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《数学课程标准》（2011版）在总体目标中明确指出：“通过义务教育阶段的数学学习，学生能获得适应社会生活和进一步发展所必须的数学的基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验……”把“基本思想”作为“四基”之一，这就明确了数学思想在数学教学中的重要地位。那么，什么是数学基本思想？数学“基本思想” 蕴涵在教材的哪些内容之中？教学中怎样帮助学生获得“基本思想”呢？
一、什么是数学基本思想？
数学思想，是指现实世界的空间形式和数量关系反映到人们的意识之中，经过思维活动而产生的结果。数学思想是对数学事实与理论经过概括后产生的本质认识；基本数学思想则是体现或应该体现于基础数学中的具有奠基性、总结性和最广泛的数学思想，它们含有传统数学思想的精华和现代数学思想的基本特征，并且是历史地发展着的。通过数学思想的培养，数学的能力才会有一个大幅度的提高。掌握数学思想，就是掌握数学的精髓。 史宁中教授指出：基本数学思想不应当是个案的，而必须是一般的。这大概需要满足两个条件：一是数学产生以及数学发展过程中所必须依赖的那些思想。二是学习过数学的人所具有的思维特征。这些特征表现在日常的生活之中。这就可以归纳为三种基本思想，即抽象、推理和模型。通过抽象，人们把外部世界与数学有关的东西抽象到数学内部，形成数学研究的对象，其思维特征是抽象能力强；通过推理，人们得到数学的命题和计算方法，促进数学内部的发展，其思维特征是逻辑能力强；通过模型，人们创造出具有表现力的数学语言，构建了数学与外部世界的桥梁，其思维特征是应用能力强。 1、什么是抽象 抽象是在思维中抛开对象的非特有、非本质属性，从中抽取对象的特有属性或本质属性的方法。 数学中抽象主要包括两方面的内容：数量与数量关系的抽象，图形与图形关系的抽象。通过抽象得到数学的基本概念，这些基本概念包括：数学研究对象的定义、刻画对象之间关系的术语和符号以及刻画对象之间关系的运算方法。 例如：人们经过长期的实践，把1个鸡蛋、1只羊、1头牛……抽象成数字“1”符号，继而形成了自然数，并且用十个符号和位数表示。后来又抽象出了数之间的大小、运算关系。至于图形与图形关系的抽象最明显的体现是构成几何学的基本要素的“点、线、面”就是抽象的结果。 2、什么是推理 所谓推理，是指从一个命题判断到另一个命题判断的思维过程，其中命题是指可供是否判断的语句；所谓有逻辑的推理，是指所涉及的命题内涵之间具有某种传递性。推理一般包括合情推理和演绎推理。 合情推理。合情推理是从已有事实出发，凭借经验和直觉，通过归纳和类比等推断某些结果的思维过程。合情推理是命题内涵由小到大的推理，是一种从特殊到一般的推理。合情推理包括归纳推理和类比推理。归纳推理是由某类事物的部分对象具有某些特征,推出该类事物的全部对象都具有这些特征,或者由个别事实概括出一般结论；类比推理由两类对象具有某些类似特性和其中一类对象的某些已知特性，推出另一类对象也具有这些特性的推理。简言之，类比推理是由特殊到特殊的推理。因此，通过合情推理得到的结论是或然的。人们借助合情推理，从经验过的东西出发推断未曾经验过的东西，这便是所说的“看”出数学结果，看出的数学结果不一定是正确的，但指引了数学研究的方向。便于探索思路、发现结论。 例如：（三角形的内角和180度） 演绎推理。演绎推理是命题内涵由大到小的推理，是一种从一般到特殊的推理。因此，通过演绎推理得到的结论是必然的。演绎推理包括三段论、反证法、数学归纳法、算法逻辑等。人们借助演绎推理，按照假设前提和规定的法则验证那些通过推断得到的结论，这便是数学的“证明”，通过证明得到的结论是正确的，但不能使命题的内涵得到扩张。 