第二节二次函数的解析式
知识要点
二次函数内涵丰富，变化多端，它有三种形式的解析式：一般式、配方式和分解式．本节要讨论的是：怎样根据不同的已知条件确定解析式的选取；在不同的几何背景下怎样寻找
确定解析式的条件；怎样根据二次函数的图像特征确定解析式的系数特征．
知识点
1、三种形形式：一般式、配方式（顶点式）、分解式（相交式）；
2、怎样根据不同的已知条件确定解析式的选取；在不同的几何背景下怎样寻找确定解析式的条件；怎样根据二次函数的图像特征确定解析式的系数特征。
一、二次函数解析式的三种形式
1、一般式：，图像的顶点坐标为（），对称轴是直线
2、配方式：，图像的顶点坐标为（），对称轴是直线
3、分解式：，图像与x轴的交点坐标是A（x1,0）、B（x2,0），对称轴是直线
下面这道题恰好可以采用三种不同形式的二次函数解析式来解，是难得一见的代数多解题。
例题精讲
例1、已知二次函数的图像与x轴两交点之间的距离是4，且顶点M为（－1，4），求此二次函数的解析式。
小结：
选择何种形式的解析式要根据题目的条件而定。
（1）已知图像所经过的三点坐标，用一般式；
（2）已知图像顶点坐标或对称轴，用配方式；
（3）已知图像与x轴的两个交点坐标，用分解式。
举一反三
根据已知条件，选择适当形式的解析式是求解二次函数解析式的关键。
1-1、根据下列条件，分别求出函数的解析式。
（1）已知二次函数的图像经过点A（0,-1）、B（1,0）、C（-1,2）；
（2）已知抛物线的顶点为（1,-3），且与y轴交于点（0,1）；
（3）已知抛物线经过A（-3,0）、B（5,0）、C（0,-3）三点。
1-2、求分别满足以下条件的二次函数的解析式。
（1）函数图像的对称轴是直线，与x轴的一个交点坐标是（-5，0），与y轴的交点坐标是（0，）；
（2）函数图像经过（-1，1）、（0，1）两点，且函数图像最高点的纵坐标为。
小结：
１、本题的解题关键是充分利用二次函数图像的对称性，由对称点确定对称轴方程，或由对称轴确定对称点坐标，从面挖掘出新的条件。
２、顶点是抛物线中的特殊点，起到“一个顶俩”的作用。在下面的题目中，是否隐藏了顶点为已知点？
1-3、已知抛物线与x轴只有一个公共点A（2，0），它与y轴的交点为B。
（1）求b、c的值；
（2）点M为线段AB的中点，某二次函数的图像经过点M、A和原点O，求这个二次函数的解析式。
点评根据图像的特征，分析条件的作用，灵活确定解析式形式的选取，便能事半功倍，
直取结果．
小结：根据图像的特征，分析条件的作用，灵活确定解析式形式的选取，是解此类题的关键所在。
二、几何背景下的二次函数的解析式
（一）二次函数与直线经常出现在同一个坐标平面上。
例2、在坐标平面上，O为原点，已知点A（2，2），点B、C在y轴上（点B在点C的上方），BC=8，AB=AC，直线AB交x轴于点D。
（1）求点C、D的坐标；
（2）求图像经过A、C、D三点的二次函数的解析式。
点评在坐标平面上合有几何背景的条件下，要求函数解析式，一般是先根据几何图形的条件求出相关点的坐标，再用待定系数法求函数解析式，这是一类典型的数形结合问题，对知识的综合能力有一定的要求．
小结：
在坐标平面上含有几何背景的条件下，要求函数解析式，一般是先根据几何图形的条件求出相关点的坐标，再用待定系数法求函数解析式。注意数形结合在这里的运用。
举一反三
“三点确定一个二次函数的解析式”这句话对不对？看看下面的问题。
2-1、已知平面直角坐标系中两点A（1，2）和B（0，3），点C在x轴上，线段AC的长是。
（1）求点C的坐标；
（2）如果一个二次函数的图像经过A、B、C三点，求这个二次函数的解析式。
点评如图3—2—5，从图像上看，A、B、C。(3，o)三点在一条直线上，经过这三点只能确定一条直线，对应的是一次函数的解析式，因此图像经过A、B、C。三点的二次函数是不存在的；除了这种情况之外，由于与抛物线对称轴平行的直线(包括对称轴)与抛物线有且只有一个交点，所以，如果经过两点的直线平行于Y轴(即它们的横坐标相等)，那么图像过这两点的二次函数解析式也必定不存在．
2-2、已知抛物线与x轴的一个交点为A（-1，0）。
（1）求抛物线与x轴的另一个交点B的坐标；
（2）设D是抛物线与y轴的交点，点C是抛物线上的一点，且以AB为一底的梯形ABCD的面积为9，求此抛物线的表达式。
小结：利用二次函数图像的对称性可知，如果横坐标分别为x1和x2的两点A、B关于直线x=m对称，那么.若已知x1，则。因此在A、B两点中，可以从其中一点的坐标求出它的对称点的坐标（其中纵坐标不变）。
二次函数的图像与锐角三角比
