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读懂相对论| 当爱因斯坦幻想自己骑在光束上

2015-07-20  玉韫珠藏

读懂相对论 | 当爱因斯坦幻想自己骑在光束上

2015-07-19 按蓝字加我好友 赛先生



物理学家马克斯·玻恩在回忆爱因斯坦时说道:“他之所以如此与众不同,不是因为他的数学能力,而是因为他具有一种不可思议的洞悉自然奥秘的本领。”

爱因斯坦的物理嗅觉异常灵敏,他能从大家熟视无睹的现象中闻出异味。他建立相对论的思想来源,可以追溯到16岁时突然产生的一个灵感。当时,爱因斯坦知道了光是以很快速度前进的电磁波,于是他想:如果骑在一束光上,又能看到些什么呢?


  • 张天蓉(德克萨斯州大学奥斯汀分校理论物理博士)


相对论被誉为20世纪最美丽的思想。爱因斯坦因为其思想之伟大而伟大,并非因为公式。


广义相对论将万有引力描述为“时空”的弯曲,而不仅仅是三维空间的弯曲。时空,即使是平坦的时空,也与普通的位置空间有许多有趣的本质区别。平坦时空的性质,是狭义相对论的结论。在介绍广义相对论之前,我们先向读者简单介绍狭义相对论。


狭义相对论的基础是光速不变定律及相对性原理。前者是实验的要求,确定光速为最大的信息传递速度,并且不随观测系统而改变。后者来自于对称性,即相对性原理的考虑。该原理是说,物理定律不应该以参考系的改变而改变。也就是说,如果把你关在一条平稳行驶的大船舱里,无论船“动与不动”,你观察到的物理规律应该是一样的。“地恒动而人不知,譬如闭舟而行不觉舟之运也。”


相对性原理听起来简单,符合常识,但是真把它与“光速不变”结合起来,进而建立狭义相对论,由此得到的许多结论却令人大吃一惊。首先,我们需要修改关于时间和空间的概念。它们不再是两个独立的“绝对框架”,而是互相关联在一起。时间是什么?空间是什么?“同时”是什么意思?这些概念需要被重新考察和理清。


同时的相对性


我们生活的空间是3维的,3个数字可以决定空间坐标中某一点的位置。然而,在这个世界发生的任何事件,除了决定地点(即位置)的3个值之外,发生的时间点也很重要。如果把时间当作另外一个维度的话,我们的世界便是4维的了,称之为4维时空。


其实4维时空也是我们生活中常用的表达方式,比如,当电视里有新闻报道说,在曼哈顿第5大道99街某高楼上的第60层发生了杀人案件时,一定会提到案件发生的时间:2014年10月3日6点左右。报道中提到的5、99、60这3个数字,可以说是代表了事件的3维空间坐标,而发生的时间(2014年10月3日6点)就是第4维坐标了。


新闻报道中可能还会有“纽约杀人案发生的同时,小薇正在北京某个舞厅跳舞……”一类的话。


那么,什么叫“同时”呢?人们在日常生活中理解的时间是一个绝对概念,就像是“上帝”在某处设立了一个大大的、精确无比的标准钟。然而,如果你深入考察一下时间的概念,可能会让你越想越糊涂。时间到底是什么?公元4世纪的哲学家圣·奥古斯丁对“时间”概念有一句名言:


“If no one asks me, I know what it is. If I wish to explain it to him who asks, I do not know.”可以把它翻译成:“无人问时我知晓,欲求答案却茫然”。


时间是绝对的,还是相对的?如果说它是绝对的,显然不符合相对性原理。“上帝”所设置绝对准确的钟该放在哪儿呢?地球上?太阳上?或是别的什么地方?这好像又回到了地心说、日心说之争的年代。现代社会里几乎每一个人都知道,无论是地球还是太阳,都只是浩瀚宇宙中一个小小的天体。所以,即使从现代一般人的常识来看,也似乎不应该存在一个绝对的时间。而爱因斯坦也正是深刻理解了时间的“相对性”意义,才在创立狭义相对论的过程中,迈出了关键的一步。


爱因斯坦有一个广为人知的比喻:“和一位漂亮女孩在一起待上一小时,你会感觉像一秒钟;但如果让你在火炉上待一秒钟,你会感觉像一小时。这就是相对论。”尽管这的确是爱因斯坦所言,但在这个比喻中,他指的是时间在心理上的相对性,而我们想要探究的,却是爱因斯坦探讨的时间在物理意义上的相对性。


退一步说,即便某处存在一个标准钟,全世界的钟也需要与它对准才能互相比较。物理上的“对准”,意味着要互相传递某种信息。相对论认为光速是传递信息的最大速度,因此,同时性需要光波传递信息来判断,这就造成了同时的相对性。换言之,某个人看起来是同时发生的两件事,对另外一个运动参考系中的人而言,可能不是同时发生的!