例如：乘积是1的两个数互为倒数，因为3×1/3=1，所以3和1/3互为倒数。 注意：不可能把抽象和推理截然分开：抽象的过程要依赖推理；而两种形式的推理、特别是合情推理的过程要依赖抽象。 3、什么是模型 数学模型是用数学语言概括地或近似地描述现实世界事物的特征，数量关系和空间形式的一种数学结构。从广义角度讲，数学的概念，定理，规律，法则，公式，性质，数量关系式，图表，程序等都是数学模型。 数学模型思想是指用数学的语言描述现实世界所依赖的思想。数学模型使数学走出数学的世界，是构建数学与现实世界的桥梁。通俗地说，数学模型是借用数学的语言讲述现实世界的故事。 例如：小学两个典型的模型：路程=速度×时间 总价=单价×数量 二、小学阶段主要的数学思想有哪些？
抽象、推理和模型是数学的基本思想，是最高层面的思想，在实践中又派生出很多与具体内容结合的具体思想。 在小学阶段，具体数学思想主要有符号化思想、化归思想、分类思想、方程思想、集合思想、函数思想、数形结合思想、统计与概率思想等等。 （一）符号化思想 1、符号化思想的概念。 数学符号是数学的语言，数学世界时一个符号化的世界，数学作为人们进行表示、计算、推理和解决问题的工具，符号起到了非常重要的作用：因为数学有了符号，才使得数学具有简明、抽象、清晰、准确等特点，同时也促进了数学的普及和发展；国际通用的数学符号的使用，使数学成为国际化的语言。符号化思想是一般化的思想方法，具有普遍的意义。 2、符号化思想的具体应用。
符号化思想作为数学基本的、广泛应用的思想之一，教师和学生无时无刻不在与它们打交道。教师在教学中应把握好以下几点。 （1）在思想上引起重视。《数学课程标准》把培养学生的符号意识作为必学的内容，并提出了具体要求，足以证明它的重要性。因此，教师在日常教学中应给予足够的重视。 （2）把培养符号意识落实到课堂教学目标中。教师在每堂课的教学设计中，要明确符号的具体应用，并纳入教学目标中。创设合适的情境，引导学生在探索中归纳和理解教学符号化的模型，并进行解释和应用。 (3) 引导学生认识符号的特点。 让学生逐步明确，数学符号不仅可以表示数、数量关系，还可以参与运算和推理证明。理解数学符号的高度概括性和简捷性。 （4）符号意识的培养是一个长期的过程。符号意识的培养应用贯穿于数学学习的整个过程中，学生首先要理解和掌握数学符号的内涵和思想，并通过一定的训练，才能利用符号进行比较熟练地运算、推理和解决问题。 例如：教学“甲乙两个数的和是58，甲数比多36。求甲乙各是多少？”这样的问题，当学生已经掌握这类问题的特点和解答方法之后，可以设计这样的练习题： A + B = 18 A - B = 2 求：A=？ B=？
（二）化归思想 1、化归思想的概念。 人们面对数学问题，如果直接应用已有知识不能或不易解决该问题时，往往需要解决的问题不断转化形式，把它归结为能够解决或比较容易解决的问题，最终使原问题得到解决，这种思想方法称为化归（转化）思想。 2、化归所遵循的原则。 化归思想的实质就是在已有的简单的、具体的、基本的知识的基础上，把未知化为已知、把复杂化为简单、把一般化为特殊、把抽象化为具体、把非常规划为常规，从而解决各种问题。因此，应用化归思想时要遵循以下几个基本原则： （1）数学化原则，把生活中的问题转化为数学问题，建立数学模型。 （2）熟悉化原则，即把陌生的问题转化为熟悉的问题。 （3）简单化原则，即把复杂的问题转化为简单的问题。 （4）直观化原则，即把抽象的问题转化为具体的问题。 3、化归思想的具体应用。
