结束放映返回目录获取详细资料请浏览：www.zxjkw.com【2014年高考会这样考】1．能用计数原理证明二项式定理．2．会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题第3讲二项式定理抓住3个考点突破3个考向揭秘3年高考活页限时训练二项式定理二项展开式形式上的特点二项式系数的性质考向一考向二考向三二项式定理的常考题型单击标题可完成对应小部分的学习，每小部分独立成块，可全讲，也可选讲助学微博考点自测A级【例1】【训练1】【例2】【训练2】【例3】【训练3】二项式的和与积二项式定理中的赋值二项展开式中的特定项或特定项的系数选择题填空题解答题B级选择题填空题解答题考点梳理考点梳理考点梳理助学微博一个防范二项式定理可利用数学归纳法证明，也可根据次数，项数和系数利用排列组合的知识推导二项式定理．因此二项式定理是排列组合知识的发展和延续．一个定理两种应用(1)通项的应用：利用二项展开式的通项可求指定的项或指定项的系数等．(2)展开式的应用：①证明与二项式系数有关的等式；②证明不等式；③证明整除问题；④做近似计算等．单击图标显示详解答案显示单击题号显示结果考点自测DBB-160112345[审题视点]准确记住二项展开式的通项公式是解此类题的关键．考向一二项展开式中的特定项或特定项的系数[审题视点]准确记住二项展开式的通项公式是解此类题的关键．考向一二项展开式中的特定项或特定项的系数[方法锦囊][审题视点]准确记住二项展开式的通项公式是解此类题的关键．考向一二项展开式中的特定项或特定项的系数[方法锦囊][审题视点]求二项式的系数的和,常用赋值法求解．考向二二项式定理中的赋值考向二二项式定理中的赋值[方法锦囊]考向二二项式定理中的赋值[方法锦囊]求多个二项式积的某项系数，要会转化成二项式定理的形式．[审题视点]考向三二项式的和与积对于求多个二项式的和或积的展开式中某项的系数问题，要注意排列、组合知识的运用，还要注意有关指数的运算性质．对于三项式问题，一般是通过合并其中的两项或进行因式分解，转化成二项式定理的形式去求解．【方法锦囊】求多个二项式积的某项系数，要会转化成二项式定理的形式．[审题视点]考向三二项式的和与积对于求多个二项式的和或积的展开式中某项的系数问题，要注意排列、组合知识的运用，还要注意有关指数的运算性质．对于三项式问题，一般是通过合并其中的两项或进行因式分解，转化成二项式定理的形式去求解．【方法锦囊】热点突破26二项式定理的常考题型【命题研究】通过对近三年高考试题的研究可以看出，二项式定理的应用及二项式系数的性质是高考的必考内容之一，二项式定理揭示了二项式的幂展开式在项数、系数以及各项中的指数等方面的联系，试题相对独立，是高考中多年来最缺少变化的题型之一，预测2014年高考仍将以考查二项展开式中的常数项或求展开式中某一项或某一项的系数为主，考查题型主要是选择题和填空题．揭秘3年高考一、选择题单击问号出详解单击题号出题干1234A级基础演练二、填空题单击问号出详解单击题号出题干56A级基础演练三、解答题单击问号出详解单击题号出题干78A级基础演练一、选择题单击问号出详解单击题号出题干12B级能力突破结束放映返回目录获取详细资料请浏览：www.zxjkw.com【训练3】(2012·安徽)(x2＋2)5的展开式的常数项是()．
A．－3B．－2C．2D．3
解析二项式5展开式的通项为：Tr＋1＝C5－r·(－1)r＝C·x2r－10·(－1)r.
当2r－10＝－2，即r＝4时，有x2·Cx－2·(－1)4＝5；
当2r－10＝0，即r＝5时，有2·Cx0·(－1)5＝－2.
展开式中的常数项为5－2＝3，故选D.
答案D
【例1】已知在n的展开式中，第6项为常数项．
(1)求n；(2)求含x2的项的系数；(3)求展开式中所有的有理项．
解通项公式为Tr＋1＝Cx(－3)rx＝(－3)rCx.
(1)第6项为常数项，r＝5时，有＝0，解得n＝10.
(2)令＝2，得r＝(n－6)＝2，
x2的项的系数为C(－3)2＝405.
1．(2012·四川)(1＋x)7的展开式中x2的系数是()．
A．42B．35C．28D．21
2．(人教A版教材习题改编)若(x－1)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4，则a0＋a2＋a4的值为()．
A．9B．8C．7D．6
3．(2011·重庆)(1＋3x)n(其中n∈N且n≥6)的展开式中x5与x6的系数相等，则n＝()．
A．6B．7C．8D．9
4．(2012·上海)在6的二项展开式中，常数项等于________．
5．(2012·陕西)(a＋x)5展开式中x2的系数为10，则实数a的值为________．
[教你审题]求二项展开式中的常数项，首先应正确写出通项公式，然后令所含参数的指数为零，确定项数，再代入通项公式求解．
[解法]二项展开式的通项为Tr＋1＝C(2)6－rr＝C(－1)r26－rx3－r，令3－r＝0则r＝3，得常数项为T4＝－8C＝－160.