图1:同时的相对性



我们用图1所示的例子来说明这个问题。


一列火车以速度V运动,站在车厢正中间的Alice,当经过地面上的Bob时点亮了车厢正中间位置的一盏灯,向左和向右的两束灯光,将以真空中的光速C分别传播到车尾A和车头B。在Alice看来,这盏灯到A和B的距离是相等的,所以,两束光将同时到达A和B。但是,站在地面上“静止”的Bob,将如何看待这个问题呢?


对Bob来说,左右两束光的速度仍然都是C,这是相对论的假设,无论光源运动与否都没有关系。但是,火车却是运动的。A点是对着光线迎过去,B点则是背着光线逃走。所以,光线到达A的事件应该先发生,到达B的事件应该后发生。也就是说,Alice认为是同时发生的两个事件,Bob却认为不同时。


刚才所述相对论中对同时性的检验,用光信号的传递来进行。这是因为光在狭义相对论中具有独特的地位。根据狭义相对论的假设,真空中的光速对任何参考系、在任何方向测量都是一样的数值。在由此而建立的狭义相对论中,任何物体的速度都不可能超过光速,光是能够完整传递信息和能量的最大速度。换言之,如果火车上的Alice不是点亮了一盏灯,而是向左右射出子弹的话,两颗子弹相对于Bob的速度便不是一样的了。所以,不能用子弹来检验同时,只能用光速来检验。至今为止,实验中没有发现任何超光速的传递能量和信息的现象。也就是说,尚未有与相对论这条假设相违背的情形。如果将来的实验证实这条假设不对的话,爱因斯坦的理论就需要加以修改了。


时间空间坐标


闵可夫斯基曾经是爱因斯坦的老师,尽管当初他并不看好这个蓬头垢面、从不认真上课的学生,但后来却积极帮助他构建相对论的数学模型,四维时空便以其命名,被称之为闵可夫斯基空间(简称闵氏空间)。闵氏空间是欧氏空间的推广,包括了空间和时间,但仍然是平坦的。


将时间和空间统一在4维时空中,是为了数学上的方便。狭义相对论揭示了时间空间的相对性,以及它们之间的互相关联。然而,时间和空间毕竟是不同的物理概念,时间用时钟来度量,空间用尺子来度量,它们在4维时空中分别对应于本质不同的实数和虚数,这也反映了“时钟”和“米尺”不能互变的物理事实。因此,闵氏空间虽然是平坦的,但与欧式空间大有区别。


人类的大脑难以想象四维的图像,所以,我们用由一个时间轴t和两个空间轴(x,y)的三维坐标(图2)——甚至更简单的,用图3的二维时空——来说明闵氏空间与欧式空间的区别。



图2:四维时空(只画了3维)和世界线



图2的时空图包括1个竖直方向的时间维和2个水平空间维。往上的时间轴方向表示未来,向下便代表过去。


细心的读者可能会问:时间间隔和空间距离的量纲是不一样的,图2中怎么把它们的平方加减到一块儿去了呢?那是因为使用了自然单位制,将光速c定义成了1,以后的文章中都将如此。


从物理的角度,时间和空间的最根本不同是时间概念的单向性。你在空间中可以上下左右、四面八方随意移动,朝一个方向前进之后可以再后退回来。但时间却不一样,它只能向前,不会倒流,否则便会破环因果律,产生许多不合实际情况的荒谬结论。


时空中的一个点,有时间、有地点,按照通常的意义把它叫做一个“事件”。图2a中的圆锥被称为过某一点(图中是o点)的光锥。如图所示,光锥将这个点附近的时空分成类时、类光、类空三个部分。在时空坐标图中,因果律表现在两个地方:一是时间的方向性,二是光速最大。因此,如果有两个事件(图2a中的A和o)是因果相关的,并且A发生在o之后的话,A一定位于o的向上的光锥内(类时区域)。


图2b中的A点,表示粒子初始时刻t1,位于空间坐标为(x1,y1)的这个“事件”,后来,在时刻t2,粒子运动到了空间位置(x2,y2),这个“事件”用点B(t2,x2,y2)来表示。图2b中从A到B的曲线,叫做粒子的“世界线”。


世界线,用以描述一个点粒子在时空中的运动轨迹。如果考虑的对象不是一个点,比如说,一条线虫,它在时空中的轨迹就成为了“世界面”,而要描述一个2维生物,如图2b中的阿扁随时间长大的过程,就是一个“世界体”了。



图3:时间空间二维坐标系



闵可夫斯基时空的“距离”与欧氏空间的距离不一样。欧氏空间的距离:ds2=dy2+dx2,在任何情况下都是一个正数。而在闵氏空间中:dτ2=dt2-dx2。可以是正数、负数、零,分别对应于类时、类空、类光间隔,如图3c所示。类时间隔的两个事件之间可以有因果联系;类光间隔的两个事件之间以光速传播;类空间隔的两个事件之间没有因果关系。


