结束放映返回目录获取详细资料请浏览：www.zxjkw.com【2014年高考会这样考】1．考查有限个值的离散型随机变量均值、方差的概念．2．利用离散型随机变量的均值、方差解决一些实际问题.第7讲离散型随机变量的均值与方差抓住1个考点突破3个考向揭秘3年高考活页限时训练离散型随机变量的均值与方差考向一考向二考向三均值、方差与其他数学知识的综合问题单击标题可完成对应小部分的学习，每小部分独立成块，可全讲，也可选讲助学微博考点自测A级【例1】【训练1】【例2】【训练2】【例3】【训练3】均值与方差的实际应用均值与方差性质的应用离散型随机变量的均值和方差选择题填空题解答题B级选择题填空题解答题考点梳理助学微博在记忆D(aX＋b)＝a2D(X)时要注意：(1)D(aX＋b)≠aD(X)＋b，(2)D(aX＋b)≠aD(X)．两个防范(1)若X服从两点分布，则E(X)＝p，D(X)＝p(1－p)；(2)若X～B(n，p)，则E(X)＝np，D(X)＝np(1－p)；(3)若X服从超几何分布，则E(X)＝n.三种分布六条性质(1)E(C)＝C(C为常数)；(2)E(aX＋b)＝aE(X)＋b(a，b为常数)；(3)E(X1＋X2)＝EX1＋EX2；(4)如果X1，X2相互独立，则E(X1·X2)＝E(X1)E(X2)；(5)D(X)＝E(X2)－(E(X))2；(6)D(aX＋b)＝a2·D(X)(a，b为常数)．单击图标显示详解答案显示单击题号显示结果考点自测AAAC9/1612345[审题视点](1)根据日需求量分类求出函数解析式．(2)①根据当天的需求量，写出相应的利润，列出分布列，求出数学期望和方差，②比较两种情况的数学期望或方差即可．考向一离散型随机变量的均值和方差[审题视点](1)根据日需求量分类求出函数解析式．(2)①根据当天的需求量，写出相应的利润，列出分布列，求出数学期望和方差，②比较两种情况的数学期望或方差即可．考向一离散型随机变量的均值和方差[审题视点](1)根据日需求量分类求出函数解析式．(2)①根据当天的需求量，写出相应的利润，列出分布列，求出数学期望和方差，②比较两种情况的数学期望或方差即可．考向一离散型随机变量的均值和方差[方法锦囊][审题视点](1)根据日需求量分类求出函数解析式．(2)①根据当天的需求量，写出相应的利润，列出分布列，求出数学期望和方差，②比较两种情况的数学期望或方差即可．考向一离散型随机变量的均值和方差[方法锦囊][审题视点](1)根据日需求量分类求出函数解析式．(2)①根据当天的需求量，写出相应的利润，列出分布列，求出数学期望和方差，②比较两种情况的数学期望或方差即可．考向一离散型随机变量的均值和方差[方法锦囊][审题视点](1)根据日需求量分类求出函数解析式．(2)①根据当天的需求量，写出相应的利润，列出分布列，求出数学期望和方差，②比较两种情况的数学期望或方差即可．考向一离散型随机变量的均值和方差[方法锦囊][审题视点]利用期望与方差的性质求解．考向二均值与方差性质的应用[方法锦囊]若X是随机变量，则η＝f(X)一般仍是随机变量，在求η的期望和方差时，熟练应用期望和方差的性质，可以避免再求η的分布列带来的繁琐运算．[审题视点]利用期望与方差的性质求解．考向二均值与方差性质的应用[方法锦囊]若X是随机变量，则η＝f(X)一般仍是随机变量，在求η的期望和方差时，熟练应用期望和方差的性质，可以避免再求η的分布列带来的繁琐运算．[审题视点]利用期望与方差的性质求解．考向二均值与方差性质的应用[方法锦囊]若X是随机变量，则η＝f(X)一般仍是随机变量，在求η的期望和方差时，熟练应用期望和方差的性质，可以避免再求η的分布列带来的繁琐运算．(1)利用互斥事件的概率公式求其概率.(2)确定随机变量X1,X2可能的取值,分别求出X1，X2每个值对应概率，列出X1、X2的分布列．