第四节三角比在几何中的应用
知识要点：
三角比就是直角三角形中的两条线段之比，人们发现，把这种线段的比值关系固定下来，专门加以研究,得到了许多有用的结论.因此在含有直角三角形或垂直关系的几何问题中，许
多涉及边长、角度和面积的计算或证明的问题，若利用三角比的知识来解，会快捷得多．
在几何证明中的应用
例题精讲
先来看=道线段比例式的证明题．
例1如图2—4-1，△ABC中，∠ACB=90°，CD是边AB上的高，求证：
点评若从△ACD∽△CBD∽△ABC出发，可以得到AC2=AB·AD，BC2=AB·BD，两式相除约去AB，即得求证的结论．但相较于三角比方法，证三角形相似过程比较复杂．
举=反三
下面的题目先利用三角比证比例线段，再利用比例线段
1—1如图2—4—2，在Rt△ABC中，∠C＝°，MN是过点C的任意=条直线，过点A、B分别作AD⊥MN，BE⊥MN，垂足分别为D、E，点F在MN上，且∠FAD=∠CAB．求证：DF=CE．
下面这道证明题你可能见过，但你能用几种不同的方法证明吗?
1—2如图2—4—3，△ABC中，AB=AC，点P是BC上任意=点，作PD⊥AB于点D，PE⊥AC于点E，BH是边AC上的高．求证：PD+PE=BH．
1-3如图2—4—6，△ABC中，∠∠ACB＝°，CD是高．已知求证：
△BCD面积是△ABC面积和△ACD面积的比例中项．
二、在线段计算中的应用
求线段的长度是解直角三角形的基本运算，在解题中运用三角比定义进行计算常能达到事半功倍的效果．
例题精解
例2如图2—4—7，AC交BD于E，∠ADB=∠B=90°，BD=BC=3，AC=6．求AE的长．
点评DB⊥BC，D想到作AF⊥BC，将这两个条件集中到一个三角形中，求出一个特殊角∠ACF=30°．
举一反三
2—1如图2—4—9，在四边形ABCD中，∠B=30°，∠C=120°，∠D=150°，
AD=，DC=4．求AB、BC的长．
点评本题通过添线，把四边形补成了=个直角三角形，这叫做“补形法”，有的时候是
联结对角线或作垂线段，把=个多边形分割成三角形、直角梯形或其他图形，这两种方法统
称为“割补法”．
2—2如图2—4—11，点E是矩形ABCD的边AD上一点，且BE=AD，AE=8，cos∠DEC=．求AB、BC的长．
2—3梯形ABCD中，AD∥BC，AD—AB=15，DC=13，∠B为锐角，sinB=．求BC的长．
点评在梯形中“已知一底两腰及高求另一底”这类问题中，经常会遇到多解，应引起注意．
在角度和面积计算中的应用
例3如图2—4—13，在△ABC中，BD、CE是高，联结DE，已知△ADE面积与四边形BCDE面积相等．求∠A的度数
点评若两个直角三角形有一个公共锐角，则这两个三角形相似．
引申根据△ADE与△ABC(或△ADE与四边形BCDE)的面积的不同比值，可以得到cosA=的不同的值，从而可以求出∠A的不同的度数，请思考下面两道本题的变式题：
(1)在△ABC中，BD、CE是高，联结DE，已知△ADE面积是四边形BCDE面积的3倍，求∠A的度数．
(2)在△ABC中，BD、CE是高，联结DE，∠A=60°，求△ADE面积与四边形BCDE面积的比．
举一反三
3—1如图2—4—14，四边形ABCD中，AB=4，CD=2，∠A=60°，∠B=∠D=90°，求四边形ABCD的面积．
点评本题中四边形的面积不可以直接求，故需添加辅助线，若联结AC，则把∠A=60°分割开了；若联结BD，则把∠B和∠D两个直角分割开了，故考虑用“补形法”，以保持四边形ABCD中条件的完整．
引申想一想：延长DC、AB，相交于点F，能不能解?
