Gothedistance
1
第八章解析几何
第一讲直线的倾斜角与斜率、直线方程
一．知识梳理
1．直线的倾斜角
（1）定义：x轴正向与直线向上方向之间所成的角．当直线与x轴平
行或重合时，规定它的倾斜角为0．
（2）倾斜角的范围：[0,180)（或[0,)?）．
2．直线的斜率
（1）定义：直线倾斜角?的正切值，即tank??．当倾斜角为90时，
直线的斜率不存在．
（2）经过两点的直线的斜率公式：
经过两点111222(,),(,)PxyPxy的直线的斜率为21
21
yykxx???
1212
12()
yyxxxx????．
3．直线方程
名称几何条件方程适用条件
点斜式过点00(,)xy，斜率为k00()yykxx???
不含垂直于x
轴的直线
斜截式斜率为k，纵截距为bykxb??
不含垂直于x
轴的直线
两点式
过两点1122(,),(,)xyxy
1212,xxyy??
11
2121
yyxxyyxx???
不包含垂直于
坐标轴的直线
截距式
在x轴，y轴上的截距
分别为,ab(,0)ab?1xyab??
不包含垂直于
坐标轴和过原
点的直线
一般式
0AxByC???
（,AB不全为0）
所有直线
4．线段的中点坐标公式
Gothedistance
2
若点111222(,),(,)PxyPxy，线段12PP的中点为(,)Mxy，则
12
12
2
2
xxx
yyy
???
??
???
???
．
二．要点整合
1．辨明四个易误点
（1）求直线方程时要注意判断直线斜率是否存在，每条直线都有倾斜
角，但不是每条直线都有斜率．
（2）根据斜率求倾斜角时，要注意倾斜角的范围．
（3）直线的截距式中易忽略截距均不为0这一条件，当截距为0时可
用点斜式．
（4）由一般式0AxByC???确定斜率k时，易忽略判断B是否为
0．当0B?时，k不存在；当0B?时，AkB??．
2．求直线方程的一般方法
（1）直接法：根据已知条件，选择适当的直线方程形式，直接写出方
程．选择时应注意各种形式的适用范围，必要时分类讨论．
（2）待定系数法：①设所求直线方程的某种形式；②由条件建立所求
参数的方程（组）；③解出参数；④把参数代入所设直线方程．
三．典例精析
1．直线的倾斜角与斜率
（1）求倾斜角范围的步骤
①求出斜率tank??的取值范围．
②利用三角函数的单调性，借助图象，确定倾斜角?的取值范围．求
倾斜角时要注意斜率是否存在．
（2）求斜率的方法
①定义法：已知直线的倾斜角?或?的某个三角函数值，由tank??
求斜率．
②公式法：已知直线上的两点1122(,),(,)xyxy，由公式21
21
yykxx???
（12xx?）求斜率．
【例题1】
（1）经过两点(4,21),(2,3)AyB??的直线的倾斜角为34?，则y?（）
.1A?.3B?.0C.2D
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3
（2）直线2cos30([,])63xy????????的倾斜角的变化范围是（）
.[,]63A??.[,]43B??.[,]42C??2.[,]43D??
【变式1】
（1）若直线l的倾斜角2[,)[,)643??????，则斜率k的取值范围是．
（2）若直线l与直线1,7yx??分别交于点,PQ，且线段PQ的中点坐标
为(1,1)?，则直线l的斜率为（）
1.3A1.3B?3.2C?2.3D
（3）（2012山东淄博）设点(2,3),(3,2)AB?，若直线20axy???与线
段AB有交点，则a的取值范围是（）
54.(,][,)23A?????45.(,)32B?
54.[,]23B?45.(,][,)32D?????
2．求直线的方程
与直线方程有关问题解题策略
（1）在求直线方程时，应选择适当的直线方程形式，并注意各形式的
适用条件．
（2）求参数值或范围，注意点在直线上，则点的坐标满足方程，再结
合函数的单调性或基本不等式求解．
【例题2】
（1）已知直线20xaya???（0a?，a是常数），当此直线在,xy轴上
的截距和最小时，a的值是（）
.1A.2B.2C.0D
（2）过点(1,3)A??，斜率是直线3yx?的斜率的14?的直线方程为．
（3）（2015江苏常州）过点(2,3)P?且在两坐标轴上的截距相等的直线l的
方程为．
【变式2】．
（1）在ABC的三个顶点为(3,0),(2,1),(2,3)ABC??，求：
（Ⅰ）BC所在直线的方程；
（Ⅱ）BC边上的中线AD所在直线的方程；
（Ⅲ）BC边的垂直平分线DE所在直线的方程．
Gothedistance
4
（2）过点(3,4)?，且在两坐标轴上的截距之和为12的直线方程
为．
（3）（2014北京海淀）已知点(1,0),(cos,sin)AB???，且||3AB?，
则直线AB的方程为（）
.33Ayx??或33yx???
33.Byx??或33yx???
.1Cyx??或1yx???
.22Dyx??或22yx???
（4）若直线过点3(3,)2P??且被圆2225xy??截得的弦长是8，则该直
线的方程为（）
.34150Axy???.3Bx??或32y??
.3C??.3Dx??或34150xy???
3．直线方程的综合问题
直线方程的应用问题常见类型及解法
（1）与函数相结合：解决这类问题，一般是利用直线方程中,xy的关
系，将问题转化为关于x的函数，借助函数性质来解决问题．
（2）与方程、不等式相结合：利用方程、不等式知识解决，尤其是利
用基本不等式求最值．
【例题3】
（1）直线l过点(2,1)P，分别交x轴正半轴和y轴正半轴于,AB两点，O
为坐标原点，当AOB面积最小时，直线l的方程为．
（2）（2014四川）设mR?，过定点A的动直线0xmy??和过定点B的
动直线30mxym????交于点(,)Pxy，则||||PAPB?的取值范围是
（）
.[5,25]A.[10,25]B.[10,45]C.[25,45]D
【变式3】
（1）直线l过点(1,4)P，分别交x轴正半轴和y轴正半轴于,AB两点，O
为坐标原点．
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5
（Ⅰ）当||||OAOB?最小时，求直线l的方程；
（Ⅱ）当||||PAPB最小时，求直线l的方程．
（2）已知直线22xy??分别与x轴，y轴相交于,AB两点，若动点
(,)Pab在线段AB上，则ab的最大值为．
（3）（2013贵州贵阳）已知点P在直线210xy???上，点Q在直线
230xy???上，PQ中点为00(,)Mxy，且002yx??，则0
0
yx的取值
范围是．
四．针对训练
.A组基础训练
1．（2015河北秦皇岛）直线310xy???的倾斜角为（）
.6A?.3B?2.3C?5.6D?
2．倾斜角为120，在x轴上的截距为1?的直线方程是（）
.310Axy???.330Bxy???
.330Cxy???.330Dxy???
3．已知函数()xfxa?（0a?且1a?），当0x?时，()1fx?，方程
1yaxa??表示的直线是（）
4．（2015湖南长沙）过点(1,3)作直线l，若经过点(,0)a和(0,)b，且
,abN??，则可作出的直线l的条数是（）
.1A.2B.3C.4D
5．直线20xyb???与两坐标轴所围成的三角形面积不大于1，那么b的
取值范围是（）
.[2,2]A?.(,2][2,)B?????