(3)代入均值公式求出E(X1)、E(X2),比较E(X1)、E(X2)大小,做出判断．[审题视点]考向三均值与方差的实际应用(1)利用互斥事件的概率公式求其概率.(2)确定随机变量X1,X2可能的取值,分别求出X1，X2每个值对应概率，列出X1、X2的分布列．(3)代入均值公式求出E(X1)、E(X2),比较E(X1)、E(X2)大小,做出判断．[审题视点]考向三均值与方差的实际应用随机变量的均值反映了随机变量取值的平均水平，方差反映了随机变量稳定于均值的程度，它们从整体和全局上刻画了随机变量，是生产实际中用于方案取舍的重要的理论依据，一般先比较均值，若均值相同，再用方差来决定．【方法锦囊】考向三均值与方差的实际应用随机变量的均值反映了随机变量取值的平均水平，方差反映了随机变量稳定于均值的程度，它们从整体和全局上刻画了随机变量，是生产实际中用于方案取舍的重要的理论依据，一般先比较均值，若均值相同，再用方差来决定．【方法锦囊】考向三均值与方差的实际应用随机变量的均值反映了随机变量取值的平均水平，方差反映了随机变量稳定于均值的程度，它们从整体和全局上刻画了随机变量，是生产实际中用于方案取舍的重要的理论依据，一般先比较均值，若均值相同，再用方差来决定．【方法锦囊】规范解答17均值、方差与其他数学知识的综合问题【命题研究】离散型随机变量的期望、方差与其他数学知识相结合的问题，在近两年的高考中时有出现，体现了在知识交汇处命题的指导思想．这类题目常以解答题的形式出现，将期望、方差与方程、函数、不等式等知识融合在一起，综合考查学生分析问题、解决问题的能力．题目难度适中，一般属于中档题．揭秘3年高考[阅卷老师手记]求解概率统计题应会对事件构成进行分析．弄清“等可能性”与“非等可能性”的区别；“有序取”与“无序取”的区别；“有放回取”与“不放回取”的区别；“互斥”与“独立”的意义．会用排列、组合的知识求事件的概率，用互斥事件、独立事件、重复试验等概率公式求事件的概率，对于复杂事件，要能够分解成若干个简单事件的和事件，不能遗漏．求离散型随机变量的分布列时，要自觉应用随机变量的分布列的性质进行检验，一般利用随机变量的均值的定义求解．对于有些实际问题中的随机变量，如果能断定它服从某常见的典型分布，则可直接利用期望公式求得，因此，应熟记常见的典型分布的期望公式，可提高解题速度．一、选择题单击问号出详解单击题号出题干1234A级基础演练二、填空题单击问号出详解单击题号出题干56A级基础演练三、解答题单击问号出详解单击题号出题干78A级基础演练结束放映返回目录获取详细资料请浏览：www.zxjkw.com【真题探究】?(本小题满分12分)电视传媒公司为了解某地区电视观众对某类体育节目的收视情况，随机抽取了100名观众进行调查．下面是根据调查结果绘制的观众日均收看该体育节目时间的频率分布直方图：
将日均收看该体育节目时间不低于40分钟的观众称为“体育迷”．
(1)根据已知条件完成下面的2×2列联表，并据此资料你是否认为“体育迷”与性别有关？
非体育迷 体育迷 合计 男 女 10 55 合计 (2)将上述调查所得到的频率视为概率．现在从该地区大量电视观众中，采用随机抽样方法每次抽取1名观众，抽取3次，记被抽取的3名观众中的“体育迷”人数为X.若每次抽取的结果是相互独立的，求X的分布列，期望E(X)和方差D(X)．
附：K2＝，P(K2≥k) 0.10 0.05 0.01 k 2.706 3.841 6.635
(1)求离散型随机变量的均值与方差关键是确定随机变量的所有可能值，写出随机变量的分布列，正确运用均值、方差公式进行计算．
(2)要注意观察随机变量的概率分布特征，若属二项分布的，可用二项分布的均值与方差公式计算，则更为简单．
解(1)P(Y＝7)＝＝0.2＝P(Y＝9)，P(Y＝10)＝＝0.35.