例如：《组合图形面积》一课就充分体现了“化归思想”。 （三）方程和函数思想 1、方程和函数思想的概念。 方程和函数是初等数学代数领域的主要内容，也是解决实际问题的重要工具，他们都可以用来描述现实世界的数量关系，而且他们之间有着密切的联系。 （1） 方程思想。 含有未知数的等式叫方程，判断一个式子是不是方程，只需要同时满足两个条件;一个是含有未知数，另一个必须是等式。方程思想的核心是将问题中未知量用数字以外的数学符号（常用x、y等字母）表示，根据数量关系之间的相等关系构建方程模型。方程思想体现了已知与未知数的对立统一。 (2) 函数思想。 设集合ab是两个非空数集，如果按照某种确定的对立关系f，如果对于集合a中的任意一个数x,在集合b中都有唯一确定的数y和它的对应，那么就称y是x的函数，记作y=f(x)。其中x叫做自变量，x的取值范围a叫做函数的定义域；y叫做函数或因变量，与x相对应的y的值叫做函数值，y的取值范围b叫做值域。函数思想体现了运动变化的、普遍性的观点。 2.方程和函数思想的具体运用. 小学数学在学习方程之前的问题,都通过算术方法解决,在引入方程之后,小学数学中比较复杂的有关数量关系的问题,都可以通过方程解决,方程思想是小学思想的重要思想,其中一元一次方程是小学数学的必学内容,在小学数学里没有学习函数的概念,但是有函数思想的渗透,与正比例函数和反比例函数最接近的正比例函数和反比例函数是小学数学的必学内容.另外,在小学数学的一些知识中也会渗透函数思想,如数与数的一一对应体现了函数思想.方程和函数是小学数学与初中数学衔接的纽带. 小学数学中方程和函数思想的应用如下表.
（四）分类讨论思想 1.分类讨论思想的概念。 人们面对比较复杂的问题，有时无法通过统一研究或者整体研究解决，需要把研究的对象按照一定的标准进行分类并逐类进行讨论，再把每一类的结论综合，使问题得到解决，这种解决问题的思想方法就是分类讨论的思想方法。分类讨论既是解决问题的一般的思想方法，适应于各种科学的研究；同时也是数学领域问题较常用的思想方法。 2. 分类讨论思想的具体应用
例如：教师的板书 （五）统计思想 1．统计思想的概念。 现实生活中有大量的数据需要分析和研究，如人口数量、物价指数、商品合格率、种子发芽率等等。有时需要对所有的数据进行全面调查，如我国为了掌握人口的真实情况，曾经进行过全国人口普查。一般情况下不可能也不需要考察所有对象，如物价指数、商品合格率等，就需要采取抽样调查的方法收集和分析数据，用样本来估计总体，从而进行合理的推断和决策，这就是统计的思想方法。在统计里主要有两种估计方法：一是用样本的频率分布估计总体的分布，二是用样本的数据特征（如平均数、中位数和众数）估计总体的数据特征。 2．统计思想的具体应用。 小学数学中统计的知识点主要有：象形统计图、単式统计表、复式统计表、单式条形统计图、复式条形统计图、单式折线统计图、复式折线统计图、扇形统计图、平均数、中位数、众数等。这些知识作为学习统计的基础是必须掌握的，但更重的是能够根据数据的特点和解决问题的需要选择合适的统计图表或者统计量来描述和分析数据、做出合理的预测和决策。 3．统计思想的教学。 《课程标准》的颁布和实施，赋予了统计更加丰富的内涵。教师要全面理解《课程标准》关于统计知识的内容和理念，在教学中要注意以下几点。 第一，注意过程性目标的教学。让学生经历数据的收集、整理、描述、分析、推断和决策的过程。包括设计合适的调查表、选择合适的统计图表和统计量描述数据、科学地分析数据并做出合理的决策。统计的教学要改变以往注重统计知识和技能这种数学化的倾向，要让学生经历统计的全过程，把统计与生活密切联系起来，让学生学习活生生的统计，而不是仅仅回答枯燥乏味的纯数学问题。 第二，认识统计对决策的作用，能从统计的角度思考与数据有关的问题。学会用数据说话，能使我们的思维更加理性，避免感性行事。