.[2,0)(0,2]C?.(,)D????
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6
6．（2014山东青岛）若直线过点(2,1)P，且在两坐标轴上的截距相等，这
样的直线的条数为（）
.1A.2B.3C.D以上都有可能
7．已知直线的倾斜角是60，在y轴上的截距是5，则该直线的方程
为．
8．（2015贵州贵阳）直线l经过点(1,2)A，在x轴上的截距的取值范围是
(3,3)?，则其斜率的取值范围是．
9．已知直线2212:224,:224laxyalxaya??????，当02a??时，
直线12,ll与两坐标轴围成一个四边形，当四边形面积最小时，a?．
10．（2015江苏苏州）经过(0,1)P?作直线l，若直线l与连接
(1,2),(2,1)AB?的线段总有公共点，则直线l的斜率和倾斜角的取值范围
分别是，．
11．已知直线l与两坐标轴围成的三角形面积为3，分别求满足下列条件的
直线l的方程．
（Ⅰ）过定点(3,4)A?；
（Ⅱ）斜率为16．
12．如图所示，已知直线l过定点(0,1)P，且与直线1:3100lxy???和
2:280lxy???分别交于点,AB．若线段AB被点P平分，求直线l的
方程．
.B组能力提升
1．（2015福建泉州）若点(,)mn在直线43100xy???上，则22mn?的
最小值是（）
.2A.22B.4C.23D
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2．（2010辽宁）已知点P在曲线41
xye??
上，?为曲线在点P处切线的
倾斜角，则?的取值范围是（）
.[0,)4A?.[,)42B??3.(,]24C??3.[,)4D??
3．（2013课标Ⅱ）已知点(1,0),(1,0),(0,1)ABC?，直线(0)yaxba???
将ABC分割成面积相等的两部分，则b的取值范围是（）
.(0,1)A21.(1,)22B?21.(1,)23C?11.[,)32D
4．已知曲线35yxx???，则曲线上各点处切线的倾斜角的取值范围
是．
5．（2014安徽安庆）已知点(2,1),(1,3)AB，直线10(,0)axbyab????
与线段AB相交，则22(1)ab??的最小值是．
6．如图，射线,OAOB分别与x轴正半轴成45和30角，过点(1,0)P作
直线AB分别交,OAOB于,AB两点，当AB的中点C恰好落在直线
12yx?上时，求直线AB的方程．
第二讲两直线的位置关系
一．知识梳理
1．两直线的位置关系
位置
关系
斜截式111
222
::lykxblykxb??????
?
一般式1111
2222
:0lAxByClAxByC????????
?
平行
12kk?且12bb?
或12,kk都不存在
111
222
ABC??
重合12kk?且12bb?111
222
ABCABC??
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8
相交12kk?11
22
AB?
垂直121kk??
或12,kk中一个为
0，另一个不存在
12120AABB??
2．两直线的交点
3．距离公式
（1）两点间的距离公式
平面上任意两点111222(,),(,)PxyPxy间的距离为12||PP?
222121()()xxyy???．
（2）点到直线的距离公式
平面上任意一点000(,)Pxy到直线:0lAxByC???（,AB不同时为
0）的距离为00
22
||AxByCdAB????．
（3）两平行线间的距离公式
两条平行直线11112222:0,:0lAxByClAxByC??????（,AB不
同时为0，且12CC?）间的距离12
22
||CCdAB???．
二．要点整合
1．辨明三个易误点
（1）在判断两条直线的位置关系时，首先应分析直线的斜率是否存在．
（2）求点到直线的距离时，若给出的不是一般式，则应化为一般式．
（3）在运用两平行线之间的距离公式12
22
||CCdAB???时，一定要注意
将两方程中,xy的系数化为相同形式．
2．与已知直线平行及垂直的直线系设法
与直线220(0)AxByCAB?????平行及垂直的直线方程可设为：
（1）平行：0AxByn???（nC?）．
（2）垂直：0BxAym???．
三．典例精析
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9
1．两直线平行与垂直
判断两直线平行与垂直注意区分斜截式与一般式两种情况．
【例题1】
（1）“2a?”是“直线2()0aaxy???和直线210xy???互相平行”
的（）
.A充要条件.B必要不充分条件
.C充分不必要条件.D既不充分也不必要条件
（2）（2015河北保定）与直线440xy???垂直，且与抛物线22yx?相
切的直线方程为．
【变式1】
（1）已知直线1:260laxy???和22:(1)10lxaya?????．
（Ⅰ）试判断1l与2l是否平行；
（Ⅱ）当12ll?时，求a的值．
2．两直线的交点
（1）两直线的交点求法
求两直线的交点坐标就是解由两直线方程组成的方程组，以方程组的
解为坐标的点即使交点．
（2）常见的三大直线系方程
①与直线0AxByC???平行的直线系方程是0AxBym???
()mC?．
②与直线0AxByC???垂直的直线系方程是0BxAym???．
③过直线1111:0lAxByC???和2222:0lAxByC???的交点的直
线系方程为111222()0AxByCAxByC???????，但不包括直线2l．
【例题2】
（1）已知直线l经过两直线1:240lxy???和2:20lxy???的交点P，
且与直线3:3450lxy???垂直，则直线l的方程为．
【变式2】
（1）已知直线1:2380lxy???，2:10lxy???，
31:02lxkyk????
，
分别求满足下列条件的k的值．
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10
（Ⅰ）123,,lll相交于一点；
（Ⅱ）123,,lll围成三角形．
3．距离公式
（1）点到直线的距离
直接利用点到直线的距离公式，但要注意此时直线方程必须是一般式．
（2）两平行线间的距离
①直接利用两平行线间的距离公式求解．
②利用“划归思想”将两平行线间的距离转化为一条直线上的任意一
点到另一条直线的距离．
【例题3】
（1）已知点(4,)Pa到直线4310xy???的距离不大于3，则a的取值范
围是．
（2）若两平行直线3210,60xyxayc??????之间的距离是21313，
则c的值是．
【变式3】
（1）平行于直线3420xy???，且与它的距离是1的直线方程为．
（2）已知两平行直线1:80lmxyn???与2:210lxmy???间的距离是
5，则1l的方程为．
（3）已知(4,3),(2,1)AB??和直线:4320lxy???，在坐标平面内求一
点P，使||||PAPB?，且点P到直线l的距离为2．
4．对称问题
（1）关于中心对称的处理方法
①点关于点对称：若点11(,)Mxy及(,)Nxy关于(,)Pab对称，则由
Gothedistance
11
中点坐标公式得1
1
22xaxyby??????
?
．
②直线关于点对称：在已知直线上取两点，利用中点坐标公式求出它
们关于已知点的对称点坐标，再由两点式求出直线方程；或者求出一个对
称点，再利用两直线平行，由点斜式得到直线方程．
（2）关于轴对称的处理方法
①点关于直线对称：若两点111(,)Pxy与222(,)Pxy关于直线
:0lAxByC???对称，则线段12PP中点在l上，且连接12PP的直线垂直
于l，即
1212
12
12
()()C022
()1
xxyyAB
yyA
xxB
??????