所以P(Y＝8)＝1－P(Y＝7)－P(Y＝9)－P(Y＝10)＝1－0.2－0.2－0.35＝0.25.
同理：P(X＝7)＝0.2，P(X＝8)＝0.15，
P(X＝9)＝0.3，
所以P(X＝10)＝1－0.2－0.15－0.3＝0.35.
所以甲、乙同时击中9环及9环以上的概率为P＝P(X≥9)·P(Y≥9)＝(0.3＋0.35)×(0.2＋0.35)＝0.3575.
(2)E(Y)＝7×0.2＋8×0.25＋9×0.2＋10×0.35＝8.7.
E(X)＝7×0.2＋8×0.15＋9×0.3＋10×0.35＝8.8.
因为E(X)>E(Y)，所以甲的水平更高．
【试一试】(2013·晋城一模)甲、乙两射手射进行射击比赛，分别射击100次，已知甲、乙射手射击的环数X，Y稳定在7,8,9,10环上，他们这次成绩用直方图表示如下(如图)：
(1)根据这次比赛的成绩直方图，推断乙击中8环的概率P(Y＝8)，以及求甲、乙同时击中9环以上(含9环)的概率；
(2)根据这次比赛成绩估计甲、乙谁的水平更高(即平均每次击中的环数多)?
(1)求离散型随机变量的均值与方差关键是确定随机变量的所有可能值，写出随机变量的分布列，正确运用均值、方差公式进行计算．
(2)要注意观察随机变量的概率分布特征，若属二项分布的，可用二项分布的均值与方差公式计算，则更为简单．
(1)求离散型随机变量的均值与方差关键是确定随机变量的所有可能值，写出随机变量的分布列，正确运用均值、方差公式进行计算．
(2)要注意观察随机变量的概率分布特征，若属二项分布的，可用二项分布的均值与方差公式计算，则更为简单．
【例3】(2012·福建)受轿车在保修期内维修费等因素的影响，企业生产每辆轿车的利润与该轿车首次出现故障的时间有关．某轿车制造厂生产甲、乙两种品牌轿车，保修期均为2年．现从该厂已售出的两种品牌轿车中各随机抽取50辆，统计数据如下：
品牌 甲 乙 首次出现故障 时间x(年) 02 02 轿车数量(辆) 2 3 45 5 45 每辆利润(万元) 1 2 3 1.8 2.9 将频率视为概率，解答下列问题：
(1)从该厂生产的甲品牌轿车中随机抽取一辆，求其首次出现故障发生在保修期内的概率．
(2)若该厂生产的轿车均能售出，记生产一辆甲品牌轿车的利润为X1，生产一辆乙品牌轿车的利润为X2，分别求X1，X2的分布列．
(3)该厂预计今后这两种品牌轿车销量相当，由于资金限制，只能生产其中一种品牌的轿车．若从经济效益的角度考虑，你认为应生产哪种品牌的轿车？说明理由．
1．(2013·日照二模)已知随机变量ξ的分布列为：P(ξ＝k)＝，k＝1,2,3，则D(3ξ＋5)等于()．
A．6B．9C．3D．4
2．已知X的分布列为
X －1 0 1 P 设Y＝2X＋3，则E(Y)的值为()．A.B．4C．－1D．1
3．设随机变量X～B(n，p)，且E(X)＝1.6，D(X)＝1.28，则()．
A．n＝8，p＝0.2B．n＝4，p＝0.4
C．n＝5，p＝0.32D．n＝7，p＝0.45
4．(2013·成都五校联考)从一批含有13件正品，2件次品的产品中不放回地抽3次，每次抽取1件，设抽取的次品数为ξ，则E(5ξ＋1)＝()．
A．2B．1C．3D．4
5．(2013·韵关调研)有一批产品，其中有12件正品和4件次品，从中有放回地任取3件，若X表示取到次品的次数，则D(X)＝________.
