结束放映返回目录获取详细资料请浏览：www.zxjkw.com【2014年高考会这样考】1．考查空间向量的线性运算、数量积和空间向量基本定理及其意义．2．利用向量的数量积判断两空间向量的平行与垂直关系．第6讲空间向量及其运算抓住4个考点突破3个考向揭秘3年高考限时规范训练空间向量的有关概念共线向量、共面向量定理和空间向量基本定理空间向量的线性运算及运算律空间向量的数量积及运算律考向一考向二考向三客观题中空间向量的应用单击标题可完成对应小部分的学习，每小部分独立成块，可全讲，也可选讲助学微博考点自测A级【例1】【训练1】【例2】【训练2】【例3】【训练3】空间向量数量积的应用共线、共面向量定理的应用空间向量的线性运算选择题填空题解答题B级选择题填空题解答题考点梳理1．空间向量的有关概念(1)空间向量：在空间中，具有和的量叫做空间向量．(2)相等向量：方向且模的向量．(3)共线向量：表示空间向量的有向线段所在的直线互相的向量．(4)共面向量：的向量．大小方向相同相等平行或重合平行于同一个平面考点梳理考点梳理考点梳理助学微博用空间向量解决几何问题的一般方法步骤是：(1)适当的选取基底{a，b，c}；(2)用a，b，c表示相关向量；(3)通过运算完成证明或计算问题．一种方法助学微博两个理解单击图标显示详解答案显示单击题号显示结果考点自测BCCA12345[审题视点]根据空间向量加减法及数乘运算的法则和运算律即可求解．考向一空间向量的线性运算[方法锦囊][审题视点]根据空间向量加减法及数乘运算的法则和运算律即可求解．考向一空间向量的线性运算[方法锦囊][审题视点]考向二共线、共面向量定理的应用考向二共线、共面向量定理的应用[方法锦囊]在求一个向量由其他向量来表示的时候，通常是利用向量的三角形法则、平行四边形法则和共线向量的特点，把要求的向量逐步分解，向已知向量靠近，进行求解，若要证明两直线平行，只需判定两直线所在的向量满足线性a＝λb关系，即可断定两直线平行．考向二共线、共面向量定理的应用[方法锦囊]在求一个向量由其他向量来表示的时候，通常是利用向量的三角形法则、平行四边形法则和共线向量的特点，把要求的向量逐步分解，向已知向量靠近，进行求解，若要证明两直线平行，只需判定两直线所在的向量满足线性a＝λb关系，即可断定两直线平行．考向二共线、共面向量定理的应用[方法锦囊]在求一个向量由其他向量来表示的时候，通常是利用向量的三角形法则、平行四边形法则和共线向量的特点，把要求的向量逐步分解，向已知向量靠近，进行求解，若要证明两直线平行，只需判定两直线所在的向量满足线性a＝λb关系，即可断定两直线平行．[审题视点]考向三空间向量数量积的应用[审题视点]考向三空间向量数量积的应用【方法锦囊】[审题视点]考向三空间向量数量积的应用【方法锦囊】[审题视点]考向三空间向量数量积的应用【方法锦囊】方法优化11客观题中空间向量的应用【命题研究】通过分析近三年的高考题可以看出，运用空间向量的数量积与坐标运算来解决立体几何问题仍是高考考查的重点和热点．一般情况下与立体几何中证明空间中的位置关系，求空间角及距离一起考查，多为解答题，若单独命题，一般考查空间向量基本定理、线性运算、数量积运算、坐标运算，多以选择题、填空题的形式出现．揭秘3年高考一、选择题单击问号出详解单击题号出题干1234A级基础演练二、填空题单击问号出详解单击题号出题干56A级基础演练结束放映返回目录获取详细资料请浏览：www.zxjkw.com(1)共线向量定理还可以有以下几种形式：
a＝λbb≠0）?a∥b；
空间任意两个向量，共线的充要条件是存在λ，μR使λa＝μb.
若，不共线，则P，A，B三点共线的充要条件是＝λ＋μ且λ＋μ＝1.