??
??
?????
??
，解方程组可得．
②直线关于直线对称：此类问题一般转化为点关于直线对称解决，有
两种情况：一是已知直线与对称轴相交；二是已知直线与对称轴平行．
【例题4】
（1）已知直线:2310lxy???，点(1,2)A??，求：
（Ⅰ）点A关于直线l对称点''A的坐标；
（Ⅱ）直线:3260mxy???关于直线l的对称直线''m的方程．
（Ⅲ）直线l关于点(1,2)A??对称的直线''l的方程．
【变式4】
（1）直线230xy???与直线40axyb???关于点(1,0)A对称，则
b?．
（2）（2013湖南）在等腰直角三角形ABC中，4ABAC??，点P是
边AB上异于,AB的一点．光线从点P出发，经,BCCA反射后又回到点
P（如图）．若光线经过ABC的重心，则AP?（）
.2A.1B8.3C4.3D
四．针对训练
.A组基础训练
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12
1．若直线1:260laxy???与22:(1)10lxaya?????垂直，则实数
a?（）
2.3A.1B?.2C.1D?或2
2．直线1l的斜率为2，12ll∥，直线2l过点(1,1)?且与y轴交于点P，则P
点的坐标为（）
.(3,0)A.(3,0)B?.(0,3)C?.(0,3)D
3．（2015广东广州）直线210xy???关于直线1x?对称的直线方程是
（）
.210Axy???.210Bxy???
.230Cxy???.230Dxy???
4．已知过点(2,)Am?和点(,4)Bm的直线为1l，直线210xy???为2l，
直线10xny???为3l．若1223,llll?∥，则mn??（）
.10A?.2B?.0C.8D
5．若向量(2,1)ak??与(,1)bb??共线，则直线ykxb??必过定点（）
.(1,2)A?.(1,2)B.(1,2)B?.(1,2)D??
6．（2013贵州贵阳）分别过点(1,3),(2,4)AB的直线1l和2l互相平行且有
最大距离，则1l的方程为（）
.40Axy???.40Bxy???.1Cx?.3Dy?
7．（2015云南玉溪）已知,AB两点分别在两条互相垂直的直线20xy??
和0xay??上，且线段AB中点为10(0,)Pa，则线段AB的长为．
8．已知直线1l与2:10lxy???平行，且1l与2l的距离是2，则1l的方
程是．
9．设直线l过点(1,1)A?，则当点(2,1)B?与直线l的距离最远时，直线l
的方程是．
10．设,,abc分别是ABC的内角,,ABC所对的边，则直线
sin0xAayc???与sinsin0bxyBC???的位置关系是．
11．已知两直线1:40laxby???和2:(1)0laxyb????，求满足下列
条件的,ab的值．
（Ⅰ）12ll?，且直线1l过点(3,1)??；
Gothedistance
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（Ⅱ）12ll∥，且坐标原点到这两条直线的距离相等．
12．已知直线:330lxy???，求：
（Ⅰ）点(4,5)P关于直线l的对称点；
（Ⅱ）直线20xy???关于直线l的对称的直线方程．
.B组能力提升
1．（2015湖北八市）已知3{(,)|3}2yMxyx????，{(,)|Nxy?
20}axya???，且MN??，则a?（）
.6A?或2?.6B?.2C或6?.2D?
2．（2015河南洛阳）已知点00(,)Pxy是直线:0lAxByC???外一点，
则方程00()0AxByCAxByC??????表示（）
.A过点P且与l垂直的直线.B过点P且与l平行的直线
.C不过点P且与l垂直的直线.D不过点P且与l平行的直线
3．若动点,AB分别在直线1:70lxy???和2:50lxy???上移动，则
AB中点M到原点的距离的最小值为（）
.32A.22B.33C.42D
4．（2014四川）设mR?，过定点A的动直线0xmy??和过定点B的动
直线30mxym????交于点(,)Pxy，则||||PAPB的最大值是．
5．（2014江苏苏北）在平面直角坐标系中，若动点(,)Pab到两直线1:lyx?
和2:2lyx???的距离之和为22，则22ab?的最大值是．
6．已知直线21:10lxay???和直线22:(1)30laby????(,)abR?．
（Ⅰ）若12ll∥，求b的取值范围；
（Ⅱ）若12ll?，求||ab的最小值．
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14
第3讲圆的方程
一．知识梳理
1．圆的定义及方程
定义平面内与定点的距离等于定长的点的集合（轨迹）
标准方程222()()(0)xaybrr?????圆心：(,)ab，半径：r
一般方程
220xyDxEyF?????
22(40)DEF???
圆心：(,)22DE??，
半径：22142DEF??
2．点与圆的位置关系
点00(,)Mxy与圆222()()xaybr????的位置关系：
（1）若点00(,)Mxy在圆外，则22200()()xaybr????．
（2）若点00(,)Mxy在圆上，则22200()()xaybr????．
（3）若点00(,)Mxy在圆内，则22200()()xaybr????．
二．要点整合
1．辨明两个易误点
（1）解答圆的问题，应注意数形结合，充分运用圆的几何性质，简化
运算．
（2）对于方程220xyDxEyF?????表示圆时易忽视22DE?
4F?0?这一条件．
2．待定系数法求圆的方程
（1）若已知条件与圆心(,)ab和半径r有关，则设圆的标准方程，依
据条件列出关于,,abr的方程组，解出,,abr再带回原式即可．
（2）若已知条件没有明确的圆心和半径，则设圆的一般方程，依据条
件列出关于,,DEF的方程，解出,,DEF再带回原式即可．
三．典例精析
1．求圆的方程
求圆的方程的两种方法
（1）几何法：具体过程中用到有关圆的性质和定理，如：①圆心在过
切点且与切线垂直的直线上，②圆心在任意弦的中垂线上，③两圆相切时，
切点与两圆心三点共线．
Gothedistance
15
（2）代数法：根据条件设出圆的方程，再由题目给出条件，列出等式，
求出相关量．一般地，与圆心和半径相关，选择标准式，否则选择一般式．不
论哪种形式都要确定三个独立参数，故需要三个方程．
【例题1】
（1）根据条件，求圆的方程：
①经过(2,4),(3,1)PQ??两点，并且在x轴上截得的弦长等于6．
②圆心在直线4yx??上，且与直线:10lxy???相切于点(3,2)P?．
（2）在平面直角坐标系xOy中，曲线261yxx???与坐标轴的交点都在
圆C上，则圆C的方程是．
【变式1】
（1）（2014山东济南）若圆C的半径为1，圆心在第一象限，且与直线
430xy??和x轴都相切，则圆的标准方程为（）
22.(2)(1)1Axy????22.(2)(1)1Bxy????
22.(2)(1)1Cxy????22.(3)(1)1Dxy????
（2）已知圆心为C的圆经过点(0,6),(1,5)AB??，且圆心在直线
:10lxy???上，则圆的标准方程是．
（3）已知圆的半径为10，圆心在直线2yx?上，且圆被直线0xy??