3—2如图2—4—16，△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，DE⊥AC，垂足分别为D、E，若，求∠A的度数．
3—3如图2—4—17，四边形ABCD中，AC交BD于E，∠BAC=∠BDC=90°，S△BEC=16cm2，S△AED=8cm2．求∠AEB的度数．
点评注意例3及题3—2、3—3中，由一个角的三角比得出角的大小时，需指出“因为某个角是锐角”．
四、求图形中的三角比值
在直角三角形中，已知两条边长或两条边长之比就可以求出锐角三角比，下面是一些在
比较复杂的背景下求锐角三角比的问题．先来看以矩形为背景的问题．
例4如图2—4—18，正方形ABFE内接于矩形ABCD，且∠ADB=∠CDF．求tan∠DFC的值．
点评三角比是一种特殊的线段之比，在直角三角形的背景下求线段之比常可以归结为求三角比，所以本题也可将结论改为“求矩形ABCD的宽与长之比”．从结论可以知道，矩形的宽、长之比是黄金分割数，该矩形称为“黄金矩形”．
举一反三
4—1矩形ABCD中，AB=6，BC=8，AC交BD于点O，求sin∠AOB的值．
下面是在直角梯形的背景之下求锐角三角比．
4—2如图2—4—20，梯形ABCD中，AD∥BC，DCJ-BC，AD：BC=2：5，P是DC上一点，如果把ABCP沿着BP翻折，点C恰好与点A重合．求∠ABP的正切值．
点评题4—1、题4—2的共同点在于添了一条高：题4—1中添高AH的目的是构造
Rt△AOH，才能按定义得到sin∠AOB=等；题4—2中添高AH的目的是为了能用k表示直角腰DC=AH=4k．两题的不同之处在于：题4—1是利用面积求AH，题4—2是利用
勾股定理及列方程求PC=x．
下面我们回到直角三角形中求锐角三角比．
4—3∠A=90°，D是AC延长线上一点，且AB=AC=CD，求tan∠CBD的值．
点评方法一是利用面积求高；方法二是通过延长AD到E，使DE—AB，将∠CBD转移到∠E来解．虽然方法二的方法不容易想到，但是从这个图使我们获得了下面这个有价值的命题．
引申在图2—4—24中，可以看出tana=，tan，并且容易得到∠a+∠=∠CDB+∠CBD=∠ACB=45°．实际上，我们已经证+明了如下一个命题的真实性：若锐角∠a、∠满足tana=，tanp=，则有∠a+∠=45°·
我们将在探究互动中继续以其他问题为背景来讨论这个命题．
内容提炼
运用三角比知识解决几何问题的关键是学会问题的转化：
1．图形的转化
①通过作高，将等腰三角形或=般三角形化为直角三角形；
②通过联结对角线或延长=组对边，将四边形化为三角形，直接或再进=步化为直角三角形；
③通过作高，将梯形化为直角三角形和矩形；
④在直角三角形的基础上，通过三角比解决问题．
2．过程的转化
如果两个直角三角形有=个公共的或相等的锐角，那∠可直接写出该锐角在两个直角三角形的同一种三角比，得到所需的线段比例式，可跳过“证三角形相似”这一步．
3．数形的转化
①一个锐角和它的某三角比的值是一一对应的，因此“已知锐角”和“已知锐角的三角比”是等价的．譬如，“在△ABC中，∠A、∠B是锐角，已知tanA=，tanB=，AB=20，求AC的长”．这就是一个“已知两角一边解三角形”的问题．(图2—4—25)．
②在已知某三角比时，可以引进比例常数k，用k来表示相关的边长；在两个直角三角
形有公共边的情况下，可以x来表示这条边长，从而建立方程求解，这都能实现几何问题向代数问题的转化．
习题精练
如图，／XABC中，∠ACB=90°，若CD是高，DE上BC，DF上AC，垂足分别为E、F，
则而DE的值等于’()
(A)tanA；(B)COtA；(C)sinA；(D)COSA．
2．如图，∠ACB=∠D=90°，若AC平分∠BAD，且S△ABC：S△ACD=4：3，则∠BAD的度数为()
(A)120°；(B)90°；(C)60°；(D)30°．
3．△ABC中，∠C=90°，若∠A=a，边AB上的高为h，则AB的长为()
(A)h·sina·cosa；(B)；(C)；(D)
4．在一张三角形纸片ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AB=2，若将△ABC翻折，使点A与点B重合，则折痕的长为．
5．如图，四边形ABCD中，∠B=90°，若∠BCD=135°，AB=BC=CD，则∠D的正切值为．
6．如图，将一张长方形纸片ABCD翻折，点A与点C重合，折痕为EF，若∠AEF=60°，AB=1，则折痕EF的长度为．
7．已知等腰梯形的高为8厘米，它的下底长为15厘米，该底上的一个底角的余弦值为，
这个梯形的上底长为厘米．
8．如图，将直角边长为5厘米的等腰直角三角形ABC绕点A朝逆时针方向旋转15°，得
到△AB，C，，图中阴影部分的面积是平方厘米．
9．如图，△ABC，∠ACB=90°，D是AB的中点，DE⊥AB，交AC于E，若=，则tanA=．
10．如图，△ABC中，∠ACB=90°，CD是边AB上的中线，BE⊥CD，垂足为E，已知
cosA=,AC=6．求BE的长．
11．如图，△ABC中，∠ACB=9°，CD⊥AB，DE⊥AC，垂足分别为D、E，若，求∠A的度数．
12．如图，四边形ABCD中，∠ADC=135°，∠DCB=120°，AD=，DC=5-，BC=6．求AB的长．
互动探究
命题：若锐角∠a、∠满足tana=和tan=，则有∠a+∠=45°．
试通过下面所给的几何图形说明该命题是真命题：
(1)如图①，△ABC中，AD是边BC上的高，AD=1，BD=3，DC=2．求证：∠B+∠C=45°．
(2)如图②，△ABC中，AD是边BC上的高，AD=6，BD=3，DC=2．求证：∠BAC=45°．
(3)如图③，正方形ABCD的边长为6，点E、F分别在BC和CD上，BE=3，DF=2．求证：∠EAF=45°．
2014/12/2
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