第二节解直角三角形
知识要点
已知三角形的某些元素求其它元素的问题称为解三角形，解一般的三角形至少需要已知三个元素（其中至少要有一条边）
在直角三角形中,一个元素(直角)是已知的，只需要知道其他两个元素(其中至少要有一条边)，就可以求出该三角形的其他元素(边长和角)及面积，这类问题称为“解直角三角形”．
一、直角三角形中的边角关系
解直角三角形包括“已知一边一角”和“已知两边”两类情况，都可以利用三角比的边角关系或勾股定理来解.
例题精讲
例1△中，∠C＝°，AC=BC，点D在BC上，∠DAC＝°已知AD=6，求BD的长.
举一反三
1-1旗杆上的绳子从顶端垂到地面还多8米.当把绳子下端沿地面拉直后，绳子与地面成45°角，则与绳子长度最接近的整数值是（）
A．27；B．28；C．29；D．30
1-2在△中，∠C＝°，点D在BC上，BD=4，AD=BC，cos∠ADC＝（2）求sinB的值.
点评在直角三角形中，已知某锐角的三角比但相关的两条线段都不知道，则必需引入
比例系数k，再按题意根据等量关系列出方程求k．注意不可直接写DC=3，AD=5，因为比例系数k并不一定等于1(在本题中比例系数k=2)．
1-3△中，AD是边BC上的高，E为边AC的中点，BC=14，AD=12，sinB=0.8
（1）求线段DC的长；
（2）求tan∠EDC的值.
点评在斜三角形中，要求某锐角内角的三角比，可通过作垂线构造直角三角形，或通过相等角的代换将该角转移到直角三角形中，寻找新的关系．
二、等腰三角形中的边角关系
根据三线合一定理，作底边上的高线可以把等腰三角形分成两个全等的直角三角形，从而把解等腰三角形的问题化为解直角三角形的问题
例2△ABC中，AB=AC，BC=6，
（1）求边AB的长；
（2）求边AC上的高.
求三角形的面积也是解三角形的内容之一，下面看一道利用三角比计算三角形面积的问题．
举一反三
2-1在△中，AB=AC=10，∠B＝°，求△的面积.
点评由本题中的方法二可归纳出新的面积公式：
，其中为AB、AC的夹角
2-2已知△中，AB=AC=10，△的面积为，求顶角A的大小.
点评在已知三角形面积的问题中，经常要按照以上两种情况进行分类讨论．
2-3在△中，AB=AC=10，BC=12.
（1）求∠B的正切值；
（2）求∠A的正弦值.
三、一般三角形的边角关系
例3在△ABC中，∠A＝°，∠C＝°，AB=12.
（1）求边AC的长；
（2）求sinC.
点评(1)对于一般三角形，通过作一条高可以把它分成两个直角三角形，如果原三角形中含特殊角，那么尽量不要把特殊角分开，在本例中，如果一上来就作AE⊥BC，固然在Rt△ABE中由AB=12，∠B=60°可以求出AE和BE，接着在Rt△ACE中都是非特殊角，计算无法进行下去了．(2)本题的计算结果使我们又获得了一个“扩大的特殊角”的三角比：sin75°=．
举一反三
3-1已知在△中，∠B、∠C都是锐角，BC=20，,,求AC的长.
3-2在△中，D在边BC上，BD=2CD,且AD⊥AB，若，求∠B的度数.
点评本题中的两个条件“∠BAD=90°和“tan∠CAD=”不在同一个三角形中，添辅助线的目的就是要把这两个条件集中到同一个直角三角形中．
3—3在上海旅游节期间举办了彩车巡回展览活动．上海锦江集团制作的彩车上有一副钢制的三脚架安置在一辆平板车上，如图2—2一15所示，平板车底板离地面为1．6米，三脚架为△ABC，其中BC长20米，∠B和∠C分别为45°和30°．彩车要穿过南北高架路驶
往外滩，已知南京路成都路道口的高架路离地面高8米，延安路成都路道口的高架路离地面
高10米．这辆彩车在这两处道口是否都能安全通过?(参考数据：≈1．732)
点评抛开题目的实际背景，本题的数学含义是：“在△ABC中，已知BC=20，∠B=45°，∠C=30°，求高AD．”解题中以AD=x为中间量，根据BD+DC=BC建立方程求解．
四、复合图形中的边角关系
在这里，“复合图形”是指由有两个三角形拼合或叠合而成的图形°四边形被它的一条对角线分成两个三角形，因此解四边形的问题可以化归为解三角形的问题.