截得的弦长为42，则圆的方程为．
（4）若不同的四点(5,0),(1,0),(3,3),(,3)ABCDa??共圆，则a的值
为．
2．与圆有关的最值问题
与圆有关的最值问题有以下几种类型
（1）与原有关的长度或距离的最值问题，转化为圆心到点、直线的距
离，再加或减半径．
（2）形如taxby??形式的最值：可转化为动直线的截距的最值问题．
（3）形如ybtxa???形式的最值：可转化为动直线的斜率的最值问题．
（4）形如22()()txayb????形式的最值：可转化为动点到定点的
距离的平方的最值问题．
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16
【例题2】
（1）已知实数,xy满足方程22410xyx????．
（Ⅰ）求yx?的最大值与最小值；
（Ⅱ）求yx的最大值与最小值；
（Ⅲ）求22xy?的最大值与最小值．
（2）已知两点(0,3),.(4,0)AB?，若点P是圆22:20Cxyy???上的动
点，则ABP面积的最小值是（）
.6A11.2B.8C21.2D
【变式2】
（1）已知M为圆22:414450Cxyxy?????上的任意一点，且点
(2,3)Q?．
（Ⅰ）求||MQ的最大值与最小值；
（Ⅱ）求点M到直线70xy???的最大距离；
（Ⅲ）若(,)Mmn，求32nm??的最大值与最小值．
（2）（2013重庆）已知圆221:(2)(3)1Cxy????，圆22:(3)Cx??
2(4)y?9?，,MN分别是圆12,CC上的动点，P为x轴上的动点，则
||||PMPN?的最小值为（）
.524A?.171B?.622B?.17D
（3）（2014浙江金华）已知P是直线:34110lxy???上的动点，,PAPB
是圆222210xyxy?????的两条切线，C是圆心，那么四边形PACB
的面积的最小值是（）
.2A.22B.3C.23D
3．与圆有关的轨迹问题
Gothedistance
17
求与圆相关的轨迹方程的方法
（1）直接法：直接根据题设列出方程．
（2）定义法：根据直线，圆的定义列方程．
（3）几何法：利用圆的几何性质列方程．
（4）代入法：找到要求点与已知点的关系，代人已知点满足的方程，
化简得到轨迹方程．
【例题3】
（1）（2013山东烟台）方程2||11(1)xy????所表示的曲线是（）
.A一个半圆.B两个圆.C半个圆.D两个半圆
（2）已知圆224xy??上一定点(2,0),(1,1)AB为园内一点，,PQ为圆
上的动点．
（Ⅰ）求线段AP中点的轨迹方程；
（Ⅱ）若90PBQ??，求线段PQ的中点的轨迹方程．
【变式3】
（1）在RtABC中，(0,0),(6,0)AB，则直角顶点C的轨迹方程是．
（2）设定点(3,4)M?，动点N在圆224xy??上运动，以,OMON为
邻边作平行四边形MONP，则点P的轨迹方程是．
（3（2015河北唐山）已知点(3,0),(3,0)AB?，动点P满足||2||PAPB?．
（Ⅰ）若点P的轨迹为曲线C，求此曲线的方程；
（Ⅱ）若点Q在直线1:30lxy???上，直线2l经过点Q且与曲线C只有
一个公共点M，求||QM的最小值．
四．针对训练
.A组基础训练
1．经过点(1,0)，且圆心是两直线1x?与2xy??的交点的圆的方程为
（）
22.(1)1Axy???22.(1)(1)1Bxy????
Gothedistance
18
22.(1)1Cxy???22.(1)(1)2Dxy????
2．已知22:0CxyDxEyF?????，则“0FE??且0D?”是“C
与y轴相切于原点”的（）
.A充分不必要条件.B必要不充分条件
.C充要条件.D既不充分也不必要问题
3．圆22(2)5xy???关于直线yx?对称的圆的方程是（）
22.(2)5Axy???22.(2)5Bxy???
22.(2)(2)5Cxy????22.(2)5Dxy???
4．（2014广东东莞）已知圆22:40Cxymx????上存在两点关于直线
30xy???对称，则实数m的值为（）
.8A.4B?.6C.D无法确定
5．（2015浙江温州）已知点(,)Pxy是直线40(0)kxyk????上一动点，
,PAPB是圆22:20Cxyy???的两条切线，,AB为切点，若四边形
PACB的面积的最小值是2，则k的值是（）
.4A.3B.2C.2D
6．若曲线222:24540Cxyaxaya??????上的所有点均在第二象限
内，则a的取值范围是（）
.(,2)A??.(,1)B???.(1,)C??.(2,)D??
7．若直线l将圆22:(2)(3)13Cxy????平分，那么坐标原点O到直线l
的最大距离是．
8．已知,AB是圆22:16Oxy??上的两点，且||6AB?，若以AB的长
为直径的圆M恰好过点(1,1)C?，则圆心M的轨迹方程是．
9．（2015山西太原）已知点P是直线3480xy???上的动点，点C是圆
222210xyxy?????的圆心，那么||PC的最小值是．
10．当方程22220xykxyk?????所表示的圆的面积取最大值时，直
线(1)2ykx???的倾斜角??．
11．已知以点P为圆心的圆经过点(1,0),(3,4)AB?，线段AB的垂直平分
线交圆P于点,CD，且||410CD?．
（Ⅰ）求直线CD的方程；
Gothedistance
19
（Ⅱ）求圆P的方程．
12．（2013课标Ⅱ）在平面直角坐标系xOy中，已知圆P在x轴上截得到
线段长为22，在y轴上截得的线段长为23．
（Ⅰ）求圆心P的轨迹方程；
（Ⅱ）若P点到直线yx?的距离为22，求圆P的方程．
.B组能力提升
1．（2015山东烟台）已知抛物线22(0)ypxp??上一点(1,)(0)Mmm?
到其焦点F的距离为5，则以M为圆心且与y轴相切的圆的方程为（）
22.(1)(4)1Axy????22.(1)(4)1Bxy????
22.(1)(4)16Cxy????22.(1)(4)16Dxy????
2．（2011江西）若曲线221:20Cxyx???与曲线2:()0Cyymxm???
有四个不同的交点，则实数m的取值范围是（）
33.(,)33A?33.(,0)(0,)B?
33.[,]33C?33.(,)(,)D????
3．（2012重庆）设平面点集1{(,)|()()0}Axyyxyx????，{(,)|Bxy?
22(1)(1)1}xy????，则AB所表示的图形面积是（）
3.4A?3.5B?4.7B?.2D?
4．已知平面区域00
240
x
y
xy
???
???
????
恰好被面积最小的圆2:()Cxa??