[解法](1)由所给的频率分布直方图知，“体育迷”人数为100×(10×0.020＋10×0.005)＝25，“非体育迷”人数为75，从而2×2列联表如下：
非体育迷 体育迷 合计 男 30 15 45 女 45 10 55 合计 75 25 100 (分)将2×2列联表的数据代入公式计算：
K2＝＝＝≈3.030.
因为2.706<3.030<3.841，所以有90%的把握认为“体育迷”与性别有关．(6分)
[教你审题](1)利用频率分布直方图，根据各矩形面积之和为1，求出样本数据落在区间[40,60]内的频率，则易求出频数即为“体育迷”人数，2×2列联表中各个值随之求出，计算K2的值，并作出判断．
(2)确定X的可能取值，利用二项分布概率公式求出概率，列出分布列，代入公式求E(X)，D(X)
解(1)当日需求量n≥16时，利润y＝80.
当日需求量n<16时，利润y＝10n－80.
所以y关于n的函数解析式为y＝(n∈N)．
(2)X可能的取值为60,70,80，并且P(X＝60)＝0.1，P(X＝70)＝0.2，P(X＝80)＝0.7.
X的分布列为
X 60 70 80 P 0.1 0.2 0.7 X的数学期望为E(X)＝60×0.1＋70×0.2＋80×0.7＝76.
X的方差为D(X)＝(60－76)2×0.1＋(70－76)2×0.2＋(80－76)2×0.7＝44.
【例1】(2012·新课标全国)某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝10元的价格出售，如果当天卖不完，剩下的玫瑰花作垃圾处理．
(1)若花店一天购进16枝玫瑰花，求当天的利润y(单位：元)关于当天需求量n(单位：枝，nN)的函数解析式．
(2)花店记录了100天玫瑰花的日需求量(单位：枝)，整理得下表：
日需求量n 14 15 16 17 18 19 20 频数 10 20 16 16 15 13 10 以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率．
若花店一天购进16枝玫瑰花，X表示当天的利润(单位：元)，求X的分布列、数学期望及方差．
若花店计划一天购进16枝或17枝玫瑰花，你认为应购进16枝还是17枝？请说明理由．
(2)由频率分布直方图知，抽到“体育迷”的频率为0.25，将频率视为概率，即从观众中抽取一名“体育迷”的概率为.由题意，X～B，从而X的分布列为
X 0 1 2 3 P (分)E(X)＝np＝3×＝，
D(X)＝np(1－p)＝3××＝.(12分)
[教你审题](1)利用频率分布直方图，根据各矩形面积之和为1，求出样本数据落在区间[40,60]内的频率，则易求出频数即为“体育迷”人数，2×2列联表中各个值随之求出，计算K2的值，并作出判断．
(2)确定X的可能取值，利用二项分布概率公式求出概率，列出分布列，代入公式求E(X)，D(X)
【例2】设随机变量X具有分布P(X＝k)＝，k＝1,2,3,4,5，求E(X＋2)2，D(2X－1)，.
解E(X)＝1×＋2×＋3×＋4×＋5×＝＝3.
E(X2)＝1×＋22×＋32×＋42×＋52×＝11.
D(X)＝(1－3)2×＋(2－3)2×＋(3－3)2×＋(4－3)2×＋(5－3)2×＝(4＋1＋0＋1＋4)＝2.
E(X＋2)2＝E(X2＋4X＋4)＝E(X2)＋4E(X)＋4＝11＋12＋4＝27.
D(2X－1)＝4D(X)＝8，＝＝.
解析E(ξ)＝(1＋2＋3)×＝2，
E(ξ2)＝(12＋22＋32)×＝
∴D(ξ)＝E(ξ2)－(E(ξ))2＝－22＝.
∴D(3ξ＋5)＝9D(ξ)＝6.
