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2015年高考数学基本题型、思路、
方法和结论大梳理(四)
江苏省南京市教研室龙艳文
★平面向量的运算
类型一：向量的几何运算
◆例1化简以下各式：①蕊+前+蔬；②蕊一前+茄一面；③耐一茄+
劢；④丙奋+西+丽苻一丙声．结果为零向量的是——．
方法加法、减法原理．
◎注意向量的加法首尾相连，向量的减
法共起点．
’结论有限个向量口。，口。，…，n。相加，
可以从任一点0出发，逐一作向量0两一n，，砸；=口。，…，瓦=茁一口。，则向量两即这
些向量的和，即口l+口2+…+口。一0Aj+蕊+…+万赢一瓦e(向量加法的多边
形法则)．
当A。和。重合(即上述折线0A。A。…
A。封闭)时，和向量为零向量．
●r例2在△ABc中，AB一3，Ac一2，Bc
一4，D为BC的中点．
(1)求AD的长；
(2)求蕊·蔚的值．
方法将三角形中的线段长度转化为
向量的模，三角形中的角转化为向量的
夹角．
◎注意三角形内角与向量夹角的区别，
向量夹角必须共起点．
结论平面内有任意三个点O，A，B，
若P是线段AB的中点，则砷一妻(商+
魂)．
，例3若。为△ABc所在平面内一点，
且满足(商一苟)．(碡+茄一2蔬)=o，
则△ABC的形状为——．
鸯海将向量形式转化为几何图形
处理．懑黼汝
向量有代数和几何两种形
式，所以要善于将向量的代数与几何形式进
行相互转化．
类型二：向■非坐标形式的代数运算
一例1(1)已知向量口，6满足InI一1，
6I一2，口·(口一厶)一2，则向量口，6的夹角为——；
(2)已知向量口，6满足l口I一16I=1，且
I口+6I一√3l口一6I，则向量口，6的夹角为——．
方法I口+6I2一n2+2n·6+62；设向量n’6的夹角钆则cOs口=尚．
◆例2设两个非零向量口与6不共线．
(1)求实数点的值，使妇+6与2口+胁
共线；
(2)若蕊一口+6，蔚=2口+8西，历一
3(口一6)，求证：A，B，D三点共线．
NewUniversityEntranceExaminatjon2●
万方数据
新离蕾数学
归纳整理
费法向量共线定理：向量6与非零
向量口共线的充要条件是：有且只有一个实
数A，使得6一旭．三点共线定理：平面上三点
A，B，c共线的一个充要条件是：蕊=A赢
(或蕊一A蔚)．
结论平面上三点A，B，C共线的另
一个充要条件是：存在实数a，卢(口+卢一1)，
使得蕊一a葩+口苈(O为平面ABc内的
任意一点)．
类型三：向量坐标形式的代数运算
例(1)已知向量n一(1，2)，6一(z，
1)，H一口+26，1，=2n一6．
①当Ⅱ∥v时，求z的值；
②当HJ-''，时，求z的值；
③当H与1，的夹角为锐角时，求工的取
值范围．
(2)已知向量n一(1，2)，矗一(2，一3)．
若向量c满足(c+口)∥6，c上(口+6)，则c等于——．
翥镑(1)两个向量平行、垂直的充要
条件：设口一(z1，y1)，6一(z2，y2)，则n上6
§口·6一。营zlz2+yly2=o，口∥6营口一曲
(6≠O)车，z1y2一z2y1一O．
(2)设两点A一(zl，y1)，B=(z2，y2)，
贝0有7溏一(z：一z。，y：一y，)，I7溏I
一√(z2一z】)2+(此一了】)2．
(3)设两个非零向量口一(z1，y。)，6一
(zz，yz)的夹角为口，则有cos口一青青缶
一zlz2+yly2
~／z；+z；~／y；+y；
薅撼向量口，西的夹角为锐角营口·6
>O且n，6不共线；向量口，6的夹角为钝角
铷·6<0且口，6不共线．
类型四：平面向量基本定理