(2)对于共面向量定理和空间向量基本定理可对比共线向量定理进行学习理解．空间向量基本定理是适当选取基底的依据，共线向量定理和共面向量定理是证明三点共线、线线平行、四点共面、线面平行的工具，三个定理保证了由向量作为桥梁由实数运算方法完成几何证明问题的完美“嫁接”．
欲证PMQN，只要证明·＝0即可．
(3)找一点O，并连接OM，OA，OB，OC，OD，OE，OG.
由(2)知＝，同理＝，
所以＝，即EHFG，
所以四边形EFGH是平行四边形．
所以EG，FH交于一点M且被M平分．
故＝(＋)＝＋
＝＋
＝(＋＋＋)．
【训练1】如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中G为A1BD的重心，设＝a，＝b，＝c，试用a，b，c表示，.
解＝＋＋＝＋＋＝a＋b＋c.
＝＋＝＋(＋)＝＋(－)＋(－)＝＋＋＝a＋b＋c.
[教你解题]思路1：取从同一个顶点出发两两垂直的三个向量为基向量，用基向量表示出向量和，求其数量积和模，代入夹角公式．
思路2：建空间坐标系；求相关点坐标；计算、坐标；代入夹角公式．
[一般解法]设＝a，＝b，＝c，
⊥1，，1，
a·b＝0，a·c＝0，b·c＝0.
＝c－a，1＝1＝b，1＝＋＝c－a＋b.
又1＝b－c，1·1＝(b－c)·(c－a＋b)
＝b·c－a·b＋b2－c2＋a·c－b·c
＝b2－c2，CA＝CC1＝2CB，
|a|＝|b|＝2|c|，
·＝3|c|2.
【真题探究】
(2012·陕西)如图所示，在空间直角坐标系中有直三棱柱ABCA1B1C1，CA＝CC1＝2CB，则直线BC1与直线AB1夹角的余弦值为()．
A.B.C.D.
2．共线向量、共面向量定理和空间向量基本定理
(1)共线向量定理
对空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使得a＝λb.
推论如图所示，点P在l上的充要条件是：＝＋ta
其中a叫直线l的方向向量，tR，在l上取＝a，则可化为＝＋t或＝(1－t)＋t.
(2)共面向量定理
共面向量定理的向量表达式：p＝xa＋yb，其中x，yR，a，b为不共线向量，推论的表达式为＝x＋y或对空间任意一点O，有＝＋x＋y或＝x＋y＋z，其中x＋y＋z＝1.
(3)空间向量基本定理
如果三个向量a，b，c不共面，那么对空间任一向量p，存在有序实数组{x，y，z}，使得p＝xa＋yb＋zc，把{a，b，c}叫做空间向量的一个基底．
3．空间向量的线性运算及运算律
(1)定义：与平面向量运算一样，空间向量的加法、减法与数乘向量运算，如下：＝＋＝a＋b；＝－＝a－b；＝λa(λR)．
(2)运算律：①加法交换律：a＋b＝b＋a；
加法结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)；
数乘分配律：λ(a＋b)＝λa＋λb.
1．下列有关空间向量的四个命题中，错误命题为()．
A．空间中有无数多组不共面的向量可作为向量的基底
B．向量与平面平行，则向量所在的直线与平面平行
C．平面α的法向量垂直于α内的每个向量
D．空间中的任一非零向量都可唯一地表示成空间中不共面向量的线性组合的形式
2．(人教A版教材习题改编)下列命题：
若A、B、C、D是空间任意四点，则有＋＋＋＝0；
|a|－|b|＝|a＋b|是a、b共线的充要条件；
若a、b共线，则a与b所在直线平行；
对空间任意一点O与不共线的三点A、B、C，若＝x＋y＋z(其中x、y、zR)，则P、A、B、C四点共面．
其中不正确命题的个数是()．A．1B．2C．3D．4
3．(2013·威海模拟)已知正方体ABCDA1B1C1D1中，点E为上底面A1C1的中心，若＝＋x＋y，则x、y的值分别为()．
A．x＝1，y＝1B．x＝1，y＝
C．x＝，y＝D．x＝，y＝1
4．a＝λb(λ是实数)是a与b共线的()．
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
5．在四面体O-ABC中，＝a，＝b，＝c，D为BC的中点，E为AD的中点，则＝________(用a，b，c表示)．
【训练2】对于空间某一点O，空间四个点A、B、C、D(无三点共线)分别对应着向量a＝，b＝，c＝，d＝.求证：A、B、C、D四点共面的充要条件是存在非零实数α、β、γ、δ，使αa＋βb＋γc＋δd＝0(α＋β＋γ＋δ＝0)．
证明假设A、B、C、D四点共面，
因为A、B、C三点不共线，故、两向量不共线，
因此存在实数x、y，使＝x＋y，
即d－a＝x(b－a)＋y(c－a)，也即(x＋y－1)a－xb－yc＋d＝0.
