EF为圆N：x2＋(y－1)2＝1的任一条直径，求·的最值．
因y0[－2，]，
故·的最大值为19；
所以a·(b－2c)
解(1)m∥n，2sinB＝－cos2B，
sin2B＝－cos2B，即tan2B＝－.
又B为锐角，2B∈(0，π)，2B＝，B＝.
8．(13分)已知A，B，C的坐标分别为A(3,0)，B(0,3)，C(cosα，sinα)，α.(1)若||＝||，求角α的值；
(2)若·＝－1，求的值．
1．在ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对应的三角形的边长，若4aB＋2bC＋3cA＝0，则cosB＝()．
A．－B.C.D．－
得·(＋－)＝0，
由·＝·＝·，得·－·＝·＝0，
根据平面向量的运算性质列式(三角函数式)，进而转化为三角恒等变换和三角函数性质问题．
又当β＝kπ－(kZ)时，
(3)由tanαtanβ＝16，得＝，
由中线的性质可知点N在三角形AB边的中线上，
3.(2012·哈尔滨模拟)函数y＝tanx－的
部分图象如图所示，则(＋)·＝()．
A．4B．6C．1D．2
【规范解答】
即AC·cosA＝3BC·cosB，
由上式可知cosA>0，cosB>0，
所以tanB＝3tanA.
从而tanC＝2，于是tan[π－(A＋B)]＝2，
即tan(A＋B)＝－2亦即＝－2，
因为cosA>0，故tanA＝1，所以A＝.
明确表述结论．
1．解析由(＋－2)·(－)＝0，得[(－)
＋(－)]·(－)＝0，所以(＋)·(－)＝0.
所以||2－||2＝0，∴||＝||，故△ABC是等腰三角形．
答案B
2．解析函数f(x)＝x2a·b＋(b2－a2)x－a·b，∵a⊥b，∴a·b＝0，
∴f(x)＝(b2－a2)x.∵|a|≠|b|，∴b2－a2≠0，∴f(x)为一次函数且是奇函数．故选A.答案A
3．解析设a与b夹角为α，∵|a|＝1，|b|＝2，∴|2a－b|2
＝4a2－4a·b＋b2＝8－4|a||b|cosα＝8－8cosα，∵α∈[0，π]，
∴cosα∈[－1,1]，∴8－8cosα∈[0,16]，即|2a－b|2∈[0,16]，
∴|2a－b|∈[0,4]．答案A
①当λ<0时，
即(x－2)2＋y2－(x－8)2＝0，
设M(x，y)为所求轨迹上任一点，设A(a,0)，Q(0，b)(b＞0)，
【训练3】已知点P(0，－3)，点A在x轴上，点Q在y轴的正半轴上，点M满足·＝0，＝－，当点A在x轴上移动时，求动点M的轨迹方程．
|a＋b|＝
因此tan(α＋β)＝2.
【训练2】已知向量a＝，b＝cos，－sin，且x.(1)求a·b及|a＋b|；(2)若f(x)＝a·b－2λ|a＋b|的最小值是－，求λ的值．
5．(12分)△ABC中内角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量m＝(2sinB，－)，n＝且m∥n.
(1)求锐角B的大小；(2)如果b＝2，求SABC的最大值．
【例1】?在△ABC中，(＋)·＝||2，则△ABC的形状一定是()．
A．等边三角形B．等腰三角形
C．直角三角形D．等腰直角三角形
即·(＋＋)＝0
∴⊥，A＝90°
7．(12分)(2012·北京海淀模拟)在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若·＝·＝k(kR)．
(1)判断ABC的形状；(2)若c＝，求k的值．
1．向量在平面几何中的应用
向量在平面几何中的应用主要是用向量的线性运算及数量积解决平面几何中的平行、垂直、平移、全等、相似、长度、夹角等问题．
(1)证明线段平行或点共线问题，包括相似问题，常用共线向量定理：ab?a＝λb(b≠0)
(2)证明垂直问题，常用数量积的运算性质
ab?a·b＝0
(3)求夹角问题，利用夹角公式
cosθ＝＝(θ为a与b的夹角)．
二审：
tan(A＋B)＝－tanC.