●，例(1)在平行四边形ABcD中，E，F
分别是cD，Bc的中点，且砬一A万啻+户窟，其中A，卢∈R，则．=L+∥=——；
I●NewUniversityEntranceExamination
(2)已知A(1，一2)，B(2，1)，C(3，2)和
D(一2，3)，试以蕊，商为一组基底来表示
劢+商+茄．
努激平面向量基本定理：如果e。，P。
是同一平面内的两个不共线向量，那么对于
这一平面内的任一向量口，有且只有一对实
数A1，A2，使口=A1P1+A2ez．塞律黼
平面向量基本定理告诉我
们，平面内的任一向量都可以表示成两个不
共线的向量(称为基底)的线性组合．所以它
的神奇之处在于，平面内所有向量之间的运
算最终可以转化为两个不共线的向量(称为
基底)之间的运算．
类型五：向量的数量积问题
，例如图1，在边
长为2的菱形ABCD
中，么BAD=60。，E为
cD的中点，则碹·一
面一．
图1
熊擎定义法，通过平移向量，使两
个向量共起点，然后利用两向量的模和
夹角．
雳鬻譬：基底法，即合理选择一组基
底(一般选取模和夹角均已知的两个不共线
向量)，将所求向量均用这组基底表示，从而
转化为这两个基向量的运算．
。方渗学坐标法，即合理建立坐标系，
将所求向量涉及点的坐标均求出，利用向量
的坐标运算解决．
鬟凳惹．(1)在△ABc中，AB一3，点
D为BC的中点．
(I)若Ac一2，蕊·蔚=一6，求Bc；
(Ⅱ)若窳·茄一孚，求Ac．
霉辫合理选择一组基底，将所有向
量转化为这一组基底表示．选择的基底尽量
能已知(或部分已知)它们的模和夹角．-馘誊已知oA—oB=2，商·碡
万方数据
二二．．一二：二二：：]
一O，点C在线段AB上，且么AOC=60。，则
蕊．苟一．
蠹法优先通过建立坐标系利用坐标
运算．
察露纂已知四边形ABcD是矩形，
AB一2，AD一3，E是线段BC上的动点，F
是CD的中点．若么AEF为钝角，则线段BE
长度的取值范围是．
纛藩合理将非向量形式转化为向量
问题．．
罄枣黎法当向量的模和夹角易求时
可直接使用定义法求数量积。但很多求数
量积的问题并不具备上述条件，所以转而使
用基底法。但是一旦能够合理建立坐标系，
我们应该选择坐标法。涉及长度或角度等
非向量形式也可合理转化为向量问题．
类型六：向量运算的综合应用
■例1(1)已知向量口：(o，2)，f6I一2，则l口一6I的取值范围是——5
(2)已知n是平面内的单位向量，向量6
满足6·(口一6)=0，则l6I的取值范围是——．
嘉罄一!藿+利用向量的代数运算．
方法。2利用向量表示的几何图形．
一例2(1)已知P是边长为1的正六边
形ABCDEF内的一点(含边界)，且IA户I
一1．．
①求l商+碎l的取值范围；
②若砖+商=商，求诱·市的值．
(2)已知P是边长为1的正方形
ABCD内的一点(含边界)．
①求(蕊+砬)·碎的取值范围；
②求l商+碎I的取值范围．
方法11建立坐标系，利用向量坐标
的运算解决．
纛篱j2利用向量表示的几何图形．
j岛隧因为口·6=I口Icos口×f6l，所
以口·6的几何意义是：口在6方向上的投影
长度与6的模的乘积．
誊藩瓣向量的代数运算有坐标形
式和非坐标形式，一般优先利用坐标形式
(建立坐标系)．要善于将向量的代数形式与
几何形式结合，体现向量沟通代数与几何的
桥梁作用．
类型七：向量与其他知识的融合
◆例1已知向量口：(c。sa，sin口)，6：
(cos卢，sinp)，O<口
(1)求证：口+6与口一6互相垂直；
(2)设I幻+6I—In一勋l，足≠o，求口一口
的值．
翥瓣向量坐标形式与三角形式结合
时，从简化运算的角度，应考虑是先代人坐