22()ybr??及其内部所覆盖，则圆C的方程为．
5．已知直线21axby??（,ab是实数）与圆22:1Oxy??（O为原点）
Gothedistance
20
相交于,AB两点，且AOB是直角三角形，点(,)Pab是以点(0,1)M为
圆心的圆M上的任意一点，则圆M的面积的最小值是．
6．已知圆C经过点(4,2),(1,3)PQ??，且在y轴上截得的线段长为43，
半径小于5．
（Ⅰ）求直线PQ与圆C的方程；
（Ⅱ）若直线lPQ∥，且l与圆C相交于,AB两点，且以线段AB为直径
的圆过原点，求直线l的方程．
第4讲直线与圆、圆与圆的位置关系
一．知识梳理
1．直线与圆的位置关系
设直线22:0(0)lAxByCAB?????，圆22:()()Cxayb???
2(0)rr??，d为圆心(,)Cab到直线的距离，联立方程，消元后得到一
元二次方程的判别式为?．
位置关系方法几何法代数法
相交dr?0??
相切dr?0??
相离dr?0??
2．圆和圆的位置关系
设圆2221111:()()Oxaybr????和2222222:()()Oxaybr????，圆
心距为d．
（1）外离：12drr??．
（2）外切：12drr??．
（3）相交：1212||rrdrr????．
（4）内切：1212||()drrrr???．
（5）内含：12120||()drrrr????．
二．要点整合
1．辨明两个易误点
Gothedistance
21
（1）对于圆的切线问题，尤其是圆外一点引圆的切线，易忽视切线斜
率k不存在的情形．
（2）两圆相切问题易忽视区分内切和外切两种情形．
2．圆的切线问题
（1）过圆222(0)xyrr???上一点00(,)Mxy的切线方程为
200xxyyr??．
（2）过圆22220(40)xyDxEyFDEF????????外一点
00(,)Mxy引切线，有两条，求方程的方法是待定系数法，切点为T的切
线长公式为22220000||||MTxyDxEyFMCr???????（其中C为
圆的圆心，r为其半径）．
3．求圆的弦长的常用方法
（1）几何法：设圆的半径r，弦心距为d，弦长为||AB，则
22||2ABrd??．
（2）代数法：运用韦达定理及弦长公式．设直线与圆的交点为
1122(,),(,)AxyBxy，则
212||1||ABkxx????21k?21212()4xxxx??．
二．典例精析
1．直线与圆的位置关系
判断直线与圆的位置关系常见方法
（1）几何法：利用d和r的关系，此法优先使用．
（2）代数法：联立方程后利用?判断．
（3）点与圆的位置关系法：若直线横过定点且定点在园内，可判断直
线与圆相交，此法适用于动直线问题．
【例题1】
（1）（2013陕西）已知点(,)Mab在圆22:1Oxy??外，则直线1axby??
与圆O的位置关系是（）
.A相切.B相交.C相离.D不确定
（2）（2010湖北）直线yxb??与曲线234yxx???有公共点，则b
的取值范围是（）
.[122,122]A??.[12,3]B?
.[1,122]C??.[122,3]D?
Gothedistance
22
（3）（2013湖北）已知圆22:5Oxy??，直线:cossin1lxy????
(0)2????，设圆O上到直线l的距离等于1的点的个数为k，则
k?．
【变式1】
（1）（2012重庆）对任意实数k，直线1ykx??与圆222xy??的位置
关系一定是（）
.A相离.B相切.C相交但不过圆心.D相交且过圆心
（2）（2015山东聊城）圆22(3)(3)9xy????上到直线34110xy???
的距离等于1的点的个数是（）
.1A.2B.3C.4D
（3）（2014河南郑州）直线33yxm???与圆221xy??在第一象限内
有两个不同的交点，则m的取值范围是（）
.(3,2)A?.(3,3)B323.(,)33C23.(1,)3D
（4）（2012天津）设,mnR?，若直线(1)(1)20mxny?????与圆
22(1)(1)1xy????相切，则mn?的取值范围是（）
.[13,13]A??.(,13][13,)B??????
.[222,222]C??.(,222][222,)D??????
2．圆与圆的位置关系
（1）判断两圆位置关系，用两圆圆心距与两圆半径之和与之差的关系．
（2）当两圆相交时，求公共弦所在直线方程或公共弦长，只要把两圆
方程相减消去二次项得到的直线方程，再根据其中一圆与这条直线可求出
公共弦长．
（1）已知圆2221:2450Cxymxym??????，圆222:Cxy??
22230xmym????，m为何值时：
（Ⅰ）圆1C与2C外切；
（Ⅱ）圆1C与2C内含；
（Ⅲ）求两圆公共弦的方程．
Gothedistance
23
（2）（2014云南昆明）已知圆228xy??与圆2266100xyxy?????关
于直线l对称，则直线l的方程是．
【变式2】
（1）圆221:20Oxyx???与圆222:40Oxyy???的位置关系是（）
.A相离.B相交.C外切.D内切
（2）设两圆12,CC都和两坐标轴相切，且都过点(4,1)，则两圆心的距离
12||CC?（）
.4A.42B.8C.82D
（3）（2015河南郑州）若圆221:5Oxy??与圆222:()20Oxmy???
()mR?相交于点,AB，且两圆在点A出的切线互相垂直，则线段AB的
长度为．
3．圆的切线与切线长
（1）求过一点的圆的切线方程，首先判断此点是否在圆上．若在圆上，
该点为切点，切线只有一条；若在圆外，切线有两条，设切线的点斜式方
程，用待定系数法求解，注意斜率不存在情况．
（2）求与圆的弦长有关问题，优先利用垂径定理22||2ABrd??，
垂径定理失效时，利用弦长公式||AB?21k?21212()4xxxx??．
【例题3】
（1）（2014福建）直线:1lykx??与圆22:1Oxy??相交于,AB两点，
则“1k?”是“AOB面积为12”的（）
.A充分而不必要条件.B必要而不充分条件
.C充要条件.D既不充分也不必要条件
（2）直线3ykx??与圆22(2)(3)4xy????相交于,MN两点，若
||23MN?，则k的取值范围是（）
3.[,0]4A?33.[,]33B?.[3,3]B?2.[,0]3D?
（3）已知点(21,22)P??，点(3,1)M，圆22(1)(2)4xy????．
（Ⅰ）求过点P的圆C的切线方程；
（Ⅱ）求过点M的圆C的切线方程，并求切线长．
Gothedistance
24
【变式3】
（1）（2014浙江）已知圆22220xyxya?????截直线20xy???所
得的弦长为4，则实数a的值是（）
.2A?.4B?.6C?.8D?
（2）（2013山东）过点(3,1)作圆22(1)1xy???的两条切线，切点分别
为,AB，则直线AB的方程为（）
.230Axy???.230Bxy???
.430Cxy???.430Dxy???
（3）（2013江西）过点(2,0)的引直线l与曲线21yx??相交于,AB两
点，O为原点，当AOB面积最大时，直线l的斜率等于（）
3.3A3.3B?3.3B?.3D?
（4）（2015山东济南）已知圆C过点(1,0)，且圆心在x轴正半轴上，直
线:1lyx??被圆C截得的弦长为22，则过圆心且与直线l垂直的直线
方程是．
（5）（2015山西太原）在ABC中，,,abc分别是内角,,ABC所对的边，
若2cos()sin()cos()22cCaAbB????????，则圆22:4Mxy??被
直线:0laxbyc???截得的弦长为．
四．针对训练
.A组基础训练
1．在直角坐标系中，以原点O为圆心的圆与直线340xy???相切，
则圆O的方程为（）
22.4Axy??22.3Bxy??22.2Cxy??22.1Dxy??