从小学开始就要让学生认识统计对决策的重要作用，为将来的进一步学习和走向社会培养良好的统计意识。如作为市场经济和信息化社会的公民，每个人无不与经济活动和投资理财打交道，如果能够根据影响经济运行的各种主要数据进行合理的分析和推断，做出正确的投资理财决策、使自己的投资不断保值和升值，对于每个公民意义重大。 第三，能对给定数据的来源、收集和描述的方法，以及分析的结论进行合理的质疑。、 第四，对有关概念应正确理解，应注重知识的应用，避免单纯的数据计算和概念判断。 （六）概率思想 1.概率思想的概念。 表示一个事件发生的可能性大小的数，叫做该事件的概率。生活中的事件可以分为两类：一类是确定事件，在一定条件下一定发生的和一定不会发生的，这些事件都是确定事件；另一类是随机事件，就是在一定条件下可能发生也可能不发生的事件，随机事件表面上看杂乱无章，但是大量地重复观察这些事件时，这些随机事件会呈现规律性，这种规律叫统计规律，概率论是研究随机现象的统计规律性的一门科学学科，概率思想的意义在于揭示和把握规律，充分地利用规律为人类服务。 （1）事件的分类。 事件可以分为确定事件和随机事件，其中确定事件又可以分为必然事件和不可能事件。在一定条件下一定发生的是必然事件，一定不会发生的是不可能事件。 （2）频率与概率的区别和联系。 随机事件发生的可能性的大小是概率论研究的主要内容，通过试验来观察随机事件发生的可能性的大小是常用的方法。在相同的条件下，重复进行n次试验，某一事件A出现的次数是m，m/n就是事件A出现的频率。如果试验的次数不断增加，事件A发生的频率稳定在某个数上，就把这个常数记作P（A），称为事件A的概率。 事件的概率是确定的、不变的常数，是理论上的精确值；而频率是某次具体试验的结果，是不确定的、变化的数，尽管这种变化可能性非常的小。 这里的概率是用频率来界定的，在等可能性随机试验中，虽然频率总是在很小的范围内变化，但我们可以认为频率和概率的相关性非常的强。也就是说，在一次试验中，事件A出现的频率越大、事件A的概率就越大；事件A出现的频率越小、事件A的概率就越小。反之亦然。 （3）两种概率模型 古典概模：试验中所有可能出现的基本事件是有限的，每个基本事件出现的可能性相等。如比较经典的投硬币和掷骰子试验，都属于这种概率模型。 几何概型：试验中每个基本事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积、体积）成比例。如比较常见的转盘游戏，就是几何概率模型。 2.概率思想的具体应用。 概率思想主要应用于统计与概率领域。一是小学数学第一、第二学段都安排了可能性的内容。（新课标2011版把这一内容调整到第二学段） 3.概率思想的教学。 这部分内容的教学应注意以下几点。 第一，随机事件的发生是有条件的，是在一定条件下，事件发生的可能性性有大有小；条件变了，事件发生的可能性大小也可能会变化。如种子的发芽率与很多因素有关，如种子的质量、保存期限、温度、水分、土壤、阳光、空气等等。在各种条件都合适的情况下，发芽率可能高达90%；条件不合适发芽率可能降到50%甚至不发芽。 第二，避免把频率与概率混淆。如最经典的就是掷硬币试验去验证概率。从概率的统计定义而言，做抛硬币试验是可以的，可以使学生参与实践活动、经历知识的形成过程、提高学习的兴趣。关键是广大教师心中要明白：试验次数少的时候频率与概率的误差可能会比较大，但是试验次数多，也不能每次都保证频率与概率相差很小，或者说试验次数足够大的两次试验，也不能保证试验次数多的比试验次数少的误差小。这是随机事件本身的特点决定的，教师要通过通俗的语言使学生清楚这一点。