将向量间的关系式化成三角函数式；
6．(201·东北三校一模)设ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若(3b－c)cosA＝acosC，SABC＝，则·＝________.
∵x∈，0≤cosx≤1.
【例3】?已知平面上一定点C(2,0)和直线l：x＝8，P为该平面上一动点，作PQ⊥l，垂足为Q，且·＝0.(1)求动点P的轨迹方程；
(2)若EF为圆N：x2＋(y－1)2＝1的任一条直径，求·的最值．
2取得最小值为13－4(此时x0＝0)，
由·＝0，得a(x－a)＋3y＝0.
＝4cosαsinβ－8cosαcosβ＋4sinαcosβ＋8sinαsinβ
由＋＋＝0，得＋＝－＝，
4．(201·山西大学附中月考)已知|a|＝2|b|≠0，且关于x的函数f(x)＝x3＋|a|x2＋a·bx在R上有极值，则a与b的夹角范围为________．
又根据已知条件不能得到||＝||，故ABC一定是直角三角形．
【例2】?设向量a＝(4cosα，sinα)，b＝(sinβ，4cosβ)，c＝(cosβ，－4sinβ)．
(1)若a与b－2c垂直，求tan(α＋β)的值；
(2)求|b＋c|的最大值；
(3)若tanαtanβ＝16，求证：a∥b.
(1)解决平面向量与三角函数的交汇问题，要利用平面向量的定义和运算法则准确转化为三角函数式．
(2)本题难度中档偏下，大部分考生能较准确地做出来，得到满分．
(2)f(x)＝cos2x－4λcosx，
6．(13分)(2012·南通模拟)已知向量m＝，
n＝.
(1)若m·n＝1，求cos的值；
(2)记f(x)＝m·n，在ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且满足(2a－c)cosB＝bcosC，求函数f(A)的取值范围．
由(＋)·(－)＝0，
(x－a，y)＝－(－x，b－y)＝，
(1)载体作用；向量在解析几何问题中出现，多用于“包装”，解决此类问题时关键是利用向量的意义、运算脱去“向量外衣”，导出曲线上点的坐标之间的关系，从而解决有关距离、斜率、夹角、轨迹、最值等问题．
向量在解析几何中的作用【例3】?已知平面上一定点C(2,0)和直线l：x＝8，P为该平面上一动点，作PQ⊥l，垂足为Q，且·＝0.(1)求动点P的轨迹方程；
(2)若EF为圆N：x2＋(y－1)2＝1的任一条直径，求·的最值．
第(2)问先利用圆的性质化简向量数量积，将其转化为动点P与定点N的距离的最值，最后代入点的坐标将其转化为函数的最值求解
(2)因·＝(－)·(－)
＝(－－)·(－)＝(－)2－2
＝2－1，
P是椭圆＋＝1上的任一点，设P(x0，y0)，
则有＋＝1，即x＝16－，
又N(0,1)，所以2＝x＋(y0－1)2＝－y－2y0＋17
故·的最小值为12－4.
(2)工具作用：利用a⊥ba·b＝0，a∥ba＝λb(b≠0)，可解决垂直、平行问题，特别地，向量垂直、平行的坐标表示对于解决解析几何中的垂直、平行问题是一种比较可行的方法化简得＋＝1.
(1)由题设，可得(a＋b)·(a－b)＝0，
即|a|2－|b|2＝0.代入a，b的坐标
可得cos2α＋(λ－1)2sin2α－cos2β－sin2β＝0，
所以(λ－1)2sin2α－sin2α＝0，
即sin2α[(λ－1)2－1]＝0.
因为0<α<，故sin2α≠0，所以(λ－1)2－1＝0，
4．在ABC中，BAC＝60°，AB＝2，AC＝1，E，F为边BC的三等分点，则·＝()．A.B.C.D.