令α＝x＋y－1，β＝－x，γ＝－y，δ＝1，
则α＋β＋γ＋δ＝(x＋y－1)－x－y＋1＝0.
【例1】(2013·舟山月考)如图所示，已知空间四边形OABC，其对角线为OB、AC，M、N分别为OA、BC的中点，点G在线段MN上，且＝2，若＝x＋y＋z，则x，y，z的值分别为________．
解析＝＋＝＋
＝＋(－)＝＋－
＝＋×(＋)－×
＝＋＋，
x，y，z的值分别为，，.
答案，，
又1＝(c－a＋b)2＝c2＋a2＋b2－2a·c＋2b·c－2a·b＝c2＋a2＋b2＝9c2，
12＝(b－c)2＝b2＋c2－2b·c＝b2＋c2＝5c2.
||＝3|c|，||＝|c|，
cos〈，〉＝＝>0，
向量与夹角即为直线BC1与直线AB1的夹角．
直线BC1与直线AB1夹角的余弦值为.
答案A
【真题探究】
(2012·陕西)如图所示，在空间直角坐标系中有直三棱柱ABCA1B1C1，CA＝CC1＝2CB，则直线BC1与直线AB1夹角的余弦值为()．
A.B.C.D.
[优美解法]不妨令CB＝1，则CA＝CC1＝2.
可得O(0,0,0)，B(0,0,1)，C1(0,2,0)，A(2,0,0)，B1(0,2,1)，
＝(0,2，－1)，＝(－2,2,1)，
cos〈，〉＝＝＝＝>0.
∴与的夹角即为直线BC1与直线AB1的夹角，
直线BC1与直线AB1夹角的余弦值为.
答案A
[备考]用空间向量求角的大小的常用方法
(1)线线角：设两异面直线a，b所成的角为θ，m，n分别是直线a，b的方向向量，则有cosθ＝|cos〈m，n〉|＝.异面直线所成角的范围是(0°，90°]，因此，如果按照公式求出来的向量的数量积是一个负数，则应当取其绝对值，使之变为正值，这样求得的角为锐角．
【真题探究】
(2012·陕西)如图所示，在空间直角坐标系中有直三棱柱ABCA1B1C1，CA＝CC1＝2CB，则直线BC1与直线AB1夹角的余弦值为()．
A.B.C.D.
欲证PMQN，只要证明·＝0即可．
【训练3】(2013·杭州模拟)直三棱柱ABC-A′B′C′中，AC＝BC＝AA′，ACB＝90°，D、E分别为AB、BB′的中点．
(1)求证：CEA′D；
(2)求异面直线CE与AC′所成角的余弦值．
(1)证明设＝a，＝b，＝c，根据题意，|a|＝|b|＝|c|且a·b＝b·c＝c·a＝0，
＝b＋c，＝－c＋b－a
·＝－c2＋b2＝0.⊥，即CEA′D.
1．解析若向量与平面平行，则向量所在的直线与平面平行或在平面内．
答案B
2．解析中四点恰好围成一封闭图形，正确；中当a、b同向时，应有|a|＋|b|＝|a＋b|；中a、b所在直线可能重合；
中需满足x＋y＋z＝1，才有P、A、B、C四点共面．
答案C
3．解析如图，＝＋＝＋＝＋(＋)．
答案C
4．解析a＝λba∥b，但则ab，a≠λb.
答案A
5．解析如图，＝＋＝＋＋＝a＋b＋c.
答案a＋b＋c
4．空间向量的数量积及运算律
(1)数量积及相关概念：
两向量的夹角：已知两个非零向量a，b在空间任取一点O，作＝a，＝b，则AOB叫做向量a与b的夹角，记作〈a，b〉，其范围是0≤〈a，b〉≤π，若〈a，b〉＝，则称a与b互相垂直，记作a⊥b.