标后运算，还是先运算后代人坐标．
◆例2在水流速度为4万km／h的河
中，如果要使船以12km／h的实际航行速度
与河岸成直角行驶，求船在静水中的航行速
度的大小与方向．
裹蘩将实际问题转化为向量形式．
★等差数列的概念和性质
类型一：等差数列的判断与证明
一例1已知数列{口。)满足口。一4，口。一4一二L(竹∈N。且咒≥2)，令6。=去(竹∈
“n—lⅡ^厶
N’)，求证：{玩)是等差数列．
证明数列是等差数列：
蔫溪姆j定义法，即当，z∈N+时，n。+。
一口。为同一常数．
灞蒋鬻中项公式法，即当咒∈N。时，
2口。+l=n。+n计2均成立，其推广形式为：2口。
=口。一m+口。+m．
◆例2(1)已知数列{口。)的通项公式为
口。一户行2+q行(靠∈N。)，若{n。)为等差数列，
NewUniVersityEntranceExamination11
万方数据
耔高g数学
归纳整理
求夕，q满足的条件；
(2)已知数列{口。)满足n1—2，口。=2如一l
1
+2”+1(竹∈N。且行≥2)，令6。一击(口。+￡)
厶
(报∈N。)，问是否存在实数￡，使得{巩)为等
差数列?若存在，求出￡的值；若不存在，说
明理由；
(3)已知数列{口。)满足口l=1，口。+1一An。
+行(行∈N’)，求证：对任意的实数A，数列
{口。)一定不是等差数列．
判断数列是等差数列：
方法1定义法，即当咒∈N。时，口。+。
一n。为同一常数．
方法2中项公式法，即当，z∈N。时，
2口。+l一口。+口。+2均成立．
方法3特殊值法，若前3项成等差数
列，再证明对任意的咒∈N+成等差数列．
方法4通项为一次形式，即口。一伽
+6．
方法5前咒项和为不含常数项的二
次形式，且口S。一口，22+6咒．
方法6若{n。}为等比数列，则{log。
n。}为等差数列．一
◎注意方法4，5，6只能作为判断，不能
作为证明．
方法判断数列不是等差数列，通常
用特殊值法，如取连续3项，验证不成等差
数列．
类型二：基本■的运算
例(1)在等差数列{n。)中，已知口。一
号，公差d一一号，前行项和s。一一15，求咒
及口。的值；
(2)设等差数列{口。}的前咒项和为S。，
且÷s。与—}s。的等差中项为1，而÷s。与
丢s。的等比中项是÷s。，求n。的表达式．
12NewUniversjtyEntranceExamination
方法基本量法：在等差数列中，五个
元素口。，d，竹，口。，S。中的任意四个可以建立
等量关系式，如知三可求另二．
基本想法基本量方法是数列方法中最
基本、最核心、最重要的，虽然不是最优先的．
类型三：性质的应用
◆例1(1)在等差数列{口。)中，口。+口。+
n6+n7—4，贝4口5—5
(2)在等差数列{n。)中，前15项和S。。
一90，则口8一；
(3)若两个等差数列{n。)，{6。)的前n
项之和分别是s。，T。，已知手一害南，则蚤
=
●
方法(1)在等差数列{口。}中，若m+
72一户+q，则n。+n。一ap+口q．特别地，若仇
+行一2p，则n。+n。一2口p．(2)由s。一丛掣，知若行为奇数，
则S。一九口掣．
◆例2已知{口。)为等差数列，s。一2，s。。
一8，求S3。，S5。的值；
方法在等差数列{口。)中，S。，S。。一
S。，S。。一S：。成等差数列．
◎注意不是S。，S。。，S。。成等差数列．
类型四：等差数列前行项和S。的最值
问题
◆例(1)已知{口。)是等差数列，若，口。一
一15，公差d一2，求数列前押项和S。的最
小值；
(2)已知{口。)是等差数列，若口。一20，公
差d一一2，求数列前，2项和S。的最大值；
(3)已知{n。}是等差数列，S。是其前竹