洛伦茨变换


让我们回到以上所述Bob和Alice的例子。Bob站在地面上,Alice随火车以速度V运动。他们使用两个不同的时空坐标系:(t,x)和(t’,x’)。在相对论中,这两个相对以速度V运动的坐标系之间的转换关系用洛伦茨变换表示,它与牛顿力学中的伽利略变换有所不同。伽利略变换中,时间是绝对的,只是空间坐标平移。



图4:洛伦茨变换



洛伦茨变换则是时空中的一个双曲旋转,如图4所示。从图4a可以看出,双曲旋转不同于欧氏空间中的旋转:空间坐标x轴逆时针转动到x’,而时间坐标轴t到t’却是顺时针转动。这是因为洛伦茨变换需要保持光速不变,因而坐标旋转时,光锥总是保持在时间轴和空间轴中间的位置。这也和事件的因果性有关,洛伦茨变换可以改变时间的相对性,却不会改变两个因果联系事件之间的因果关系。一个人“出生”的事件一定发生在这个人“死亡”事件之前,这个结论不会改变,无论是在Bob的坐标系,或者是Alice的坐标系中看,都是一样。


质能关系E=mc2


理论物理学家马克斯·玻恩(Max Born,1882~1970)在回忆爱因斯坦时说道:“他之所以如此与众不同,不是因为他的数学能力,而是因为他具有一种不可思议的洞悉自然奥秘的本领。”


爱因斯坦的物理嗅觉异常灵敏,他能从大家熟视无睹的现象中闻出异味。他所建立的两个相对论的思想来源,其实可以追溯到他16岁时候突然产生的一个灵感。当时的爱因斯坦知道了光是以很快速度前进的电磁波,于是他想:如果骑在一束光上能看到些什么呢?看到的情况是否与静止时有所不同?


尽管我们无从知晓当时爱因斯坦所得“灵感”的具体细节,但不妨猜想一下。也许他会进一步想,如果这束光就是从一个时钟上反射过来的,情况又会怎么样呢?本来,我们能够看见时钟指示的数目,也正是因为这个反射光传播到了我们眼睛里的缘故,而现在,我骑着这束光,和它一起前进的话,时钟指示的数目对我来说,不就是应该不会变化了吗?这就是与静止坐标系中看到的不同景象了。静止坐标系中的时钟,显然是在不停滴答作响往前走的。


不难看出,上面的想法中已经有了“同时”的相对性的影子。正是这种特别具有的好奇心和物理直觉,使爱因斯坦不同于洛伦茨、庞加莱等人。后者擅长数学运算,把很多东西作为数学技巧,玩起来游刃有余,但却闻不出、尝不到其中的物理滋味。只有爱因斯坦,正是在深入研究了一般人不会去深究的“同时性”概念后,确定了“光速不变”和“相对性”两个简单的原理,并在此基础之上建立了狭义相对论。


广义相对论,也是基于两个简单的原理。“广义相对性”和“等效原理”,前者是本篇介绍的相对性原理的推广。等效原理的灵感,与其16岁的想法有些类似,不过有趣的是,等效原理的思想不是“骑着光走”,而是想象自已随自由落体之物一起下落。


狭义相对论不仅仅通过四维时空将时间和空间这两个概念统一在一起,而且,很多物理量在四维时空中也被统一起来了。比如说,能量和动量成为一个四维动量,麦克斯韦方程可以用四维矢量势写成一个4维协变的形式。


爱因斯坦善于“从一团乱麻中寻找出最重要、最核心的东西”,他天才地在狭义相对论中导出了描述能量质量关系的质能公式:E = mc2。据说,这个公式已经深入人心,是人类历史上最有名的公式之一,已成为人类文化的一部分。我们有时会在一些与物理完全无关的场合看到这个式子,可能是对上述说法的一个佐证。


在牛顿理论中,质量和能量是两个完全不同的概念。静止物体有质量没有能量,物体运动时能量增加,但质量不会增加。经典物理中的物质守恒和能量守恒,是两个互相独立的定律。这也就是为什么将质量称之为“静止质量”的原因。


狭义相对论中,3维空间被4维时空(t,x,y,z)所代替,质能关系表达了静止质量m和其内禀能量的关系,它表明物体相对于一个参照系静止时仍然有能量mc2。反之,在真空中传播的一束光,其静止质量是0,但由于它们有运动能量,因此它们也有所谓因运动而具有的“相对论质量”。不过,基于历史的原因,在大多数情况下,人们仍然只用m表示静止质量,不常使用“相对论质量”这个术语。


这个等式所描述的不是质量和能量的互相转化,而是表明了质量能量是同一个东西,物体的质量实际上就是它自身能量的量度。


(本文系作者“广义相对论100周年”系列文章之三,《赛先生》获授权刊发。)

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