两个向量的数量积：已知空间两个非零向量a，b，则|a||b|·cos〈a，b〉叫做向量a，b的数量积，记作a·b，即a·b＝|a||b|·cos〈a，b〉．
(2)空间向量数量积的运算律
结合律：(λa)·b＝λ(a·b)；
交换律：a·b＝b·a；
分配律：a·(b＋c)＝a·b＋a·c.
1.当题目条件有垂直关系时，常转化为向量数量积为零进行求解；
2．立体几何中求线段的长度可以通过解三角形，也可依据|a|＝转化为向量运算求解．
用已知向量来表示未知向量，一定要结合图形，以图形为指导是解题的关键．要正确理解向量加法、减法与数乘运算的几何意义．首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的始点指向末尾向量的终点的向量，在立体几何中三角形法则、平行四边形法则仍然成立．
用已知向量来表示未知向量，一定要结合图形，以图形为指导是解题的关键．要正确理解向量加法、减法与数乘运算的几何意义．首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的始点指向末尾向量的终点的向量，在立体几何中三角形法则、平行四边形法则仍然成立．
【例2】?已知E、F、G、H分别是空间四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA的中点，
(1)求证：E、F、G、H四点共面；
(2)求证：BD平面EFGH；
(3)设M是EG和FH的交点，求证：对空间任一点O，有＝(＋＋＋)．
证明(1)连接BG，则
＝＋＝＋(＋)
＝＋＋＝＋，
由共面向量定理的推论知：E、F、G、H四点共面．
(2)因为＝－＝－＝(－)＝，所以EHBD.
又EH平面EFGH，BD?平面EFGH，
所以BD平面EFGH.
对于(1)只要证出＝＋即可；对于(2)只要证出向量与共线即可；对于(3)，易知四边形EFGH为平行四边形，则点M为线段EG与FH的中点，于是向量可由向量和表示，再将与分别用向量，和向量，表示．
【例3】已知空间四边形OABC中，M为BC的中点，N为AC的中点，P为OA的中点，Q为OB的中点，若AB＝OC，求证：PMQN.
证明如图所示，设＝a，＝b，＝c.
＝(＋)＝(b＋c)，
＝(＋)＝(a＋c)，
＝＋＝－a＋(b＋c)＝(b＋c－a)，
(2)直线与平面所成的角：设直线AB与平面α所成的角为θ，平面α的法向量为n，则有sinθ＝|cos〈，n〉|＝.注意，直线和平面所成角的取值范围为[0°，90°]．
(3)二面角：设二面角的平面角为θ，两个半平面的法向量分别为m，n，则有cos〈m，n〉＝，根据图形和计算结果判断θ是锐角、直角，还是钝角，从而得出θ与〈m，n〉是相等还是互补．
【真题探究】
(2012·陕西)如图所示，在空间直角坐标系中有直三棱柱ABCA1B1C1，CA＝CC1＝2CB，则直线BC1与直线AB1夹角的余弦值为()．
A.B.C.D.
解析以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，则M，N(x,0，z)，＝(－1,1,0)，因此·＝·(－1,1,0)＝1－x－＝0，即x＝，故点N在EG上，就有MNA1C1.设平面B1D1C的一个法向量为n＝(－1,1,1)，若MN平面B1D1C，则·n＝·(－1,1,1)＝1－x－＋z＝0，即x－z－＝0，故点N在EH上，就有MN平面B1D1C.
答案点N在EG上点N在EH上
【试一试】
(2013·琼海一模)如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F，G，H，M分别是棱AD，DD1，D1A1，A1A，AB的中点，点N在四边形EFGH的四边及其内部运动，则当N只需满足条件________时，就有MNA1C1；当N只需满足条件________时，就有MN平面B1D1C.
②如果存在非零实数α，β，γ，δ使αa＋βb＋γc＋δd＝0(α＋β＋γ＋δ＝0)成立，则δ＝－(α＋β＋γ)，代入得αa＋βb＋γc－(α＋β＋γ)d＝0，即α(a－d)＋β(b－d)＋γ(c－d)＝0，
亦即α＋β＋γ＝0.＝－－.
与、共面，这样，A、B、C、D四点共面．
即A、B、C、D四点共面的充要条件是存在非零实数α、β、γ、δ，使αa＋βb＋γc＋δd＝0(α＋β＋γ＋δ＝0)．
(2)解＝－a＋c，＝b＋c，
∴||＝|a|，||＝|a|.