项和，且S。S。，则下列结论中正
确的是．
①dS5；④S6和
S，均为S。的最大值．
在等差数列{n。}中S。的最值问题：
万方数据
方法1(1)当n。>o，d
f口m≥o：．的项数m使得s。取最大值；(2)当【口。+l≤O
日。<。，d>。时，满足{：：荨三。的项数m使
得S。取最小值．
方法2根据S。的解析式，结合二次
函数图象分析，其中满足S。的二次函数图
象恒过原点．
等比数列的概念和性质
类型一：等比数列的判断与证明
◆例在数列{口。)中，口。一1，对任意的n
∈N。，均有2口。+1+口。一1=O．
(1)求证：{口。一丢1为等比数列；I3J
(2)求{口。)的通项公式．
证明数列是等比数列：
方法1定义法，即当行∈N‘时，生旦
“”
为同一常数．
方法2中项公式法，即当咒∈N’时，
n：+。=n。口。+：均成立，其推广形式为：口：一
口n一卅nn+J，1．
判断数列是等比数列：
方法1定义法，即当行∈N’时，生旦
““
为同一常数．
方法2中项公式法，即当行∈N‘时，
a：+l一口。口。+2均商￡立．
方法3特殊值法，先使得前3项成等
比数列，再证明对任意的n∈N’成等比数列．
方法4通项为指数形式，即％一口矿．
方法5若{口。}为等差数列，则{口4”)
为等比数列．
◎注意方法4，5只能作为判断，不能作
为证明．
方法判断数列不是等比数列，通常
用特殊值法，如取连续3项，验证不成等比
数列．
类型二：基本量的运算
■例(1)在等比数列{口。}中，口。一2，口。
+口。一等，求{口。)的通项公式；
(2)在等比数列{口。}中，公比g一2，口。一
96，前n项和S。一189，求口l与咒的值．
方法基本量法：在等比数列中，五个
元素n。，q，，2，口。，S。中的任意四个可以建立
等量关系式，如知三可求另二．
◎注意(1)在等比数列中，求和时要优
先考虑公比q=1的情况；(2)在等比数列
中，任意项均不为O，公比g也不为0；(3)在
等比数列中，隔一项必同号．
基本想法基本量方法是数列方法中最
基本、最核心、最重要的，虽然不是最优先的．
类型三：性质的应用
■例1(1)在等比数列{口。)中，口。>o，
n2口4+2n3口5+n4n6—25，则有口3+口5一
i
(2)在等比数列{n。}中，口，+n。=66，口。
口。一l—128，前咒项和S。=126，求公比g及咒
的值．
方法在等比数列{口。)中，若研+行=
户+q，则口。口。一n舻。．特别地，若m+挖一2户，
贝U口。血。一口j．
◆例2已知一个等比数列的前10项和
为10，前20项和为30，求：
(1)前30项和；
(2)前50项和．
方法在等比数列{口。}中，s。，s。。一
S。，S。。一S。。成等比数列．
◎注意不是S。，S…S。。成等比数列．
类型四：其他
◆例有四个数，前三个数成等比数列，
NewUniVersityEntranceExaminationII
万方数据
l新矗警数学
它们的和为19，后三个数成等差数列，它们
的和为12，求这四个数．
方法若三个数成等差数列，可设为口
一d，口，口+d；若三个数成等比数列，可设为
★数列的通项
类型一：叠加法
一例已知数列{口。)中，n。=1’，口。一口。一。
+3”(行∈N且挖≥2)，求口。．
蠹法形如口。一口。一。=厂(咒)(n∈N且
挖≥2)的递推关系，用叠加法，即当竹∈N且咒
≥2时，口。一(口。一口。一1)+(口。一1一口。一2)+…
+(口2一口1)+口1．
◎注意当挖=1时不满足上述形式，所
以需要检验．
类型二：叠乘法
■例1已知数列{口。)中，口，=1，n。=
2“口。一l(行∈N且n≥2)，求口。．