2．若2222(0)abcc???，则直线0axbyc???被圆221xy??所截得
的弦长为（）
1.2A.1B2.2C.2D
3．（2014湖南）若圆221:1Cxy??与圆222:680Cxyxym?????外
Gothedistance
25
切，则m?（）
.21A.19B.9C.11D?
4．（2015湖南岳阳）若直线ykx?与圆22(2)1xy???的两个交点关于
直线20xyb???对称，则,kb的值分别是（）
1.,42A?1.,42B?1.,42C1.,42D??
5．过点(4,1)P作圆22(1)1xy???的两条切线，切点分别是,AB，则直
线AB的方程是（）
.340Axy???.340Bxy???
.440Cxy???.440Dxy???
6．（2014黑龙江佳木斯）圆心在曲线2(0)yxx??上，且与直线
210xy???相切的面积最小的圆的方程是（）
22.(1)(2)5Axy????22.(2)(1)5Bxy????
22.(1)(2)25Cxy????22.(2)(1)25Dxy????
7．已知圆22:5Oxy??和点(1,2)A，则过A且与圆O相切的直线与两
坐标轴围成的三角形面积等于．
8．（2015辽宁阜新）过点(1,2)的直线l将圆22(2)4xy???分成两段
弧，当劣弧所对的圆心角最小时，直线l的斜率k?．
9．（2015山东济南）设O为坐标原点，C为圆22(2)3xy???的圆心，
且圆上有一点(,)Mxy满足0OMON?，则yx?．
10．（2014福建福州）已知直线:3(1)lyx???与圆221xy??在第一
象限内交于点M，且l与y轴交于点A，则MOA的面积为．
11．已知圆22:8120Cxyy????，直线:20laxya???．
（Ⅰ）当a为何值时，直线l与圆C相切；
（Ⅱ）当直线l与圆C相交于,AB两点，且||22AB?时，求直线l的方
程．
12．已知圆22222240(04)xyaxayaaa????????的圆心为C，直
线:lyxm??．
Gothedistance
26
（Ⅰ）若4m?，求直线l被圆C所截得弦长的最大值；
（Ⅱ）若直线l是圆心C下方的切线，当a在(0,4]上变化时，求m的取值
范围．
.B组能力提升
1．（2014江西）在平面直角坐标系中，,AB分别是x轴和y轴上的动点，
若以AB为直径的圆C与直线240xy???相切，则圆C面积的最小值为
（）
4.5A?3.4B?.(625)C??5.4D?
2．圆心在直线40xy???上，且经过两圆22640xyx????和
226280xyy????的交点的圆的方程是（）
22.7320Axyxy?????22.7160Bxyxy?????
22.4490Cxyxy?????22.4480Dxyxy?????
3．（2010课标Ⅰ）已知圆O的半径为1，,PAPB为圆的两条切线，,AB为
切点，那么PAPB的最小值为（）
.42A??.32B??.422C??.322D??
4．（2015江苏南通）在平面直角坐标系中，圆C的方程为2240xyx???，
若直线(1)ykx??上存在一点P，使过点P所作的圆的两条切线互相垂
直，则实数k的取值范围是．
5．（2014湖南）在平面直角坐标系中，O为原点，(1,0),(0,3),(3,0)ABC?，
动点D满足||1CD?，则||OAOBOD??的最大值是．
6．（2015广东揭阳）已知曲线C的方程为：222240axayaxy????
（0,aa?为常数）．
（Ⅰ）判断曲线C的形状；
（Ⅱ）设曲线C分别与x轴，y轴交于点,AB（,AB不同于原点O）试
判断AOB的面积S是否为定值？并证明你的判断；
（Ⅲ）设直线:24lyx???与曲线C交于不同的两点,MN，且
Gothedistance
27
||||OMON?，求曲线C的方程．
第5讲椭圆
一．知识梳理
1．椭圆的概念
在平面内与两定点12,FF的距离的和等于常数（大于12||FF）的点的
轨迹叫椭圆．这两个定点叫椭圆的焦点，两焦点间的距离叫椭圆的焦距．
集合1212{|||||2},||2PMMFMFaFFc????，其中0,0ac??，
且,ac为常数．
（1）若ac?，则集合P为椭圆；
（2）若ac?，则集合P为线段；
（3）若ac?，则集合P为空集．
2．椭圆的标准方程和集合性质
标准方程221xy
ab??（0ab??）221yxab??（0ab??）
图形
几何
性质
范围axa???，byb???bxb???，aya???
对称性对称轴：,xy轴；对称中心：(0,0)
顶点
12(,0),(,0)AaAa?
12(0,),(0,)BbBb?
12(0,),(0,)AaAa?
12(,0),(,0)BbBb?
轴
长轴12AA的长为2a
短轴12BB的长为2b
焦距12||2FFc?
离心率(0,1)cea??
,,abc的222cab??
Gothedistance
28
关系
二．要点整合
1．辨明两个易误点
（1）椭圆定义中易忽视122||aFF?这一条件，当122||aFF?时，其
轨迹为线段12FF，当122||aFF?时，其轨迹不存在．
（2）求椭圆标准方程时易忽视判断焦点的位置，而直接设方程为
221xyab??．
2．求椭圆标准方程的两种方法
（1）定义法：根据椭圆的定义，确定22,ab的值，结合焦点的位置写
出椭圆方程．
（2）待定系数法：若焦点位置明确，则可设出椭圆的标准方程，结合
已知条件求出,ab；若焦点位置不明确，则需要分焦点在x轴上和y轴上
两种情况讨论，也可以设椭圆的方程为221(0,0,)AxByABAB?????．
三．典例精析
1．椭圆的定义及标准方程
用待定系数法求椭圆标准方程的步骤
（1）作判断：根据条件判断椭圆焦点的位置，是在x轴，还是y轴，
还是都有可能．
（2）设方程：根据上述判断设出方程．
（3）找关系：根据已知条件，建立关于,,abc的方程组．
（4）得方程：解方程组，将解代人所设方程，即为所求．
【例题1】
（1）（2015河南洛阳）已知中心在原点的椭圆C的右焦点为(15,0)F，
直线yx?与椭圆的一个交点的横坐标为2，则椭圆的方程为（）
22.116xAy??22.116yBx??
22.1205xyC??22.1520xyD??
（2）（2014大纲全国）已知椭圆22:1(0)xyCabab????的左、右焦点
Gothedistance
29
为12,FF，离心率为33，过2F的直线l交C于,AB两点．若1AFB的周
长为43，则C的方程为（）
22.132xyA??22.13xBy??
22.1128xyC??22.1124xyD??