答案A
解析E(X)＝－＋＝－，
E(Y)＝E(2X＋3)＝2E(X)＋3＝－＋3＝.
答案A
解析∵X～B(n，p)，∴E(X)＝np＝1.6，
D(X)＝np(1－p)＝1.28，∴
答案A
解析ξ的可能取值为0,1,2.P(ξ＝0)＝＝.
P(ξ＝1)＝＝.P(ξ＝2)＝＝.所以，ξ的分布列为
ξ 0 1 2 P 于是E(ξ)＝0×＋1×＋2×＝.
故E(5ξ＋1)＝5E(ξ)＋1＝5×＋1＝3.答案解析X～B，
D(X)＝3××＝.
答案
P(X＝1)＝××＋××＋××＝，
P(X＝0)＝××＝；
根据题意X＋Y＝3，所以
P(Y＝0)＝P(X＝3)＝，P(Y＝1)＝P(X＝2)＝，
P(Y＝2)＝P(X＝1)＝，P(Y＝3)＝P(X＝0)＝.
X的分布列为
X 0 1 2 3 P Y的分布列为
Y 3 2 1 0 P (2)E(X)＝3×＋2×＋1×＋0×＝；
因为X＋Y＝3，所以E(Y)＝3－E(X)＝.
解(1)由题设可知Y1和Y2的分布列为
Y1 5 10 P 0.8 0.2 Y2 2 8 12 P 0.2 0.5 0.3
E(Y1)＝5×0.8＋10×0.2＝6，
D(Y1)＝(5－6)2×0.8＋(10－6)2×0.2＝4，
E(Y2)＝2×0.2＋8×0.5＋12×0.3＝8，
D(Y2)＝(2－8)2×0.2＋(8－8)2×0.5＋(12－8)2×0.3＝12.
(2)f(x)＝D＋D
＝2D(Y1)＋2D(Y2)
＝[x2＋3(100－x)2]
＝(4x2－600x＋3×1002)．
当x＝＝75时，f(x)＝3为最小值．
离散型随机变量的均值与方差
若离散型随机变量X的分布列为
X x1 x2 … xi … xn P p1 p2 … pi … pn (1)均值
称E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn为随机变量X的均值或数学期望，它反映了离散型随机变量取值的平均水平．
(2)方差
称D(X)＝2pi为随机变量X的方差，它刻画了随机变量X与其均值E(X)的平均偏离程度，其算术平方根为随机变量X的标准差．
∵P(Y＝0)＝1－p2；P(Y＝b)＝p2(1－p1)；
P(Y＝a＋b)＝p1p2＝bp2＋ap1p2.
E(Y)＝0×(1－p2)＋bp2(1－p1)＋(a＋b)p1p2
＝bp2(1－p1)＋(a＋b)p1p2＝bp2＋ap1p2.
E(X)－E(Y)＝ap1(1－p2)－bp2(1－p1)
若p1＝，p2＝，则E(X)－E(Y)＝a－b.
当a>b时，先答A题；
当a＝b时，先答A、B均可；
当a
(2)若a＝10，b＝20，则E(X)－E(Y)＝10p1－20p2＋10p1p2
当10p1－20p2＋10p1p2>0，即p1＋p1p2>2p2时，选择先答A题.
【训练1】A、B两个代表队进行乒乓球对抗赛，每队三名队员，A队队员是A1、A2、A3，B队队员是B1、B2、B3，按以往多次比赛的统计，对阵队员之间的胜负概率如下：
对阵队员 A队队员胜的概率 A队队员负的概率 A1和B1 A2和B2 A3和B3 现按表中对阵方式出场胜队得1分，负队得0分，设A队，B队最后所得总分分别为X，Y
(1)求X，Y的分布列；(2)求E(X)，E(Y)．
解(1)X，Y的可能取值分别为3,2,1,0.