·＝(－a＋c)·＝c2＝|a|2，
cos〈，〉＝＝.
即异面直线CE与AC′所成角的余弦值为.
欲证PMQN，只要证明·＝0即可．
1.当题目条件有垂直关系时，常转化为向量数量积为零进行求解；
2．立体几何中求线段的长度可以通过解三角形，也可依据|a|＝转化为向量运算求解．
＝＋＝－b＋(a＋c)＝(a＋c－b)．
·＝[c－(a－b)][c＋(a－b)]＝[c2－(a－b)2]＝(||2－||2)．||＝||，·＝0，
即，故PMQN.
欲证PMQN，只要证明·＝0即可．
1.当题目条件有垂直关系时，常转化为向量数量积为零进行求解；
2．立体几何中求线段的长度可以通过解三角形，也可依据|a|＝转化为向量运算求解．
1．在下列命题中：若向量a，b共线，则向量a，b所在的直线平行；
若向量a，b所在的直线为异面直线，则向量a，b一定不共面；
若三个向量a，b，c两两共面，则向量a，b，c，共面：
已知空间的三个向量a，b，c，则对于空间的任意一个向量p总存在实数x，y，z使得p＝xa＋yb＋zc.其中正确命题的个数是()．
A．0B．1C．2D．3
解析a与b共线，a，b所在直线也可能重合，故不正确；根据自由向量的意义知，空间任两向量a，b都共面，故错误；三个向量a，b，c中任两个一定共面，但它们三个却不一定共面，故不正确；只有当a，b，c不共面时，空间任意一向量p才能表示为p＝xa＋yb＋zc，故不正确，综上可知四个命题中正确的个数为0，故选A.
答案A
2．若向量a＝(1,1，x)，b＝(1,2,1)，c＝(1,1,1)，满足条件(c－a)·(2b)＝－2，则x＝()．
A．－4B．－2C．4D．2
解析a＝(1,1，x)，b＝(1,2,1)，c＝(1,1,1)，
c－a＝(0,0,1－x)，2b＝(2,4,2)．
(c－a)·(2b)＝2(1－x)＝－2，x＝2.
答案D
3．若{a，b，c}为空间的一组基底，则下列各项中，能构成基底的一组向量是()．A．{a，a＋b，a－b}B．{b，a＋b，a－b}
C．{c，a＋b，a－b}D．{a＋b，a－b，a＋2b}
解析若c、a＋b、a－b共面，则c＝λ(a＋b)＋m(a－b)＝(λ＋m)a＋(λ－m)b，则a、b、c为共面向量，此与{a，b，c}为空间向量的一组基底矛盾，故c，a＋b，a－b可构成空间向量的一组基底．
答案C
4.如图所示，已知空间四边形OABC，OB＝OC，且∠AOB＝AOC＝，则cos〈，〉的值为()．
A．0B.C.D.
解析设＝a，＝b，＝c
由已知条件〈a，b〉＝〈a，c〉＝，且|b|＝|c|，
·＝a·(c－b)＝a·c－a·b＝|a||c|－|a||b|＝0，cos〈，〉＝0.答案A
5．在下列条件中，使M与A、B、C一定共面的是．
＝2－－；＝＋＋；
＋＋＝0；＋＋＋＝0；
解析＋＋＝0，＝－－，则、、为共面向量，即M、A、B、C四点共面．
答案
6.在空间四边形ABCD中，·＋·＋·＝.
解析如图，设＝a，＝b，＝c，
·＋·＋·＝a·(c－b)＋b·(a－c)＋c·(b－a)＝0.
答案0
7．(12分)已知A、B、C三点不共线，对平面ABC外的任一点O，若点M满足＝(＋＋)．
(1)判断、、三个向量是否共面；
(2)判断点M是否在平面ABC内．
解(1)由已知＋＋＝3，
－＝(－)＋(－)，
即＝＋＝－－，
，，共面．
(2)由(1)知，，，共面且基线过同一点M，
四点M，A，B，C共面，从而点M在平面ABC内．
8．(13分)如右图，在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中，G为△BC1D的重心，
(1)试证：A1、G、C三点共线；
(2)试证：A1C平面BC1D；
(3)求点C到平面BC1D的距离．
(1)证明＝＋＋＝＋＋，
可以证明：＝(＋＋)＝，
∥，即A1、G、C三点共线．
(2)证明设＝a，＝b，＝c，则|a|＝|b|＝|c|＝a，
且a·b＝b·c＝c·a＝0，
＝a＋b＋c，＝c－a，·＝(a＋b＋c)·(c－a)＝c2－a2＝0，⊥，即CA1BC1，同理可证：CA1BD，因此A1C平面BC1D.