(2)∵B＝，b＝2，由余弦定理cosB＝，
得a2＋c2－ac－4＝0.又a2＋c2≥2ac，代入上式，得ac≤4(当且仅当a＝c＝2时等号成立)．SABC＝acsinB＝ac≤(当且仅当a＝c＝2时等号成立)，即SABC的最大值为.
解析由|a·b|＝|a||b|知，ab.
所以sin2x＝2sin2x，即2sinxcosx＝2sin2x，而x∈(0，π)，
所以sinx＝cosx，即x＝，故tanx＝1.
答案A
解析a·b＝|a||b|cos30°＝8sin15°cos15°·＝4·sin30°·＝.
答案B
解析由条件可得B(3,1)，A(2,0)，
(＋)·＝(＋)·(－)＝2－2＝10－4＝6.
答案B
解析法一依题意，不妨设B＝E，＝2F，则有－＝(－)，即＝＋；－＝2(－)，即＝＋.所以·＝·＝(2＋)·(＋2)＝(22＋22＋5·)＝(2×22＋2×12＋5×2×1×cos60°)＝，选A.法二由BAC＝60°，AB＝2，AC＝1可得∠ACB＝90°，如图建立直角坐标系，则A(0,1)，，F，·＝·＝·＋(－1)·(－1)＝＋1＝，选A.
解析A·B＝·(B＋B)＝(A＋D)·(A－D)＝A2－·A－D2＝1－
×1×2cos60°－×4＝－.答案－
解析依题意得(3sinB－sinC)cosA＝sinAcosC，
即3sinBcosA＝sinAcosC＋sinCcosA＝sin(A＋C)＝sinB>0，
于是有cosA＝，sinA＝＝，
又SABC＝·bcsinA＝bc×＝，
所以bc＝3，·＝bccos(π－A)＝－bccosA＝－3×＝－1.
解析由4aB＋2bC＋3cA＝0，得4aB＋3cA＝－2bC＝－2b(B－B)＝2bA＋2bB，所以4a＝3c＝2b.由余弦定理得cosB＝＝＝－.答案A
解析如图，由题意可设D为BC的中点，由＋＋＝0，得＋2＝0，即＝2，∴A，O，D共线且||＝2||，又O为ABC的外心，AO为BC的中垂线，||＝||＝||＝2，||＝1，||＝，在方向上的投影为.答案C
解析若ab，则4(x－1)＋2y＝0，即2x＋y＝2.
9x＋3y＝32x＋3y≥2×＝2×＝6.
当且仅当x＝，y＝1时取得最小值．
答案6
解析由题意得：f′(x)＝x2＋|a|x＋a·b必有零点，即Δ＝|a|2－4a·b>0，即4|b|2－8|b|2cos〈a，b〉>0，即－1≤cos〈a，b〉<.所以a与b的夹角范围为.
答案
4．解析如图，以C为原点，CB，AC所在直线为x轴，y轴，建立平面直角坐标系．设A(0，a)，B(b,0)，则D，P，由两点间的距离公式可得|PA|2＝＋，|PB|2＝＋，|PC|2＝＋.所以＝＝10.答案D
5．解析由·＝4，得(x，y)·(1,2)＝4，
即x＋2y＝4.答案x＋2y－4＝0
解得λ＝2或λ＝0(舍去)．故λ＝2.
(2)由(1)及题设条件，知
a·b＝cosαcosβ＋sinαsinβ＝cos(α－β)＝.
因为0<α<β<，所以－<α－β<0.
所以sin(α－β)＝－，tan(α－β)＝－.
所以tanα＝tan[(α－β)＋β]＝
＝＝.
所以tanα＝
(2)由(1)知，·＝bccosA＝bc·＝＝k，
c＝，k＝1.
8．(13分)已知A，B，C的坐标分别为A(3,0)，B(0,3)，C(cosα，sinα)，α.(1)若||＝||，求角α的值；
(2)若·＝－1，求的值．
(2)由·＝－1，得(cosα－3)cosα＋sinα(sinα－3)＝－1，
sinα＋cosα＝.
又＝＝2sinαcosα.
由式两边分别平方，得1＋2sinαcosα＝，
2sinαcosα＝－.＝－.
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