2014届年级第三次模拟考试
数学（文科）
本试卷共4页，21小题，满分150分．考试用时120分钟．
注意事项：
答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自已的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上．用2B铅笔将试卷类型（A）填涂在答题卡相应位置上．将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”．
选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上．
非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，选划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．
作答选做题时，请先用2B铅笔填涂选做题的题号（或题组号）对应的信息点，再作答．漏涂、错涂、多涂的，答案无效．
考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回．
参考公式：
体积公式：，其中分别是体积、底面积和高；
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求.
1．复数是纯虚数，则的值为
A．0B．C． D．
2．函数的定义域为
A．B．C．D．
3.已知全集，，，则
A．B．C．D．
4.下列各组向量中，可以作为基底的是
A．B．
C．D．
5．在等差数列中，已知公差，且成等比数列，则＝
A．B．C．D．
6．“”是“函数存在零点”的
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分又不必要条件
7．下列命题中，错误命题的个数有
①垂直于同一条直线的两条直线互相平行；
②平行于同一个平面的两个平面平行；
③如果是两条直线，且，那么平行于经过的任何平面；
④如果平面不垂直于平面，那么平面内一定不存在直线垂直于平面。
A．4B．3C．2 D．1
8．执行如图所示的程序框图,若输入的值为,则输出的的值为
A．B．C．D．
9.若抛物线上一点到焦点的距离为1，
则点的横坐标为
A．B．C．D．
10.设集合和为平面中的两个点集，若存在点、，使得对任意的点、，均有，则称为点集和的距离，记为.
已知集合
，则
．．．．
二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，满分20分．其中14～15题是选做题，考生只需选做其中一题，两题全答的，只以第一小题计分．）
（一）必做题：第11、12、13题为必做题，每道试题都必须做答。
11．一个总体分为甲、乙两层,用分层抽样方法从总体中抽取一个容量为的样本.已知乙层中每个个体被抽到的概率都为,则总体中的个体数为.
12.一个四棱锥的底面为菱形，其三视图如图2所示，
则这个四棱锥的体积是.
13.定义在上的函数满足，则．
（二）选做题（14—15题，考生只能从中选做一题）
14.（几何证明选讲选做题）如图，是圆的切线，为切点，是圆的割线，且，则．
15.（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，已知曲线的方程是，过点作曲线的切线，则切线长等于.
三，解答题：本大题6小题，满分80分，解答须写文字说明、证明过程和演算步骤。
16(本题满分12分)
已知，函数.
（1）求函数的最小正周期和单调减区间；
（2）在中，已知为锐角，,,求边的长.
17．(本题满分12分)
某校从参加高一年级期中考试的学生中随机抽取名学生，将其数学成绩（均为整数）分成六段，…后得到如下部分频率分布直方图.观察图形的信息，回答下列问题：
(1)求分数在内的频率，并补全这个频率分布直方图；
（2）统计方法中，同一组数据常用该组区间的中点值作为代表，据此估计本次考试的平均分；
（3）用分层抽样的方法在分数段为的学生中抽取一个容量为的样本，将该样本看成一个总体，从中任取人，求至多有人在分数段的概率.
18.（本小题满分14分）
已知几何体的三视图如图所示，其中俯视图和侧视图都是腰长为4的等腰直角三角形，正视图为直角梯形．
（1）求此几何体的体积；
（2）在上是否存在点Q，使得ED⊥平面ACQ，若存在，请说明理由并求出点Q的位置；若不存在，请说明理由．
19．（本题满分14分）
已知数列满足:
(1)求的值;(2)证明数列是等差数列;
(3)求数列的前n项和.
20．(本题满分14分)
已知是双曲线的两个焦点，若离心率等于的椭圆与双曲线的焦点相同.(1)求椭圆的方程；
(2)如果动点满足，曲线的方程为:.
判断直线与曲线的公共点的个数，并说明理由；当直线与曲线相交时，求直线截曲线所得弦长的最大值.
21．(本题满分14分)
已知函数，为非零常数.
（1）若，求证：函数在上是增函数；
（2）求函数在上的最小值及相应的值；
（3）若存在，使得成立，求实数的取值范围.
翠园中学2014届高三年级第三次模拟考试数学（文科）
参考答案及评分标准
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分.
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B A D B B A C B D D
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，满分20分．其中14～15题是选做题，考生只能选做一题，两题全答的，只计算前一题得分．请将答案填在答题卡相应位置.
11.18012．413．14．15.
三、解答题:本题共有6个小题，共80分．
16.解：(1)由题设知
……………2分
……………………3分
由解得………4分
所以的单调递减区间为
(2)
…………7分
……………8分
……………….9分
……………………10分
………………….12分
17.解析：（Ⅰ）分数在内的频率为：
，
故，
如图所示：-----------------------4分
（求频率2分，作图2分）
（Ⅱ）平均分为：
．--------7分
（Ⅲ）由题意，分数段的人数为：人；----8分
分数段的人数为：人；-------9分
∵在的学生中抽取一个容量为的样本，
∴分数段抽取2人，分别记为；分数段抽取4人，分别记为；
设从样本中任取人，至多有1人在分数段为事件，则基本事件空间包含的基本事件有：
、、、、、……、共15种，
则事件包含的基本事件有：
、、、、、、、、共9种，--11分
∴．-----------------12分
18.解：（1）由该几何体的三视图可知垂直于底面，且，，
∴．………………3分
，
此几何体的体积为．………………6分
（2）过作于，则点为所求点.………………7分
∵⊥平面，平面，
∴．………………8分
又∵，且，
∴平面．………………11分
过作于，由∽得：.……………13分
∴上存在点，当时，⊥平面.………………14分
19.解:(1)
(2)
所以数列是等差数列…………….8分
(3)由(2)知数列的公差
………………9分
n=1也适合,…………….10分
20.解：(1）∵、是双曲线的两个焦点
不妨设、
∵椭圆与双曲线的焦点相同.
∴设椭圆的方程为…………2分
∵根据已知得，….…………4分
解得
∴椭圆的方程为……………..6分
(2）直线与曲线有两个公共点.…………….7分
理由是:
∵动点满足,
∴是椭圆上的点，……………..8分
∴
∴，…………9分
∵曲线是圆心为，半径为的圆
圆心到直线的距离
……………..10分
∴直线与曲线有两个公共点.
设直线截曲线所得弦长，
在上递增…………12分
∴当,即时，最大为……………14分
解：（1）当时，，. ……2分
当时，，所以函数在上是增函数.……4分
（2）（），当，.
①若，在上恒成立，所以函数在上是增函数，此时. ……6分
②若，当时，，此时是减函数；当时，，此时是增函数，所以.……7分
③若，在上恒成立，所以函数在上是减函数，此时. ……8分
综上所述，当时，的最小值为，相应的值为；当时，的最小值为，相应的值为；当时，的最小值为，相应的值为.…9分
（3）不等式可化为.
因为，所以且等号不能同时取，所以，即，所以（）. ……11分
令（），又. ……12分
当时，，，，从而（当且仅当时取等号），所以在上为增函数，所以的最小值为，所以的取值范围是.……14分
5
图2
．
第17题图
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