答案－160
解析二项展开式的通项Tr＋1＝C()8－rr＝Crx4－r，当4－r＝0时，r＝4，所以展开式中的常数项为C4＝.
答案B
一、求常数项
【真题探究1】(2012·湖南)6的二项展开式中的常数项为________(用数字作答)．
【试一试1】(2012·重庆)8的展开式中常数项为()．A.B.
C.D．105
1.解析x2项的系数是C＝21.
答案D
2.解析令x＝1，则a0＋a1＋a2＋a3＋a4＝0
令x＝－1，则a0－a1＋a2－a3＋a4＝16
a0＋a2＋a4＝8.
答案B
3.解析Tr＋1＝C(3x)r＝3rCxr，由已知条件35C＝36C，即C＝3C，＝3，解得n＝7.
答案B
4.解析Tr＋1＝Cx6－rr＝C(－2)rx6－2r，令r＝3，得常数项为T4＝C(－2)3＝－160.
答案－160
解析由二项展开式的通项公式可得，T3＝Ca3x2＝10x2，解得a＝1.
答案1
运用二项式定理一定要牢记通项Tr＋1＝Can－rbr，注意(a＋b)n与(b＋a)n虽然相同，但具体到它们展开式的某一项时是不同的，一定要注意顺序问题，另外二项展开式的二项式系数与该项的(字母)系数是两个不同的概念，前者只指C，而后者是字母外的部分．前者只与n和r有关，恒为正，后者还与a，b有关，可正可负．
[教你审题]由二项式系数相等，可以确定n的值，然后进一步借助于通项公式，分析项的系数．
[解法]因为展开式中第3项与第7项的二项式系数相等，即C＝C，所以n＝8，所以8的展开式的通项公式为Tr＋1＝Cx8－rr＝Cx8－2r，所以8－2r＝－2r＝5，所以的系数为C＝56.
答案56
[备考]求二项展开式中的特定项或特定项的系数是高考考查二项式定理的主要题型之一．解这类问题的关键是弄清楚待求解的特定项是哪一项，这一项如何计算，基本方法就是根据题目的要求和二项展开式的通项公式列出方程，通过方程找到是哪一项，然后再根据二项展开式的通项公式进行计算．
解析由6的展开式的通项为Tr＋1＝C(x2)6－r·r＝Cx12－3r，令12－3r＝3，得r＝3，所以展开式中x3的系数为C＝20.答案20
二、求特定项的系数
【真题探究2】(2012·全国)若n的展开式中第3项与第7项的二项式系数相等，则该展开式中的系数为________．
【试一试2】(2012·广东)6的展开式中x3的系数为______(用数字作答)．
【训练2】(2013·)(1－2x)6＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a6x6，则|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a6|的值为()．
A．1B．64C．243D．729
解析|a0|＋|a1|＋…＋|a6|即为(1＋2x)6展开式中各项系数的和，在原题中令x＝－1，则|a0|＋|a1|＋…＋|a6|＝(1＋2)6＝36＝729.
答案D
【例3】(1＋2x)3(1－x)4展开式中x项的系数为________．
解析(1＋2x)3(1－x)4展开式中的x项的系数为两个因式相乘而得到，即第一个因式的常数项和一次项分别乘以第二个因式的一次项与常数项，它为C(2x)0·C(－x)1＋C(2x)1·C14(－x)0，其系数为C·C(－1)＋C·2＝－4＋6＝2.
答案2
【训练1】(2012·福建)(a＋x)4的展开式中x3的系数等于8，则实数a＝________.
解析(a＋x)4的展开式中的通项Tr＋1＝C·a4－rxr，当r＝3时，有C·a＝8，所以a＝2.
答案2
1．二项式定理
(a＋b)n＝Can＋Can－1b＋…＋Can－rbr＋…＋Cbn(nN)这个公式所表示的定理叫二项式定理，右边的多项式叫(a＋b)n的二项展开式．
其中的系数C(r＝0,1，…，n)叫二项式系数．
式中的Can－rbr叫二项展开式的通项，用Tr＋1表示，即通项Tr＋1＝Can－rbr.
3．二项式系数的性质
(1)对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等．即C＝C.