【变式1】
（1）已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点1(6,1)P，
2(3,2)P??，则椭圆的方程为．
（2）已知12,FF是椭圆22:1(0)xyCabab????的两个焦点，P为椭圆
C上的一点，且12PFPF?．若12PFF的面积为9，则b?．
2．椭圆的几何性质
（1）求椭圆离心率问题的一般思路：求椭圆离心率或范围时，一般根
据题设得出一个关于,,abc的等式（或不等式），利用222cab??消去b，
即可求得离心率的值或范围．
（2）利用椭圆几何性质的技巧：求解椭圆几何性质有关问题时，要结
合图形进行分析，当涉及顶点、焦点、长轴、短轴等椭圆基本量时，要理
清它们的内在联系．
【例题2】
（1）已知椭圆221(0)xyabab????的一个焦点是圆22xy?680x???
的圆心，且短轴长为8，则椭圆的左顶点为（）
.(3,0)A?(4,0)B?(10,0)C?.(5,0)D?
（2）椭圆22194xyk???的离心率为45，则k的值为（）
.21A?.21B19.25C?或2119.25D或21
（3）（2014江西）设椭圆22:1(0)xyCabab????的左右焦点分别为
12,FF，过2F作x轴的垂线与C相交于,AB两点，1FB与y轴相交于点D，
Gothedistance
30
若1ADFB?，则椭圆C的离心率等于．
（4）设12,FF分别是椭圆2212516xy??的左右焦点，P为椭圆上任一点，
点M的坐标为(6,4)，则1||||PMPF?的最大值为．
【变式2】
（1）已知椭圆的长轴长是8，离心率是34，则此椭圆的标准方程是（）
22.1167xyA??22.1167xyB??或221716xy??
22.11625xyC??22.11625xyD??或2212516xy??
（2）设e是椭圆2214xyk??的离心率，且1(,1)2e?，则实数k的取值范
围是（）
.(0,3)A16.(3,)3B16.(0,3)(3,)3C.(0,2)D
（3）已知椭圆短轴上的两个顶点分别为12,BB，焦点为12,FF，若四边形
1122BFBF为正方形，则这个椭圆的离心率e等于（）
2.2A1.2B3.2C3.3D
（4）（2015安徽合肥）如图，焦点在x轴上的椭圆22
214xyb??
的离心率
12e?，,FA分别是椭圆的一个焦点和顶点，P是椭圆上任意一点，则
PFPA的最大值为．
（5）（2014辽宁）已知椭圆22:194xyC??，点M与C的焦点不重合．若
M关于C的焦点的对称点分别为,AB，线段MN的中点在C上，则
||||ANBN??．
3．直线与椭圆的位置关系
Gothedistance
31
（1）直线与椭圆位置关系判断步骤：
①联立直线与椭圆方程；
②消元得出关于x（或y）的一元二次方程；
③当0??时，直线与椭圆相交；当0??时，直线与椭圆相切；当
0??时，直线与椭圆相离．
（2）直线被椭圆截得的弦长公式：
设斜率为k直线与椭圆的交点为1122(,),(,)AxyBxy，则
2221212121221||1()41()4ABkxxxxyyyyk????????．
【例题3】
（1）（2014北京）已知椭圆22:24Cxy??．
（Ⅰ）求椭圆C的离心率；
（Ⅱ）设O为原点，若点A在椭圆C上，点B在直线2y?上，且OAOB?，
试判断直线AB与圆222xy??的位置关系，并证明你的结论．
（2）（2014陕西）已知椭圆221(0)xyabab????经过点(0,3)，离心
率为12，左右焦点分别为12(,0),(,0)FcFc?．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）若直线1:2lyxm???与椭圆交于,AB两点，与以12FF为直径的
圆交于,CD两点，且满足||53
||4ABCD?
，求直线l的方程．
【变式3】
（1）如图，点12(,0),(,0)FcFc?分别是椭圆221(0)xyabab????的左
右焦点，过点1F作x的垂线交椭圆C的上半部分于点P，过点2F作直线
Gothedistance
32
2PF的垂线交直线2axc?于点Q．
（Ⅰ）如果点Q的坐标是(4,4)，求此时椭圆C的方程；
（Ⅱ）证明：直线PQ与椭圆C只有一个交点．
（2）（2013天津）设椭圆221(0)xyabab????的左焦点为F，离心率
为33，过点F且与x轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为433．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设,AB分别为椭圆的左右顶点，过点F且与斜率为k的直线与椭圆
交于,CD两点．若8ACDBADCB??，求k的值．
四．针对训练
.A组基础训练
1．已知方程221221xykk????表示焦点在y轴上的椭圆，则实数k的取值
范围是（）
1.(,2)2A.(1,)B??.(1,2)C1.(,1)2D
2．矩形ABCD中，||4,||3ABBC??，则以,AB为焦点，且过,CD的
椭圆的短轴的长为（）
.23A.26B.42C.43D
3．（2015山东烟台）一个椭圆中心在原点，焦点12,FF在x轴上，(2,3)P
是椭圆上一点，且1122||,||,||PFFFPF成等差数列，则椭圆方程为（）
22.186xyA??221166xy??22184xy??221164xy??
Gothedistance
33
4．（2015河南豫西）已知椭圆22
21(02)4xybb????
的左右焦点分别为
12,FF，过1F的直线l交椭圆于,AB两点，若22||||BFAF?的最大值为5，
则b的值是（）
.1A.2B3.2C.3D
5．（2015内蒙古包头）椭圆221369xy??上有两个动点,,(3,0)PQE，
EPEQ?，则EPQP的最小值为（）
.6A.33B?.9C.1263D?
6．（2014山东潍坊）已知椭圆22:1(0)xyEabab????的左右焦点分别
为12,FF，P为直线32ax?上一点，21FPF的底角为30的等腰三角形，
则E的离心率是（）
1.2A2.3B3.4C4.5D
7．椭圆对称轴在坐标轴上，短轴的一个端点与两个焦点构成一个正三角形，
焦点到椭圆上的点的最短距离是3，则这个椭圆方程为．
8．（2015福建福州）若一个椭圆长轴的长度，短轴的长度和焦距依次成等
差数列，则该椭圆的离心率是．
9．（2015湖北宜昌）过椭圆22154xy??的右焦点作一条斜率为2的直线与
椭圆交于,AB两点，O为坐标原点，则OAB的面积为．
10．（2015贵州贵阳）已知12,FF是椭圆22110064xy??的两个焦点，P是椭
圆上一点，且12PFPF?，则12FPF的面积为．
11．（2014课标Ⅱ）设12,FF分别是椭圆22:1(0)xyCabab????的左右
焦点，M是C上一点且2MF与x轴垂直，直线1MF与C的另一个交点为
N．
（Ⅰ）若直线MN的斜率为34，求C的离心率；
（Ⅱ）若直线MN在y轴上的截距为2，且1||5||MNFN?，求,ab．
Gothedistance
34
12．已知椭圆22:1(0)xyGabab????的离心率为63，右焦点为
(22,0)．斜率为1的直线l与椭圆G交于,AB两点，以AB为底边作等
腰三角形，顶点为(3,2)P?．
（Ⅰ）求椭圆G的方程；
（Ⅱ）求PAB的面积．
.B组能力提升
1．（2015山西太原）已知圆锥曲线2244mxym??的离心率e为方程22x
520x???的根，则满足条件的圆锥曲线的个数为（）
.4A.3B.2C.1D
2．已知椭圆221(0)xyabab????的右焦点为1F，左焦点为2F，若椭圆
上存在一点P满足线段1PF相切于椭圆的短轴为直径的圆，切点为线段
1PF的中点，则该椭圆的离心率为（）
5.3A2.3B2.2C5.9D
3．（2010四川）椭圆221(0)xyabab????的右焦点为F，其右准线与x
轴的交点为A．在椭圆上存在点P满足线段AP的垂直平分线过点F，则
椭圆离心率的取值范围是（）
2.(0,]2A1.(0,]2B.[21,1)C?1[,1)2D
4．（2014安徽）设12,FF分别是椭圆22
2:1(01)yExbb????