(3)解＝a＋b＋c，2＝a2＋b2＋c2＝3a2，
即||＝a，因此||＝a.
即C到平面BC1D的距离为a.
1．(2013·海淀月考)以下四个命题中正确的是()．
A．空间的任何一个向量都可用其他三个向量表示
B．若{a，b，c}为空间向量的一组基底，则{a＋b，b＋c，c＋a}构成空间向量的另一组基底
C．ABC为直角三角形的充要条件是·＝0
D．任何三个不共线的向量都可构成空间向量的一组基底
解析若a＋b、b＋c、c＋a为共面向量，则a＋b＝λ(b＋c)＋μ(c＋a)，(1－μ)a＝(λ－1)b＋(λ＋μ)c，λ，μ不可能同时为1，设μ≠1，则a＝b＋c，则a、b、c为共面向量，此与{a，b，c}为空间向量基底矛盾．
答案B
2．如图所示，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，M为A1C1与B1D1的交点．若＝a，＝b，＝c，则下列向量中与相等的向量是()．
A．－a＋b＋cB.a＋b＋c
C．－a－b＋cD.a－b＋c
解析＝＋＝＋(－)
＝c＋(b－a)＝－a＋b＋c.
答案A
3．已知在一个60°的二面角的棱上，如图有两个点A，B，AC，BD分别是在这个二面角的两个半平面内垂直于AB的线段，且AB＝4cm，AC＝6cm，BD＝8cm，则CD的长为2cm．
解析设＝a，＝b，＝c，
由已知条件|a|＝8，|b|＝4，|c|＝6，
〈a，b〉＝90°，〈b，c〉＝90°，〈a，c〉＝60°
||2＝|＋＋|2＝|－c＋b＋a|2
＝a2＋b2＋c2＋2a·b－2a·c－2b·c＝68，
则||＝2.
答案2cm
4．如图，空间四边形OABC中，OA＝8，AB＝6，AC＝4，BC＝5，∠OAC＝45°，OAB＝60°，则OA与BC所成角的余弦值等于．
解析设＝a，＝b，＝c.
OA与BC所成的角为θ，
·＝a(c－b)＝a·c－a·b＝a·(a＋)－a·(a＋)＝a2＋a·－a2－a·＝24－16.
cosθ＝＝＝.答案
5．(12分)如图，已知M、N分别为四面体ABCD的面BCD与面ACD的重心，且G为AM上一点，且GM∶GA＝13.求证：B、G、N三点共线．
证明设＝a，＝b，＝c，则
＝＋＝＋
＝－a＋(a＋b＋c)＝－a＋b＋c，
＝＋＝＋(＋)
＝－a＋b＋c＝.
∥，即B、G、N三点共线．
6．(13分)如图所示，已知空间四边形ABCD的每条边和对角线长都等于1，点E，F，G分别是AB、AD、CD的中点，计算：
(1)·；(2)·；(3)EG的长；
(4)异面直线AG与CE所成角的余弦值．
解设＝a，＝b，＝c.
则|a|＝|b|＝|c|＝1，〈a，b〉＝〈b，c〉＝〈c，a〉＝60°，
(1)＝＝c－a，＝－a，＝b－c，·＝·(－a)＝a2－a·c＝，
(2)·＝(c－a)·(b－c)＝(b·c－a·b－c2＋a·c)＝－；
(3)＝＋＋
＝a＋b－a＋c－b
＝－a＋b＋c，
||2＝a2＋b2＋c2－a·b＋b·c－c·a＝，则||＝.
(4)＝b＋c，＝＋＝－b＋a，
cos〈，〉＝＝－，
由于异面直线所成角的范围是(0°，90°]，
所以异面直线AG与CE所成角的余弦值为.
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