P(X＝3)＝××＝，
P(X＝2)＝××＋××＋××＝，
【训练3】(2013·庆安一模)在一次智力测试中，有A、B两个相互独立的题目，答题规则为：被测试者答对问题A可得分数为a，答对问题B可得分数为b.先答哪个题目由被测试者自由选择，但只有第一个问题答对，才能再答第二个问题，否则终止答题．若你是被测试者，且假设你答对问题A，B的概率分别为p1，p2.
(1)若p1＝，p2＝，你应如何依据题目分值的设置选择先答哪一道题？
(2)若已知a＝10，b＝20，当p1，p2满足怎样的关系时，你选择先答A题？
解(1)设先答问题A的得分为随机变量X，先答问题B的得分为随机变量Y.
P(X＝0)＝1－p1；P(X＝a)＝p1(1－p2)；
P(X＝a＋b)＝p1p2.
E(X)＝0×(1－p1)＋ap1(1－p2)＋(a＋b)p1p2
＝ap1(1－p2)＋(a＋b)p1p2＝ap1＋bp1p2.
解(1)设“甲品牌轿车首次出现故障发生在保修期内”为事件A，则P(A)＝＝.
(2)依题意得，X1的分布列为
X1 1 2 3 P X2的分布列为
X2 1.8 2.9 P (3)由(2)得E(X1)＝1×＋2×＋3×＝＝2．86(万元)，E(X2)＝1.8×＋2.9×＝2.79(万元)．
因为E(X1)>E(X2)，所以应生产甲品牌轿车．
【训练2】A，B两个投资项目的利润分别为随机变量X1和X2，根据市场分析，X1和X2的分布列分别为：
X1 5% 10% P 0.8 0.2
X2 2% 8% 12% P 0.2 0.5 0.3 (1)在A，B两个项目上各投资100万元，Y1和Y2分别表示投资项目A和B所获得的利润，求方差D(Y1)，D(Y2)；
(2)将x(0≤x≤100)万元投资A项目，100－x万元投资B项目，f(x)表示投资A项目所得利润的方差与投资B项目所得利润的方差的和．求f(x)的最小值，并指出x为何值时，f(x)取到最小值．
②答案一：花店一天应购进16枝玫瑰花．理由如下：
若花店一天购进17枝玫瑰花，Y表示当天的利润(单位：元)，那么Y的分布列为
Y 55 65 75 85 P 0.1 0.2 0.16 0.54 Y的数学期望为E(Y)＝55×0.1＋65×0.2＋75×0.16＋85×0.54＝76.4.
Y的方差为D(Y)＝(55－76.4)2×0.1＋(65－76.4)2×0.2＋(75－76.4)2×0.16＋(85－76.4)2×0.54＝112.04.
由以上的计算结果可以看出，D(X)
解析利用期望与方差公式直接计算．E(ξ1)＝E(ξ2)，记作，
D(ξ1)＝0.2[(x1－)2＋(x2－)2＋…＋(x5－)2]＝0.2(x＋x＋…＋x－52)．
同理D(ξ2)＝0.2.
2<，…，2<，
2＋2＋…＋2D(ξ2)．
答案A
答案二：花店一天应购进17枝玫瑰花．理由如下：
若花店一天购进17枝玫瑰花，Y表示当天的利润(单位：元)，那么Y的分布列为Y 55 65 75 85 P 0.1 0.2 0.16 0.54
Y的数学期望为E(Y)＝55×0.1＋65×0.2＋75×0.16＋85×0.54＝76.4.
由以上的计算结果可以看出，E(X)
(1)求离散型随机变量的均值与方差关键是确定随机变量的所有可能值，写出随机变量的分布列，正确运用均值、方差公式进行计算．
(2)要注意观察随机变量的概率分布特征，若属二项分布的，可用二项分布的均值与方差公式计算，则更为简单．
1．(2013·西安模拟)样本中共有五个个体，其值分别为a,0,1,2,3.若该样本的平均值为1，则样本方差为()．
A.B.C.D．2
解析由题意，知a＋0＋1＋2＋3＝5×1，解得，a＝－1.
s2＝＝2.
