2014-2015学年湖北省武汉市重点中学联考八年级（下）月考数
学试卷（3月份）
一、选择题：（每小题3分，共30分）
1．（3分）（2007?芜湖）函数：中自变量x的取值范围是（）
A．x≥﹣1B．x≠3C．x≥﹣1且x≠3D．x＜﹣1
2．（3分）（2015春?武汉校级月考）下列直角三角形中，以b为直角三角形斜边的是（）
A．a=1，b=2，c=B．a=1，b=2，c=C．a=1，b=3，c=D．a=1，b=2，c=3
3．（3分）（2009春?上林县期末）一直角三角形的斜边长比一直角边长大2，另一直角边长
为6，则斜边长为（）
A．4B．8C．10D．12
4．（3分）（2015春?无棣县期中）如图，以直角三角形的三边作正方形，已知S1=9，S2=36，
S3=4，正方形S的边长为8，则S4=（）
A．12B．14C．15D．16
5．（3分）（2015春?武汉校级月考）下列各组数据中不能构成直角三角形的一组数据是（）
A．4﹣，4+，
B．，，1
C．k，2k，k
D．2m2+1，2m2﹣1，2m（m是大于1的整数）
6．（3分）（2015春?安徽校级期中）已知△ABC中，a、b、c分别为∠A、∠B、∠C的对
边，则下列条件中：①a=4，b=7；c=8；②a2：b2：C2=1：3：2；③∠A：∠B：∠C=3：
4：5；④∠A=2∠B=2∠C．其中能判断△ABC是直角三角形的有（）个．
A．1B．2C．3D．4
7．（3分）（2015春?武汉校级月考）已知a、b、c为△ABC的三边，且满足（a﹣b）（a2+b2
﹣c2）=0，则△ABC是（）
A．等边三角形B．直角三角形
C．等腰直角三角形D．等腰三角形或直角三角形
8．（3分）（2009?吉林）将宽为2cm的长方形纸条折叠成如图所示的形状，那么折痕PQ的
长是（）
A．cmB．cmC．cmD．2cm
9．（3分）（2009秋?祁阳县校级期中）如图，是一束太阳光线从教室窗户射入的示意图，光
线与地面所成的∠AMC=30°，在教室地面上的影长米，若窗户的下檐到教室地面的
距离BC=1，则窗户的上檐到教室地面的距离AC为（）
A．米B．3米C．3.2米D．米
10．（3分）（2015春?武汉校级月考）如图，已知△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，直角
∠EPF=90°，直角∠EPF的顶点P是BC的中点，两边PE、PF分别交AB、AC于E、F．给
出以下四个结论：①AF=BE；②△EPF是等腰直角三角形；③S四边形AEPF=S△ABC；
④EF2=BE2+CF2．（）
A．②③B．①②③C．①②④D．①②③④
二、填空题：（每小题3分，共30分）
11．（3分）（2015春?武汉校级月考）一个三角形的三个内角的比为1：2：3，则这个三角
形的三边之比为．
12．（3分）（2015春?武汉校级月考）若等腰三角形腰长为4，腰上的高为2，则此等腰三角
形的底角为度．
13．（3分）（2015春?武汉校级月考）计算：=．
14．（3分）（2015春?武汉校级月考）三边长a，b、c满足a+b=10，ab=18，c=8的三角形是
（形状）．
15．（3分）（2015春?武汉校级月考）一个三角形△ABC中，D是AB边上一点，且DA=DB=DC，
∠B=2∠A，BC=1，则这个三角形的面积是．
16．（3分）（2015春?武汉校级月考）如图，长方体的长、宽、高分别为8、4、5，一只蚂
蚁沿长方体表面从顶点A爬到顶点B，则它走过的路程最短为．
三、解答题（共72分）
17．（6分）（2015春?武汉校级月考）计算：
．
18．（6分）（2011秋?青山区校级期中）先化简，再求值：+﹣2，其中a=2．
19．（6分）（2012?武汉模拟）已知：x+=，求x﹣的值．
20．（7分）（2011?上城区二模）一个三角形的三边长分别为、、
（1）求它的周长（要求结果化简）；
（2）请你给一个适当的x值，使它的周长为整数，并求出此时三角形周长的值．
21．（7分）（2015春?武汉校级月考）在Rt△ABC中，AB=c，BC=a，AC=b，∠B=90°．
（1）已知b=8，c=4，求a．
（2）已知b=，a：c=1：2，求a、c．