2-3如图，在直角坐标系xOy中，抛物线y=2ax2-6ax+6与y轴的公共点为A，点B、C在此抛物线上，AB∥x轴，∠AOB=∠COx，OC=2．（1）求点A、B、C的坐标；（2）求抛物线的顶点坐标．
三、解析式系数特征的确定
根据函数图像的特征来确定系数a、b、c，以及由a、b、c组成的代数式的符号，是对二次函数解析式的进一步解读。
例3、已知二次函数的图像如图所示，试确定以下各式的符号：
点评根据二次函数图像的大致情况可以判断系数a、b、c及其关的一些代数式的符号，其中尤其是判别式b2--4ac的符号：
a一一根据开口向上还是向下判定是正还是负；
b——根据对称轴的位置，对称轴在y轴的左侧时a、b同号，对称轴在y轴的右侧时a、b异号，对称轴为y轴时b=0；
c一一根据与y轴的交点位置，在原点上方时c>0，在原点下方时，c<0，经过原点时c=0；
b2—4ac——根据与x轴的相交情况，与x轴有两个公共点时b2—4ac>0，与x轴有且仅有一个公共点时b2—4ac=0，与x轴没有公共点时b2—4ac<0．
举一反三
3-1、已知几个二次函数，它们的图像分别如以下各图所示，其中系数a、b、c的符号都相同的是（）
3—2如果二次函数Y—ax2+bx+c(口≠o)的图像如图3—2—10所示，
那么点(ab，b—c)在()
(A)第一象限；(B)第二象限；
(C)第三象限；(D)第四象限．
3-3、二次函数的图像可能是（）
本节内容小结：
1、二次函数的解析式的三种形式
2、在特殊情况下，二次函数的解析式可采用简化形式，如：
（1）已知抛物线对称轴是y轴（或顶点在y轴上），可设解析式为
（2）已知抛物线顶点在x轴上，可设解析式为
（3）已知抛物线经过原点，可设解析式为（一般式）或（分解式）
（4）若抛物线顶点在原点，可设解析式为
3、可以根据图像性质，适当转化条件，确定最佳求解析式的方案，如：
（1）已知抛物线的对称轴以及与x轴一个交点的坐标，可根据对称性求出抛物线与x轴的另一个交点的坐标，从而采用分解式；
（2已知抛物线上有两点的纵坐标相同，若设为（x1,y）、（x2,y）,则这两点肯定是关于抛物线的对称轴对称，因而可以得到抛物线的对称轴方程为，从而采用配方式；
（3）已知抛物线的对称轴方程以及在x轴上截得的线段长，可求出与x轴两交点的坐标，从而采用分解式；或已知抛物线在x轴上截得的线段长及x轴一个交点的坐标，可求出与x轴的另一个交点的坐标（注意有两解），从而采用分解式，等等。
习题精练：
1、若二次函数的图像如图所示，则a0,b0.
2、小强从如图所示的二次函数的图像中，观察得出了下面六条信息：
（1）a<0;（2）c>1;（3）b>0;（4）a＋b＋c>0;（5）a－b＋c>0;(6)2a＋b>0
你认为其中正确的信息有（填序号）
3、已知二次函数的y与x的部分对应值如下表：
x … -1 0 1 2 … y … -5 1 3 1 … 下列判断中，正确的有（填序号）
（1）抛物线开口向下；
（2）抛物线的顶点为（1，3）；
（3）当x>3时，y<0;
（4）方程有两个相等的实数根。
4、已知是二次函数，a的取值范围是
5、若某二次函数图像的顶点在原点，且经过点（2，1），则此二次函数的解析式是
6、已知抛物线的对称轴为直线x=1，且与x轴的一个交点为（3，0），则此抛物线的表达式是
7、已知抛物线经过点（2，0），且与y轴交于点B，若OB=1，则该二次函数解析式中，一次项系数b为
8、抛物线的对称轴是直线x=2,则该抛物线的顶点坐标是
9、对于任意实数x，二次函数的值总满足y≥1,则m的值至少等于
10、已知二次函数的图像经过（0，-1）、（1，-3）、（-1，3）三点，求这个二次函数的解析式、顶点坐标，并画出图像。
11、已知二次函数的图像经过点（0，3）和（1，3）。
（1）求此函数的解析式；
（2）将此函数的图像沿y轴方向平移（向上或向下）多少个单位可以使其图像经过坐标原点？
12、已知二次函数的图像经过点A（1，0）、C（0，-3），与x轴的另一个交点为点B，△ABC的面积为6，求二次函数的解析式。
互动探究
二次函数的图像如图所示，点A0位于坐标原点，点A1，A2，A3，...，A2012在y轴的正半轴上，点B1，B2，B3...,B2012在二次函数位于第一象限的图像上，若△A0B1A1，△A1B2A2，△A2B3A3…，△A2011B2012A2012都为等边三角形，求△A2011B2012A2012的边长。
2014/11/30
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