(2)增减性与最大值：
二项式系数C，当k＜时，二项式系数逐渐增大．由对称性知它的后半部分是逐渐减小的；
当n是偶数时，中间一项C取得最大值；
当n是奇数时，中间两项C，C取得最大值．
(3)各二项式系数和：C＋C＋C＋…＋C＋…＋C＝2n；
C＋C＋C＋…＝C＋C＋C＋…＝2n－1.
2．二项展开式形式上的特点
(1)项数为n＋1.
(2)各项的次数都等于二项式的幂指数n，即a与b的指数的和为n.
(3)字母a按降幂排列，从第一项开始，次数由n逐项减1直到零；字母b按升幂排列，从第一项起，次数由零逐项增1直到n.
(4)二项式的系数从C，C，一直到C，C.
【例2】在(2x－3y)10的展开式中，求：(1)二项式系数的和；
(2)各项系数的和；(3)奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和；(4)奇数项系数和与偶数项系数和；
解设(2x－3y)10＝a0x10＋a1x9y＋a2x8y2＋…＋a10y10，()各项系数和即为a0＋a1＋…＋a10，奇数项系数和为a0＋a2＋…＋a10，偶数项系数和为a1＋a3＋a5＋…＋a9由于()是恒等式，故可用“赋值法”求出相关的系数和．(1)二项式系数的和为C＋C＋…＋C＝210.
(3)由题意知令＝k(kZ)，则10－2r＝3k，即r＝5－k，r∈Z，k应为偶数，k＝2,0，－2，即r＝2,5,8.
第3项，第6项，第9项为有理项，它们分别为405x2，－61236,295245x－2.
求二项展开式中的指定项，一般是利用通项公式进行，化简通项公式后，令字母的指数符合要求(求常数项时，指数为零；求有理项时，指数为整数等)，解出项数k＋1，代回通项公式即可．
求二项展开式中的指定项，一般是利用通项公式进行，化简通项公式后，令字母的指数符合要求(求常数项时，指数为零；求有理项时，指数为整数等)，解出项数k＋1，代回通项公式即可．
(2)令x＝y＝1，各项系数和为(2－3)10＝(－1)10＝1.
(3)奇数项的二项式系数和为C＋C＋…＋C＝29，
偶数项的二项式系数和为C＋C＋…＋C＝29.
(4)令x＝y＝1，得到a0＋a1＋a2＋…＋a10＝1，
令x＝1，y＝－1(或x＝－1，y＝1)，
得a0－a1＋a2－a3＋…＋a10＝510，
①＋，得2(a0＋a2＋…＋a10)＝1＋510，
奇数项的系数和为；
－，得2(a1＋a3＋…＋a9)＝1－510，偶数项的系数和为.
(1)对形如(ax＋b)n、(ax2＋bx＋c)m(a、bR)的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令x＝1即可；对形如(ax＋by)n(a，bR)的式子求其展开式各项系数之和，只需令x＝y＝1即可．
(2)若f(x)＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，则f(x)展开式中各项系数之和为f(1)，奇数项系数之和为a0＋a2＋a4＋…＝，偶数项系数之和为a1＋a3＋a5＋…＝.
(1)对形如(ax＋b)n、(ax2＋bx＋c)m(a、bR)的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令x＝1即可；对形如(ax＋by)n(a，bR)的式子求其展开式各项系数之和，只需令x＝y＝1即可．
(2)若f(x)＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，则f(x)展开式中各项系数之和为f(1)，奇数项系数之和为a0＋a2＋a4＋…＝，偶数项系数之和为a1＋a3＋a5＋…＝.
1．(2013·蚌埠模拟)在24的展开式中，x的幂指数是整数的项共有()．
A．3项B．4项C．5项D．6项
解析Tr＋1＝C()24－rr＝Cx12－，故当r＝0,6,12,18,24时，幂指数为整数，共5项．
答案C
2．设n的展开式的各项系数之和为M，二项式系数之和为N，若M－N＝240，则展开式中x的系数为()．
A．－150B．150C．300D．－300
解析由已知条件4n－2n＝240，解得n＝4，
Tr＋1＝C(5x)4－rr＝(－1)r54－rCx4－，
令4－＝1，得r＝2，T3＝150x.
答案B
3．(2013·兰州模拟)已知8展开式中常数项为1120，其中实数a是常数，则展开式中各项系数的和是()．
A．28B．38C．1或38D．1或28
解析由题意知C·(－a)4＝1120，解得a＝±2，令x＝1，得展开式各项系数和为(1－a)8＝1或38.
答案C
4．(2012·天津)在5的二项展开式中，x的系数为()．
A．10B．－10C．40D．－40
解析因为Tr＋1＝C(2x2)5－rr＝C25－r·(－1)rx10－3r，所以10－3r＝1，所以r＝3，所以x的系数为C25－3(－1)3＝－40.