答案D
2．签盒中有编号为1、2、3、4、5、6的六支签，从中任意取3支，设X为这3支签的号码之中最大的一个，则X的数学期望为()．
A．5B．5.25C．5.8D．4.6
解析由题意可知，X可以取3,4,5,6，
P(X＝3)＝＝，P(X＝4)＝＝，
P(X＝5)＝＝，P(X＝6)＝＝.
由数学期望的定义可求得E(X)＝5.25.
答案B
3．若p为非负实数，随机变量ξ的分布列为
ξ 0 1 2 P －p p 则E(ξ)的最大值为()．
A．1B.C.D．2
解析由p≥0，－p≥0，则0≤p≤，E(ξ)＝p＋1≤.
答案B
4．(2013·广州一模)已知随机变量X＋η＝8，若X～B(10，0.6)，则E(η)，D(η)分别是()．
A．6和2.4B．2和2.4C．2和5.6D．6和5.6
解析由已知随机变量X＋η＝8，所以有η＝8－X.因此，求得E(η)＝8－E(X)＝8－10×0.6＝2，
D(η)＝(－1)2D(X)＝10×0.6×0.4＝2.4.
答案B
5．某射手射击所得环数ξ的分布列如下：
ξ 7 8 9 10 P x 0.1 0.3 y 已知ξ的期望E(ξ)＝8.9，则y的值为0.4．
A．0.4B．0.6C．0.7D．0.9
解析x＋0.1＋0.3＋y＝1，即x＋y＝0.6.
又7x＋0.8＋2.7＋10y＝8.9，化简得7x＋10y＝5.4.
由联立解得x＝0.2，y＝0.4.
答案0.4
X －1012 P abc (2013·温州调研)已知离散型随机变量X的分布列如右表，若E(X)＝0，D(X)＝1，则a＝，b＝.
解析由题意知解得
答案
7．(12分)若随机事件A在一次试验中发生的概率为p(0
(1)求方差D(X)的最大值；(2)求的最大值．
解随机变量X的所有可能的取值是0.1，并且有P(X＝1)＝p，P(X＝0)＝1－p.从而E(X)＝0×(1－p)＋1×p＝p，
D(X)＝(0－p)2×(1－p)＋(1－p)2×p＝p－p2.
(1)D(X)＝p－p2＝－2＋.
0
(2)＝＝2－.
0
因此当p＝时，取最大值2－2.
8．(13分)(2013·汕头一模)袋中有20个大小相同的球，其中记上0号的有10个，记上n号的有n个(n＝1,2,3,4)．现从袋中任取一球，X表示所取球的标号．
(1)求X的分布列、期望和方差；(2)若η＝aX＋b，E(η)＝1，D(η)＝11，试求a，b的值．解(1)X的分布列为
X 0 1 2 3 4 P E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＋4×＝1.5.
D(X)＝(0－1.5)2×＋(1－1.5)2×＋(2－1.5)2×＋(3－1.5)2×＋(4－1.5)2×＝2.75.
(2)由D(η)＝a2D(X)，得a2×2.75＝11，即a＝±2.
又E(η)＝aE(X)＋b，所以当a＝2时，由1＝2×1.5＋b，得b＝－2.
当a＝－2时，由1＝－2×1.5＋b，得b＝4.
或即为所求．
1．一个篮球运动员投篮一次得3分的概率为a，得2分的概率为b，不得分的概率为c(a、b、c(0,1))，已知他投篮一次得分的均值为2，则＋的最小值为()．
A.B.C.D.
解析由已知得，3a＋2b＋0×c＝2，即3a＋2b＝2，其中0
2．(2012·上海)设10≤x1
A．D(ξ1)>D(ξ2)B．D(ξ1)＝D(ξ2)C．D(ξ1)
D．D(ξ1)与D(ξ2)的大小关系与x1、x2、x3、x4的取值有关
3．随机变量ξ的分布列如下：
ξ －1 0 1 P a b c 其中a，b，c成等差数列．若E(ξ)＝，则D(ξ)的值是．
解析根据已知条件：解得：a＝，b＝，c＝，
D(ξ)＝×2＋×2＋×2＝.