的左右焦点，
过点1F的直线交椭圆E于,AB两点．若112||3||,AFFBAFx??轴，则
椭圆E的方程为．
Gothedistance
35
5．（2014陕西五校）椭圆22
215xya??
（a为定值，且5a?）的右焦点
为F，直线xm?与椭圆相交于,AB两点．若FAB的周长的最大值是12，
则该椭圆的离心率是．
6．（2015山西太原）已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，焦距为2，
离心率为12．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设直线l经过点(0,1)M，且与椭圆C相交于,AB两点，若
2AMMB?，求直线l的方程．
第6讲双曲线
一．知识梳理
1．双曲线的概念
平面内动点P与两个定点12,FF（12||20FFc??）的距离之差的绝
对值为常数2(022)aac??，则点P的轨迹叫双曲线．这两个定点叫双曲
线的焦点，两焦点间的距离叫焦距．
集合1212{|||||2},||2PMMFMFaFFc????，其中,ac为常数且
0,0ac??：
（1）当ac?时，P点的轨迹是双曲线；
（2）当ac?时，P点的轨迹是两条射线；
（3）当ac?时，P点的轨迹不存在．
2．双曲线的标准方程和几何性质
标准方程
221xyab??
（0,0ab??）
221yxab??
（0,0ab??）
Gothedistance
36
图形
几何
性质
范围xa?或xa??，yR?xR?，ya??或ya?
对称性对称轴：,xy轴；对称中心：(0,0)
顶点12(,0),(,0)AaAa?12(0,),(0,)AaAa?
渐进线byxa??ayxb??
焦距12||2FFc?
离心率(1,)cea????
实虚轴
线段12AA叫双曲线的实轴，长度12||2AAa?；线段
12BB叫双曲线的虚轴，长度12||2BBb?；双曲线的实
半轴长为a，的虚半轴长为b
,,abc的222(0,0)cabcacb??????
关系
二．要点整合
1．辨明三个易误点
（1）双曲线中的定义易忽视122||aFF?这一条件，当122||aFF?时，
轨迹为以12,FF为端点的两条射线，当122||aFF?时，轨迹不存在．
（2）区分双曲线中,,abc的关系与椭圆中,,abc的关系，在双曲线中
222cab??，而在椭圆中222cab??．
（3）双曲线的离心率(1,)e???，而椭圆的离心率(0,1)e?．
2．求双曲线标准方程的两种方法
（1）定义法：根据题目的条件，判断是否满足双曲线的定义，若满足，
求出相应的,,abc即可得到方程．
（2）待定系数法：
①与双曲线221xyab??共渐进线的可设为22(0)xyab?????．
Gothedistance
37
②若渐进线方程为byxa??，则可设为22(0)xyab?????．
③若过两个已知点，则可设为221(0)xymnmn???．
3．双曲线几何性质关注点
（1）“六点”：两焦点、两顶点、两虚轴端点．
（2）“四线”：两对称轴（实轴、虚轴），两渐进线．
（3）“两形”：中心、顶点、虚轴端点构成的三角形；双曲线上一点（不
包括顶点）与两焦点构成的三角形．
三．典例精析
1．双曲线的定义
（1）在运用双曲线定义时，要注意定义中的条件，搞清所求轨迹是双
曲线，还是双曲线的一支．若是一支，则需确定是哪一支．
（2）在“焦点三角形”中，正弦定理、余弦定理和双曲线的定义经常
结合使用．另外还经常结合12||||||2PFPFa??平方，建立12||||PFPF的
联系．
【例题1】
（1）（2014全国）已知双曲线C的离心率为2，焦点为12,FF，点A在C
上．若12||2||FAFA?，则21cosAFF??（）
1.4A1.3B2.4C2.3D
（2）P是双曲线22
22-1(0,0)xyabab???
右支上一点，12,FF分别为左右
焦点，且焦距为2c，则12PFF的内切圆圆心M的坐标是（）
.Aa.Bb.Cc.Dabc??
【变式1】
（1）已知ABP的顶点,AB分别为双曲线221169xy??的左右焦点，顶点
P在双曲线上，则|sinsin|sinABP?的值等于（）
4.5A7.4B5.4C.7D
（2）已知双曲线221xy??，点12,FF为其两个焦点，点P为上曲线上一
Gothedistance
38
点，若1PFPF?，则12||||PFPF?的值为．
2．双曲线的标准方程
求双曲线的标准方程的基本方法是定义法和待定系数法．待定系数法
的具体过程是先定形，再定量，即是先确定双曲线的形式，再根据,,,abce
及渐进线之间的关系，求出,ab的值．
【例题2】
（1）（2015东北三校）与椭圆22:11612yxC??共焦点且过点(1,3)的双曲
线的标准方程为（）
22.13yAx??22.1
1
2
xBy??22.122yxC??22.13yDx??
（2）（2014江西）过双曲线22:1xyCab??的右顶点作x轴的垂线，与C
的一条渐进线相交于点A．若以C的右焦点为圆心，半径为4的圆经过
,AO两点（O为坐标原点），则双曲线C的方程为（）
22.1412xyA??22.179xyB??22.188xyC??22.1124xyD??
【变式2】
（1）．
（2）．
3．双曲线的几何性质
【例题3】
（1）（2014广东）若实数k满足05k??，则曲线221165xyk???与曲线
221165xyk???的（）
.A实半轴长相等.B虚半轴长相等
.C离心率相等.D焦距相等
（2）（2014重庆）设12,FF分别是双曲线221(0,0)xyabab????的左右
焦点，双曲线上存在一点P使得2212(||||)3PFPFbab???，则该双曲
Gothedistance
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线的离心率为（）
.2A.15B.4C.17D
（3）（2014山东）已知0ab??，椭圆1C的方程为221xyab??，双曲线
2C的方程为221xyab??，1C与2C的离心率之积为32，则2C的渐进线
方程为（）
.20Axy??.20Bxy??.20Cxy??.20Dxy??
．．．．．．．．
四．针对训练
.A组基础训练
1．
2．
3．
4．
5．
6．
7．．
8．．
9．．
10．．
11．．．
12．．．
.B组能力提升
1．
2．
3．
4．．
5．．
6．．．
Gothedistance
40
第7讲抛物线
四．针对训练
.A组基础训练
1．
2．
3．
4．
5．
6．
7．．
8．．
9．．
10．．
11．．．
12．．．
.B组能力提升
1．
2．
3．
4．．
5．．
6．．．
第8讲曲线方程
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