22．（8分）（2015春?武汉校级月考）已知Rt△ABC中，∠A=90°，AC=8，BC=10，将△ABC
沿直线ED折叠，使点B与点C重合，点A落在点F处，如图所示．
（1）求AB的长；
（2）求△ABC折叠后重叠部分（△CDE）的面积．
23．（10分）（2009?临夏州）如图，△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，∠ACB=∠ECD=90°，
D为AB边上一点，求证：
（1）△ACE≌△BCD；
（2）AD2+DB2=DE2．
24．（10分）（2015春?武汉校级月考）如图，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，AB=AC，
AD=AE，∠BAC=∠DAE=90°．
（1）求证：△ACE≌△ABD；
（2）若AC=2，EC=4，DC=2，求∠ACD的度数；
（3）在（2）的条件下，直接写出DE的长为．（只填结果，不用写计算过程）
25．（12分）（2015春?武汉校级月考）已知：如图，A、B两点坐标为（0，4），B（4，0），
P为线段AB上的任一点，过P作OP的垂线与过B点的x轴的垂线交于点Q，OQ与直线
AB交于点M．请探究解答下列问题：
（1）判断△OPQ的形状并证明；
（2）三条线段AP、PM、BM之间存在何种相等的数量关系？证明你的结论．
（3）当点p在线段AB上运动时，请问：BP﹣BQ的值是否发生变化？若不变，请求出
其值；若变化，请说明理由．
2014-2015学年湖北省武汉市重点中学联考八年级（下）
月考数学试卷（3月份）
参考答案与试题解析
一、选择题：（每小题3分，共30分）
1．（3分）（2007?芜湖）函数：中自变量x的取值范围是（）
A．x≥﹣1B．x≠3C．x≥﹣1且x≠3D．x＜﹣1
考点：函数自变量的取值范围；分式有意义的条件；二次根式有意义的条件．菁优网版权所有
专题：压轴题．
分析：根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于或等于0，分母不等于0，可以求
出x的范围．
解答：解：根据题意得：x+1≥0且x﹣3≠0，
解得：x≥﹣1且x≠3．
故选C．
点评：函数自变量的范围一般从三个方面考虑：
（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；
（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；
（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．
2．（3分）（2015春?武汉校级月考）下列直角三角形中，以b为直角三角形斜边的是（）
A．a=1，b=2，c=B．a=1，b=2，c=C．a=1，b=3，c=D．a=1，b=2，c=3
考点：勾股定理的逆定理．菁优网版权所有
分析：根据勾股定理的逆定理，若三角形三边满足a2+c2=b2，那么这个三角形是以b为斜边
的直角三角形．
解答：解：A、12+（）2=22，故是以b为斜边的直角三角形；
B、12+22=（）2，故不是以b为斜边的直角三角形；
C、12+32=（）2，故不是以b为斜边的直角三角形；
D、12+（2）2=32，故不是以b为斜边的直角三角形．
故选A．
点评：本题考查勾股定理的逆定理：若三角形三边满足a2+b2=c2，那么这个三角形是以c为
斜边的直角三角形．
3．（3分）（2009春?上林县期末）一直角三角形的斜边长比一直角边长大2，另一直角边长
为6，则斜边长为（）
A．4B．8C．10D．12
考点：勾股定理．菁优网版权所有
分析：设斜边长为x，则一直角边长为x﹣2，再根据勾股定理求出x的值即可．
解答：解：设斜边长为x，则一直角边长为x﹣2，
根据勾股定理得，62+（x﹣2）2=x2，
解得x=10，
故选C．
点评：本题考查的是勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一
定等于斜边长的平方是解答此题的关键．
4．（3分）（2015春?无棣县期中）如图，以直角三角形的三边作正方形，已知S1=9，S2=36，