◆例2已知正项数列{口。)中，口，一1，(咒
+1)口：+l一砣口：+n。+l口。一o(竹∈N。)，求口。．
方1法形如_竺L一厂(7z)(n∈N且竹≥
2)的递推关系，用叠乘法，即当咒∈N且n≥2
时’口。一景’荛…‘詈Ⅶ·
◎注意咒一1不满足上述形式，所以需
要检验．
类型三：含口。，S。的关系式
■例1已知数列{口。)中，s。一2行2一起+1
(，z∈N+)，求口。．
◆例2已知数列{口。)中，口。=1，s。一
咒2口。(行∈N。)，求n。．
隽薷含有n。与s。的递推关系，利
用Ⅱ。一{≥’_sH，：蓁：：转化为仅含有口一用Ⅱ一一1≥一s。一，，挖≥2，转化为仅含有钆
l●NewUniversityEntranceExamination
的关系式(如果不能解决I司题，则考虑转化
为仅含有S。的关系式，如转化为n。不能解
决问题，题意提示先求S。)．
◎注意优先考虑当咒一1时，口。=S·的
情况．
类型四：口。一加。一·+q(以∈N且，l≥2)
◆例已知数列{口。)中，n。一1，n。一
n
妻n。一。+1(，2∈N且竹≥2)，求口。．
嚣落形如口。一加。一。+q的递推关
系，化为n。+歹与一户(口。一，+歹与)的形
式．令6。一a。+了与，得巩2p6n一·，故{以)为
等比数列，从而求出{口。)的通项公式．
类型五：％一加。～。+，(，2)(挖∈N且72≥2)
◆例已知数列{以。)中，口。一1，n。一2n。一。
+24(n∈N且挖≥2)，求口一·
雳法形如口。一加。一。+厂(咒)的递推
关系，两边同时除以户”，得》一参}+鼍竽．
令6。=》，得玩一6。一。+鼍竽，用叠加法求
出6。(若g竽为常数，则{玩)为等差数列)，
从而求出{口。)的通项公式．类型六：口n一篇(靠∈N且行≥2)
◆例已知数列{口。)中，口。=1，口。=
』鱼击(咒∈N且咒≥2)，求口。．
口n一11-二
蠢密形如口。一篇的递推关
系，两边同时取倒数，得去一击+詈·令玩
2去，得以。6n—t+詈，故{巩}为等差数列，
从而求出{n。)的通项公式．
类型七：户(1)口l+户(2)n2+…+户(咒)口。
=厂(咒)宣览口1口2…n。一厂(竹)
万方数据
：二二：．二二二：二I
◆例(1)已知数列{n。)中，口，+2口2+…
+竹口。一行2(竹+1)(行∈N。)，求口。．
(2)已知数列{口。}中，口l口2…口。一n2(咒∈
N。)，求口。．
雳．{法(1)形如
户(1)nl+户(2)口2+…+p(挖)口。=厂(挖)，
列出
fp(1)口l+p(2)乜z+…+p(挖)口．=，(咒)，
Ip(1)口l+p(2)口2+…+户(行一1)n．一。一，(挖一1)，
(n∈N。且咒≥2)，两式作差得口。一丛型{铲(九∈
N。且n≥2)，而口l一，(1)．
(2)形如n。口：…口。一，(n)的递推形式，列
出隧篡j纂叫，c行删且跏，，山、～，l(11且，l少●，’I口l口2…口。一l一，(竹一1)，两式作商得口。一器(咒∈N。且挖≥2)，
，L聍一l，
而口。一，(1)．
◎注意咒=1是否满足上述形式须
检验．
类型八：口。+n。+1=，(竹)或口。口。+l=
厂(行)(行∈N’)
例1
(n∈
例2
已知数列{口。}中，口l一1，口。+口。+l
N’)，求口。．
已知数列{口。)中，口1=1，口。口。+1=
2”(挖∈N。)，求口。．
方法(1)形如口。+n川一，(n)的递
推关系，列出口。+。+口。+：=，(挖+1)，两式作
差得n。+：一口。=厂(行+1)一厂(砣)，即找到隔
项之间的关系．
(2)形如口。口。+。一，(，1)的递推关系，列
出口。+。口。+。一，(咒+1)，两式作商得笔±三一
丛轰募堕，即找到隔项之间的关系．