答案
4．(2013·滨州一模)设l为平面上过点(0,1)的直线，l的斜率等可能地取－2，－，－，0，，，2，用ξ表示坐标原点到l的距离，则随机变量ξ的数学期望E(ξ)＝.
解析当l的斜率k为±2时，直线l的方程为±2x－y＋1＝0，此时坐标原点到l的距离d＝；当k为±时，d＝；当k为±时，d＝；当k为0时，d＝1，由古典概型的概率公式可得分布列如下：
ξ 1 P 所以E(ξ)＝×＋×＋×＋1×＝.答案
5．(12分)(2013·大连二模)甲、乙、丙三名射击运动员射中目标的概率分别为，a，a(0
(1)求ξ的分布列及数学期望；
(2)在概率P(ξ＝i)(i＝0,1,2,3)中，若P(ξ＝1)的值最大，求实数a的取值范围．
解(1)P(ξ)是“ξ个人命中，3－ξ个人未命中”的概率．其中ξ的可能取值为0,1,2,3.
P(ξ＝0)＝(1－a)2＝(1－a)2，
P(ξ＝1)＝(1－a)2＋a(1－a)＋(1－a)a＝(1－a2)，
P(ξ＝2)＝a2＋(1－a)a＋a(1－a)＝(2a－a2)，
P(ξ＝3)＝.
所以ξ的分布列为
ξ 0 1 2 3 P (1－a)2 (1－a2) (2a－a2) ξ的数学期望为
E(ξ)＝0×(1－a)2＋1×(1－a)2＋2×(2a－a2)＋3×＝.
(2)P(ξ＝1)－P(ξ＝0)＝[(1－a2)－(1－a)2]＝a(1－a)，
P(ξ＝1)－P(ξ＝2)＝[(1－a2)－(2a－a2)]＝，
P(ξ＝1)－P(ξ＝3)＝[(1－a2)－a2]＝.
由及0
即a的取值范围是.
6．(13分)(2013·福州模拟)随机抽取某厂的某种产品200件，经质检，其中有一等品126件、二等品50件、三等品20件、次品4件．已知生产1件一、二、三等品获得的利润分别为6万元、2万元、1万元，而1件次品亏损2万元．设1件产品的利润(单位：万元)为ξ.
(1)求ξ的分布列；
(2)求1件产品的平均利润(即ξ的均值)；
(3)经技术革新后，仍有四个等级的产品，但次品率降为1%，一等品率提高为70%.如果此时要求1件产品的平均利润不小于4.73万元，则三等品率最多是多少？
思维启迪：本题在求解时，一定要分清求解的是哪一个变量的均值，理清随机变量取值时的概率．
解(1)由于1件产品的利润为ξ，则ξ的所有可能取值为6,2,1，－2，由题意知P(ξ＝6)＝＝0.63，P(ξ＝2)＝＝0.25，P(ξ＝1)＝＝0.1，P(ξ＝－2)＝＝0.02.
故ξ的分布列为
ξ 6 2 1 －2 P 0.63 0.25 0.1 0.02 (2)1件产品的平均利润为E(ξ)＝6×0.63＋2×0.25＋1×0.1＋(－2)×0.02＝4.34(万元)．
(3)设技术革新后三等品率为x，则此时1件产品的平均利润为E(ξ)＝6×0.7＋2×(1－0.7－x－0.01)＋1×x＋(－2)×0.01
＝4.76－x.
由E(ξ)≥4.73，得4.76－x≥4.73，解得x≤0.03，所以三等品率最多为3%.
探究提高(1)求解离散型随机变量X的分布列的步骤：理解X的意义，写出X可能取的全部值；求X取每个值的概率；写出X的分布列．
求离散型随机变量的分布列的关键是求随机变量所取值对应的概率，在求解时，要注意应用计数原理、古典概型等知识．
(2)求解离散型随机变量X的均值与方差时，只要在求解分布列的前提下，根据均值、方差的定义求E(X)，D(X)即可.
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