S3=4，正方形S的边长为8，则S4=（）
A．12B．14C．15D．16
考点：勾股定理．菁优网版权所有
分析：由正方形S的边长为8，得出S=64，由勾股定理可知：S=S1+S2+S3+S4，由此求得答
案即可．
解答：解：∵正方形S的边长为8，
∴正方形S的面积为64，
由勾股定理可知：S=S1+S2+S3+S4，
∵S1=9，S2=36，S3=4，
∴S4=15．
故选：C．
点评：本题考查了勾股定理，利用面积法推导勾股定理是常用的一种方法．
5．（3分）（2015春?武汉校级月考）下列各组数据中不能构成直角三角形的一组数据是（）
A．4﹣，4+，
B．，，1
C．k，2k，k
D．2m2+1，2m2﹣1，2m（m是大于1的整数）
考点：勾股定理的逆定理．菁优网版权所有
分析：知道三条边的大小，用较小的两条边的平方和与最大的边的平方比较，如果相等，则
三角形为直角三角形；否则不是．
解答：解：A、（4﹣）2+（4+）2=（）2，能构成直角三角形，故错误；
B、（）2+12=（）2，能构成直角三角形，故错误；
C、k2+（）2=（2k）2，能构成直角三角形，故错误；
D、（2m2﹣1）2+（2m）2≠（2m2+1）2，不能构成直角三角形，故正确．
故选：D．
点评：本题考查勾股定理的逆定理的应用．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边
的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可．
6．（3分）（2015春?安徽校级期中）已知△ABC中，a、b、c分别为∠A、∠B、∠C的对
边，则下列条件中：①a=4，b=7；c=8；②a2：b2：C2=1：3：2；③∠A：∠B：∠C=3：
4：5；④∠A=2∠B=2∠C．其中能判断△ABC是直角三角形的有（）个．
A．1B．2C．3D．4
考点：勾股定理的逆定理；三角形内角和定理．菁优网版权所有
分析：分别根据三角形内角和定理、勾股定理的逆定理对各选项进行逐一分析即可．
解答：解：①∵a2+b2==（）2，c2=（8）2=（）2
∴a2+b2=c2，
∴此三角形是直角三角形，故本小题正确；
②∵a2：b2：c2=1：3：2，
∴设a2=x，则b2=3x，c2=2x，
∵x+2x=3x，
∴a2+c2=b2，
∴此三角形是直角三角形，故本小题正确；
③∵∠A：∠B：∠C=3：4：5，
∴设∠A=3x，则∠B=4x，∠C=5x．
∵∠A+∠B+∠C=180°，
∴3x+4x+5x=180°，
解得x=15°，
∴∠A=45°，∠B=60°，∠C=75°，
∴此三角形不是直角三角形，故本小题错误；
④∵∠A=2∠B=2∠C，
∴设∠B=∠C=x，则∠A=2x，
∴x+x+2x=180°，
解得：x=45°，
∴∠A=2x=90°，
∴此三角形是直角三角形，故本小题正确．
故选C．
点评：本题考查的是勾股定理的逆定理，熟知如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，
那么这个三角形就是直角三角形是解答此题的关键．
7．（3分）（2015春?武汉校级月考）已知a、b、c为△ABC的三边，且满足（a﹣b）（a2+b2
﹣c2）=0，则△ABC是（）
A．等边三角形B．直角三角形
C．等腰直角三角形D．等腰三角形或直角三角形
考点：勾股定理的逆定理．菁优网版权所有
分析：由（a﹣b）（a2+b2﹣c2）=0，可得：a﹣b=0，或a2+b2﹣c2=0，进而可得a=b或a2+b2=c2，
进而判断△ABC的形状为等腰三角形或直角三角形．
解答：解：∵（a﹣b）（a2+b2﹣c2）=0，
∴a﹣b=0，或a2+b2﹣c2=0，
即a=b或a2+b2=c2，
∴△ABC的形状为等腰三角形或直角三角形．
故选：D．
点评：此题考查了利用边判断三角形的形状，有两边相等的三角形是等腰三角形，满足
a2+b2=c2的三角形是直角三角形．
8．（3分）（2009?吉林）将宽为2cm的长方形纸条折叠成如图所示的形状，那么折痕PQ的
长是（）
A．cmB．cmC．cmD．2cm
考点：翻折变换（折叠问题）．菁优网版权所有