类型九：归纳猜想
■例(1)已知数列{口。)中，口，一2，口。+。
一一赤(行∈N-)，则n20·一——；
(2)1已知数列{口。)中，口。一导，口。+。=
』2口一(。≤：<丢)’。竹∈N。，，贝。有口：。。。<(竹∈N’)，贝4有口2o】4卜～·(丢≤水·)一…
类型一：分组求和法
◆例(1)求数列口。一口一+2行一1的前以
项和o
(2)求数列1+2，1+2+4，…，1+2+
…+2”，…的前行项和．
方法形如口。±6。(其中{口。)，{玩)的
前行项和公式易求)的通项公式，采用分组
求和法．
类型二：裂项相消法
◆例(1)求数列圹；杀而的前挖
项和5(2)求数列n一一赢的前n项和；
(3)求数列瞳一一志的前行
碘和．麟删。赤或忑寄砺
nH～口Ⅳ1-口J。／’''+J+．／”
等的通项公式，采用裂项相消法，即先裂项，化为吉(去一i毛)或吉(丽一√为等的
形式，再求和．
类型三：错位相减法
一例(1)求数列口。一心·(丢)”的前恕
项和2
NewUnIversityEntranceExaminationl‘
●气■
万方数据
新高音数学
归纳整理
(2)求数列n。一(2咒一1)·3”的前72
项和．
方法形如口。6。的通项公式(其中
{口。}为等差数列，{6。}为等比数列)，采用错
位相减法．
类型四：倒序相加法
◆例设厂(z)一燕，求厂(去)+
，(嘉)+，(未)+…+厂(磊)的值．
方法首尾对称的两项和为定值的通
项公式，采用倒序相加法．
类型五：并项相加法
■例(1)已知数列口。一(一1)n．恕，求
S。的表达式’
(2)已知数列口。一(一1)一1·，z2，求S。
的表达式．
方法正负项交替出现的通项公式，
采用并项相加法．
★数列的最值与单调性问题
◆例1(1)求数列口。一南(竹∈N‘)
的最大值．
(2)求数列口。一去(以∈N’)的
押一虿
最值．
(3)已知数列口。一3”2一(9+口)咒+6+
2n，若数列的第4项取最小值，求实数口的取
值范围．
方法数列最值问题实质为数列单调
性问题，再转化为函数单调性问题．
◎注意数列的定义域为咒∈N’，在图象
上表现为离散的点．
◆例2(1)求数列n。一(以+2)(杀)”(竹
∈N’)的最大项．
1‘NewUnivers．tyEntranceExamination
(2)求数列口。=4咒2(詈)一1(咒∈N。)的
最大项．
(3)求数列口。一茅b+石b+茅b+
…+÷，求数列的最小值．
二靠
方法1利用口。+。一口。与0的关系
(或生盐与1的关系，其中口。>o)判断数列的
单调性．
方法2若第撒项为数列的最大项，
则噍=
若第优项为数列的最小项，
则{：：受：j
对比：数列的单调性
例数列{口。)通项公式为口。一口n2+咒，
若{口。)满足口l<口2<口3<口4<口5，且口。<
口。一。对咒≥8恒成立，求实数口的取值范围．
方法1转化为函数的单调性，如利
用图象分析．
◎注意因为数列图象为离散的点，所以
在图象分析时考虑与连续函数图象的区别．
，1、n一2
(2)已知数列口。一(寺)，巩一A口。一
咒2，若数列{6。)是单调递减数列，求实数A的
取值范围．
，1、n一1
(3)已知数列口。一行2(寺)，判断数列
{n。}的单调性．
方法2利用口。+，一口。与。的关系
(或堕旦与1的关系，其中n。>0)判断(或证
Ⅱn
明)数列的单调性．
基本想法数列是一种特殊的函数，
所以数列问题可以转化为函数问题．但数列
是定义域为N’的函数，所以又有它特殊的
处理方式，要注意两者的联系与区别．
万方数据
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