这样在抛硬币时出现什么情况都是正常的，在学生操作的基础上，有条件的可通过计算机模拟试验，还要呈现数学家们做的试验结果，使学生理解概率的统计定义。 第三，创设联系学生生活的情境，要注意每个基本事件是否具有等可能性。如下面的题目就不合适：全班50个学生，选一人代表全班参加科普知识竞赛，张三被选中的可能性是多少？事实上参加竞赛是有一定条件的，如需要学习好、知识面宽等等，每个学生被选中的可能性是不相等的。 第四，概率是理论上的精确值，但是随机事件在具体一次试验中可能出现意外，即频率与概率有一定偏差。随机中有精确，精确中有随机，这是对待概率的一种科学态度。 例如；（摸球游戏） （七）集合思想 1.集合的概念。 把指定的具有某种性质的事物看作一个整体，就是一个集合（简称集），其中每个事物叫做该集合的元素（简称元）。给定的集合，它的元素必须是确定的，即任何一个事物是否属于这个集合是明确的。如“学习成绩好的同学”不能构成一个集合，因为构成它的元素是不确定的；而“语文和数学的平均成绩在90分及以上的同学”就是一个集合。一个给定集合中的元素是互不相同的，即集合中的元素不重复出现。只要两个集合的元素完全相同，就说这两个集合相等。 2.集合思想在具体应用。
（1）教材中的习题
（2）教师自己设计的习题：把图形名称填在相应的圈内。 四边形 梯形 长方形 正方形 平行四边形
（八）数形结合思想 1.数形结合思想的概念。 数形结合思想就是通过数和形之间的对应关系和相互转化来解决问题的思想方法。数学是研究实现世界的数量关系与空间形式的科学，数和形之间是既对立又统一的关系，在一定的条件下可以相互转化。这里的数是指数、代数式、方程、函数、数量关系式等，这里的形是指几何图形和函数图象。 数形结合思想可以使抽象的数学问题直观化、使繁难的数学问题简捷化，使得原本需要通过抽象思维解决的问题，有时借助形象思维就能够解决，有利于抽象思维和形象思维的协调发展和优化解决问题的方法。数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直觉，形少数时难入微。”这句话深刻地揭示了数形之间的辩证关系以及数形结合的重要性。众所周知，小学生的逻辑思维能力还比较弱，在学习数学时必须面对数学的抽象性这一现实问题；教材的编排和课堂教学都在千方百计地使抽象的数学问题转化成学生易于理解的方式呈现，借助数形结合思想中的图形直观手段，可以提供非常好的教学方法和解决方案。如从数的认识、计算到比较复杂的实际问题，经常要借助图形来理解和分析，也就是说，在小学数学中，数离不开形。另外，几何知识的学习，很多时候只凭直接观察看不出什么规律和特点，这时就需要用数来表示，如一个角不是直角、两条边是否相等、周长和面积是多少等。换句话说，就是形也离不开数。因此，数形结合思想在小学数学中的意义尤为重大。 3.数形结合思想的具体应用。 数形结合思想在数学中应用大致分为两种情形：一是借助于数的精确性、程序性和可操作性来阐明形的某些属性，可称之为“以数解形”；二是借助形的几何直观性来阐明某些概念及数之间的关系，可称之为“以形助数”。 数形结合思想在小学数学的四大领域知识的学习都有非常普遍和广泛的应用，主要体现在以下几个方面： 一是利用“形”作为各种直观工具帮助学生理解和掌握知识、解决问题，如从低年级借助直线认识数的顺序，到高年级的画线段图帮助学生理解实际问题的数量关系。 例如；计算1/2+1/4+1/8+1/16+1/32+1/64=？
二是数轴及平面直角坐标系在小学的渗透，如数轴、位置、正反比例关系图象等，使学生体会代数与几何之间的联系。这方面的应用虽然比较浅显，但这正是数形结合思想的重点所在，是中学数学的重要基础。
例如：