答案D
5．(2011·湖北)的展开式中含x15的项的系数为(结果用数值表示)．
解析Tr＋1＝Cx18－rr＝(－1)rCrx18－r，令18－r＝15，解得r＝2.所以所求系数为(－1)2·C2＝17.
答案17
6．(2012·浙江)若将函数f(x)＝x5表示为f(x)＝a0＋a1(1＋x)＋a2(1＋x)2＋…＋a5(1＋x)5，其中a0，a1，a2，…，a5为实数，则a3＝.
解析f(x)＝x5＝(1＋x－1)5，它的通项为Tr＋1＝C(1＋x)5－r·(－1)r，T3＝C(1＋x)3(－1)2＝10(1＋x)3，a3＝10.
答案10
7．(12分)已知二项式n的展开式中各项的系数和为256.
(1)求n；(2)求展开式中的常数项．
解(1)由题意，得C＋C＋C＋…＋C＝256，即2n＝256，解得n＝8.
(2)该二项展开式中的第r＋1项为Tr＋1＝C()8－r·r＝C·x，令＝0，得r＝2，此时，常数项为T3＝C＝28.
8．(13分)在杨辉三角形中，每一行除首末两个数之外，其余每个数都等于它肩上的两数之和．
(1)试用组合数表示这个一般规律：
(2)在数表中试求第n行(含第n行)之前所有数之和；
(3)试探究在杨辉三角形的某一行能否出现三个连续的数，使它们的比是34∶5，并证明你的结论．
第0行1
第1行11
第2行121
第3行1331
第4行14641
第5行15101051
第6行1615201561
……
解(1)C＝C＋C.
(2)1＋2＋22＋…＋2n＝2n＋1－1.
(3)设C∶C∶C＝34∶5，
由＝，得＝，
即3n－7r＋3＝0.
由＝，得＝，
即4n－9r－5＝0.
解联立方程组，得
n＝62，r＝27，
即CC∶C＝34∶5.
1．已知0
A．－10B．9C．11D．－12
解析作出y＝a|x|(a>0)与y＝|logax|的大致图象如图所示，所以n＝2.故(x＋1)n＋(x＋1)11＝(x＋2－1)2＋(x＋2－1)11，所以a1＝－2＋C＝－2＋11＝9.
答案B
2．(2012·湖北)设aZ，且0≤a<13，若512012＋a能被13整除，则a＝()．
A．0B．1C．11D．12
解析512012＋a＝(13×4－1)2012＋a被13整除余1＋a，结合选项可得a＝12时，512012＋a能被13整除．
答案D
3．若x4(x＋3)8＝a0＋a1(x＋2)＋a2(x＋2)2＋…＋a12(x＋2)12，则log2(a1＋a3＋…＋a11)＝.
解析令x＝－1，28＝a0＋a1＋a2＋…＋a11＋a12.令x＝－3，0＝a0－a1＋a2－…－a11＋a1228＝2(a1＋a3＋…＋a11)，a1＋a3＋…＋a11＝27，log2(a1＋a3＋…＋a11)＝log227＝7.
答案7
4．(2011·浙江)设二项式6(a＞0)的展开式中x3的系数为A，常数项为B.若B＝4A，则a的值是．
解析由Tr＋1＝Cx6－rr＝C(－a)rx6－r，
得B＝C(－a)4，A＝C(－a)2，B＝4A，a＞0，a＝2.
答案2
5．(12分)已知(a2＋1)n展开式中的各项系数之和等于5的展开式的常数项，而(a2＋1)n的展开式的系数最大的项等于54，求a的值．
解5的展开式的通项为Tr＋1＝C5－rr＝5－rCx，令20－5r＝0，得r＝4，故常数项T5＝C×＝16.
又(a2＋1)n展开式的各项系数之和等于2n，由题意知2n＝16，得n＝4.由二项式系数的性质知，(a2＋1)n展开式中系数最大的项是中间项T3，故有Ca4＝54，解得a＝±.
6．(13分)已知n，
(1)若展开式中第5项，第6项与第7项的二项式系数成等差数列，求展开式中二项式系数最大项的系数；
(2)若展开式前三项的二项式系数和等于79，求展开式中系数最大的项．
解(1)C＋C＝2C，n2－21n＋98＝0.
n＝7或n＝14，
当n＝7时，展开式中二项式系数最大的项是T4和T5.
T4的系数为C423＝，
T5的系数为C324＝70，
当n＝14时，展开式中二项式系数最大的项是T8.
T8的系数为C727＝3432.
(2)∵C＋C＋C＝79，n2＋n－156＝0.
n＝12或n＝－13(舍去)．设Tk＋1项的系数最大，
12＝12(1＋4x)12，
9.4≤k≤10.4，k＝10.
展开式中系数最大的项为T11，
T11＝C·2·210·x10＝16896x10.
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