例4已知四边形ABCD中，BC=CD=DB，∠ADB＝°，，求S△ABD
：S△BCD.
举一反三
4-1将两块三角板如图放置，其中∠C=∠EDB＝°,∠A=45°，∠E=30°，AB=DE=6求重叠部分四边形DBCF的面积.
点评用“割补法”求四边影DBCF的面积可以有两种方法：一是由点C作垂线CG上AB于G，把四边形DBCF分成Rt△BCG和梯形DGCF；二是如本题中的解法，看作是两个等腰直角三角形(△ABC和△ADF)的面积之羞．后者只需要求出AD和AC’的长，是同一种图形的面积相减，因此后一种解法比前者顺畅．
将两块三角板换一种叠法得到下面的问题．
4-2将一副三角板如图放置，其中∠A=∠BCD＝°，AB=AC，∠DBC＝°，已知BC=6，求它们重叠部分△EBC的面积.
4-3已知△ABC是边长为a的等边三角形，△DBC是以BC为斜边的等腰直角三角形，求线段AD的长.
点评不给图形的题目，往往藏有玄机．在自己画图的过程中要仔细考虑：这个图有没有不同的画法?要不要进行分类讨论?
内容提炼
1.解直角三角形时，除了“已知两边求第三边”用勾股定理、“已知一个锐角求另一个锐角”用“两锐角互余”之外，其它各种情况都可以用三角比的定义求解；
2．解斜三角形时，我们把它化为直角三角形来解，经常遇到的题目有两类：①已知两边夹角解三角形．如图2—2—22，△ABC中，已知AC=b，AB=c，∠A=a，可作高CD⊥AB，则CD=b·sina，AD=b·cosb，BD=c—bcosa，再在Rt△BCD中用勾股定理求，利用三角比定义tanB=，最后求出∠C=180°一∠A一∠B·
②已知两角一边解三角形．如图2—2—23，△ABC中，已知∠A=a，∠B=，AB=c，作高CD，设CD=x，列方程xcota+xcot=c，得x=求出CD后计算
习题精炼
1.△ABC中，∠C＝°，已知以下边或角的大小不能解该三角形的是（）
A．∠A、a；B．∠B、c；C．∠A、∠B；D．a、c
2.△ABC中，∠A=90°，若AB=c，∠B＝；B．；C．；D．
3.若△ABC的两条边长分别为AB=20cm,AC=30cm,S△ABC=150cm2,则∠A的度数为（）
A．30°；B．60°；C．30°或150°；D．60°或120°
4.Rt△中，∠C＝°，若AC=6，，则AB=.
5.△中，∠A＝°，若∠B=θ，AC=b，则AB=（用θ和b的三角比表示）
6.△AB中，若AB=AC=10cm,BC=12cm，则tanB=.
7.如图，△ABC中，若AB=AC,∠A=90°,BD是角平分线，
则tanDBC=.
8.△中，若AB=AC=，BC=6，则∠BAC=度
9.在ABC中，＝0°，B＝AC，将ABC绕着点B旋转使点落在直线B上C＇，＇C＇＝________．中，∠C＝°，CD是边AB上的中线，，BC=6.
（1）求CD的长；
（2）求sin∠BCD.
11.如图，在△中，已知∠A、∠B都是锐角，,BC=20，,AB=29，求△ABC的面积.
12.如图，梯形ABCD中，AB∥CD，∠B＝°，点F在BC上，∠AFD＝°，已知AB=8，DC=3，tan∠BAD=2.
（1）求AD的长；
（2）求tan∠FAD.
互动探究
如图，Rt△中，AB=AC，∠BAC＝°，D、E分别为AB、AC上的点，AE=BD，联结DE、BE.
(1)当AD=2DB时，分别计算tan∠ADE和tan∠EBC的值．从这个计算结果你能得出什么结论?
(2)以第(1)小题中的探究结论为条件，求的值．
2014/11/29
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