三是统计图本身和几何概念模型都是数形结合思想的体现，统计图表把抽象的、枯燥的数据直观地表示出来，便于分析和决策。 四是用代数（算术）方法解决几何问题。如角度、周长、面积和体积等的计算，通过计算三角形内角的度数，可以知道它是什么样的三角形等等。 （九）极限思想
1.极限思想的概念。 在数学上，如果某个变化的量无限地逼近于一个确定的数值，那么该定值就叫做变化的量的极限。我们知道，在小学数学里有些问题不是通过初等数学的方法解决的，如圆的面积，无法直接按照求长方形面积的方法来计算，无法直接按照求长方形面积的方法来计算。我国古代数学家刘徽为了计算圆的面积和圆周率，曾经创立了“割圆术”，具体做法是：先作圆的内接正六边形，再作内接正十二边形……随着边数的不断增加，正多边形越来越接近于圆，那么它的面积和周长也越来越接近于圆的面积和周长。刘徽在描述这种做法时说“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至不可割，则与圆周合体而无所失矣”。也就是说，随着正多边形的边数无限增加，圆内接正多边形就转化为圆，这种思想就是极限思想，即用无限逼近的方式来研究数量的变化趋势的思想。 2. 极限思想的具体应用。 极限思想在小学数学中的应用和渗透，主要体现在以下几点。 （1）在数的认识中体会有限与无限的思想。小学生从一年级开始就认识自然数0、1、2、3、…同时知道每个自然数加1就等于它的后继数。到了认识亿以内的数时，进一步知道了最小自然数是0，没有最大的自然数，自然数的个数是无限的。也就是说，任意给定一个足够大的自然数N，只需要把它加1就会得到一个更大的自然数N+1，N+1＞N，所以总是找不到一个最大的自然数，从而体会到自然数数列的无限多和趋向无穷大。由此可以推广到奇数、偶数、一个数的倍数、两个数的公倍数等都没有最大的，都有无限多个。在学习分数的基本性质时，学生知道分母不同、分数值相等的分数有无限多个。在学习小数时，首先认识的是有限小数，然后认识无限循环小数，还知道圆周率是无限不循环小数。 （2）在数的计算中体会极限思想。 例如：计算1/2+1/4+1/8+1/16+1/32+1/64+……=？ 0.999……=？ （3）在认识图形时渗透无限的思想。与自然数列的趋向无穷大类似，有些图形也具有无限长的特性，如直线、射线、角的边、平行线等，都具有无限延伸的特性，可以渗透无限的思想。 （4）在圆的面积、圆柱的体积的计算中渗透极限思想。 如上所述，在小学数学中圆的面积不能像求长方形的面积那样直接利用公式计算，圆柱的体积不能像长方体那样直接利用公式计算，利用极限思想可以解决这些问题。如计算圆的面积时，先把圆平均分成若干等份，拼成近似的长方形，但它还不是长方形，仍然无法直接按照求长方形面积的方法来求；因为把一个圆不论进行怎样细小的有限次的分割拼补，都无法真正拼成一个长方形；这时只有借助极限思想，把圆分割的越细小所拼成的图形就越接近于长方形，可以这样无限地分下去，拼成的图形面积就越趋向于长方形的面积，最后通过取极限来得到它的面积，这是极限思想在小学数学中最完美的体现。也就是说，极限思想是这样操作的理论基础和计算精确性的保证。 对有关极限的一些概念、教学要求和解题方法应准确把握。极限思想是用无限逼近的方式来研究数量的变化趋势的思想，这里要抓住两个关键语句：一个是变化的量是无穷多个，另一个是无限变化的量趋向于一个确定的常数，二者缺一不可。 应该明确，数学基本思想在小学主要是潜移默化地渗透和感悟阶段。不能作为知识点教给学生，避免拔苗助长。要以数学思想方法为引领分析问题，解决问题，在解决问题的过程中，经过反思、感悟，逐渐提升对数学思想的认识。
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