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像数学家一样思考的10种方式

2015-07-28  灵藏阁

英国利兹大学的数学教授Kevin Houston写了一本科普书,How to Think Like a Mathematician:(《如何像数学家一样思考》) 。为了给他的书作宣传,他特地制做了一个幻灯片:像数学家一样思考的10种方式(10 Ways To Think Like A Mathematician),很有趣。这里笔者略作介绍。



1.Question everything
质疑一切。如果有人(哪怕是你的老师)告诉你一件事情,让他给你证明一下,或者你自己要核验一下。不要被人忽悠了(这年头,有些人好这一口)。



[For me one of the truly great beauties of mathematics is that it can be checked. You don’t have to take anyone’s word. If someone says something is true, then you can ask them to prove it. Better still, if you want to really think like a mathematician, then you can try to prove it. Don’t let people spoon feed you!]



2. Write in sentences
用句子写作。这会迫使你想清楚你究竟在写什么东西。



[But if you want to understand mathematics and to think clearly, then the discipline of writing in sentences forces you to think very carefully about your arguments. If you can’t write the sentence properly, then probably you don’t truly understand what you are writing about. That’s a great opportunity to learn more and develop your skills. And writing well in any subject is a useful skill to possess.



One easy way to improve your mathematical writing and thinking is to know how to use the implication symbol ? properly.]



3. ‘What about the converse?’
“反过来又如何?”要多问问自己:如果有了命题“A? B”,是否也有“B? A”。比如,如果有了直角三角形,自然有勾股定理,那么反过来是不是也成立呢?【这是一个正面的例子,但也许很多反例也存在。比如,级数收敛?通项为无穷小,但反过来不对。再如,父母爱子女,子女可不一定爱父母。(小林子说的)】



4. Use the contrapositive
利用逆否。我更想把它理解为应用必要条件。我在课堂上举过例子,比方说你(是个男的)找女朋友,有一些标准是不容商量的(最简单的就是,要求对方是个女的),这就是所谓的必要条件。如果必要条件都不满足(比如说跟对方哪怕是小林子),你就不必考虑了。【小林子附言:我有个学生一开头不太理解这个“必要条件”的含义(我说通项为无穷小是级数收敛的必要条件,在他那里就得到了这样的结论,如果通项为无穷小那么级数收敛),当我举了这个例子(并反问他,难道说只要给你介绍的是个女的,你就当女朋友处?)以后,他立即反驳,好像豁然开朗了。】



5. Consider extreme examples
考虑极端情形。比如说你某一科学得不是很好,担心期末会挂科。你知道总成绩是平时成绩和期末考成绩是三七开,那么你就需要估计一下期末考你至少要考多少分(设为x)才能保证总分及格。这个问题应该是小学水平的了,可有的学生竟然还是不懂为什么需要解这个不等式:

x×70%+3060

我估计TA也许是完全没有底线!(确实如此,班上有学生考了6分,重修的甚至有0分的!)底线是什么,就是极端情形,这里就是左边的平时分的最乐观估计30、右边的及格线60.



6. Create your own examples
构造自己的例子。这个我也略作发挥一下。比如说,理论上每个人都会遇到自己的另一半。这就像一个普遍定理(我们应该乐观一点,先相信它吧!)。但问题是,当你的那一半出现时你能不能识别出、把握住。那就是你的例子。



这里有一个来自于数学家陈景润的绝佳例子。



7. Where are the assumptions used?
假设用在哪里?



我想举一个例子。我想应该是很有代表性的。我们在做一件事情(比如写文章、追女友)时,常常想要万事俱备了再行动,简直把自己想象为孔明借箭等得的那阵东风。但问题是,我们为什么要等万事俱备?大多数事情都是一边做一边完成的,等等等,黄花菜都凉了。特别是年轻人,我觉得无需任何假设,青春可以赋予你一切。



再如,有些中国古语,我想很多都是很荒唐的。“一日为师,终身为父”,我就不敢苟同。



另一句,我非常想跟学生讲的是,应该狂一点。为什么清华北大的学生就可以狂,我们西农大的学生就不可以了?谁赋予你狂的权利?你自己——“王侯将相宁有种乎?”(我斗胆揣测,这句话给 毛 爷爷极大的震撼和勇气,甚至一度令他担忧。)



8. Start with complicated side
从复杂的一边开始。



就像生是复杂的,死是简单的,所以我们从生开始。这是哲学。用到数学上,如果你证明一个等式,左边很复杂,右边很简单,比如说,就是零。那么基本上你只能从左边开始,唯有如此,才能活下去(否则一开头就死翘翘)。



9. Ask ‘What happens if. . . ?’
问“如果有……那么会怎样”。



10. Communicate!
交流!



数学家陈省身的墓就在南开校园里,数学所(陈省身数学所)附近,他曾遗言,要在墓边放黑板,以便后人在附近讨论问题!我相信南开的朋友应该比我更清楚黑板的位置了!



很多人大概不用email,但只要上过正儿八经的研究生,就一定会频繁用email,因为他们需要跟人交流!网络当然提供了极为多样的便捷途径(比如善科网)交流,但也许最正式的还是email. 当我很晚很晚领悟到这一点时,我开始与全世界通信,简直就是“从那一刻起,跟世界上每个可能的人通信”。而当我某一刻发现很久没有收到邮件时,我深深地感到被世界遗忘了:这个世界不再需要我!

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