专题：压轴题．
分析：由图中条件可知纸片重叠部分的三角形是等边三角形，此三角形的高是2，求边长．
利用锐角三角函数可求．
解答：解：如图，作PM⊥OQ，QN⊥OP，垂足为M、N，
∵长方形纸条的宽为2cm，
∴PM=QN=2cm，
∴OQ=OP，
∵∠POQ=60°，
∴△POQ是等边三角形，
在Rt△PQN中，PQ===cm．
故选：B．
点评：规律总结：解决本题的关键是判断出重叠部分的三角形是等边三角形，而要得到重叠
部分的三角形是等边三角形则必须利用折叠（即轴对称）对应角相等来说明，对于图
形折叠的问题在不少地区的中考题中都有出现，也是各地考查轴对称的一种主要题
型．
9．（3分）（2009秋?祁阳县校级期中）如图，是一束太阳光线从教室窗户射入的示意图，光
线与地面所成的∠AMC=30°，在教室地面上的影长米，若窗户的下檐到教室地面的
距离BC=1，则窗户的上檐到教室地面的距离AC为（）
A．米B．3米C．3.2米D．米
考点：相似三角形的应用．菁优网版权所有
分析：根据墙、地面、光线所构成的两个直角三角形相似，利用相似三角形的相似比及直角
三角形的性质解答．
解答：解：∵AC、BC在同一条直线上，AM、BN是入射光线，
∴AM∥BN（光是沿直线传播的），
∵∠AMC=30°，
∴∠BNC=30°，
在Rt△BNC中，BC=1米，∠BNC=30°，
∴NC==米，
∵AM∥BN，
∴△CBN∽△CAM，
∴=，即=，
AC=3米．
故选B．
点评：本题考查相似三角形性质的应用．解题时关键是找出相似的三角形，然后根据对应边
成比例列出方程，建立适当的数学模型来解决问题．
10．（3分）（2015春?武汉校级月考）如图，已知△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，直角
∠EPF=90°，直角∠EPF的顶点P是BC的中点，两边PE、PF分别交AB、AC于E、F．给
出以下四个结论：①AF=BE；②△EPF是等腰直角三角形；③S四边形AEPF=S△ABC；
④EF2=BE2+CF2．（）
A．②③B．①②③C．①②④D．①②③④
考点：全等三角形的判定与性质；勾股定理；等腰直角三角形．菁优网版权所有
分析：通过证明△AFP≌△BEP就可以得出AF=BE，EP=PF，得出AE=CF，得出△EPF是
等腰直角三角形，由S四边形AEPF=S△APE+S△APF．就可以得出S四边形AEPF=S△CPF+S△APF，
就可以得出结论，由AF=BE，AE=CF得出EF2=BE2+CF2．
解答：解：∵AB=AC，∠BAC=90°，直角∠EPF的顶点P是BC的中点，
∴∠B=∠PAF=45°，BP=AP，
∵∠APE+∠BPE=90°，∠APE+∠APF=90°，
∴∠BPE=∠APF．
在△BPE和△APF中，
，
∴△AFP≌△BEP（ASA），
∴BE=AF，PE=PF，
故①AF=BE；②△EPF是等腰直角三角形正确；
∵EPF=90°，在Rt△EPF中，由勾股定理，得
EF2=PE2+PF2，
∴EF2=BE2+CF2．故④正确；
∵S四边形AEPF=S△APE+S△APF．
∴S四边形AEPF=S△CPF+S△APF=S△FAE=S△ABC．故③正确．
故选D．
点评：本题考查了等腰直角三角形的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，中位线
的性质的运用，等腰直角三角形的判定定理的运用，三角形面积公式的运用，解答时
灵活运用等腰直角三角形的性质求解是关键．
二、填空题：（每小题3分，共30分）
11．（3分）（2015春?武汉校级月考）一个三角形的三个内角的比为1：2：3，则这个三角
形的三边之比为1：：2．
考点：含30度角的直角三角形；勾股定理．菁优网版权所有
分析：由三角形内角和定理可求得三个内角的度数，再根据直角三角形的性质和勾股定理可
求得三边之比．
解答：解：设三角形的三个内角和为x°、2x°、3x°，
根据题意可得x+2x+3x=180，解得x=30，
∴三角形的三个内角分别为30°、60°和90°，
设30°角所对的边为y，则斜边为2y，另一直角边为y，
∴三边之比为1：：2，
故答案为：1：：2．
点评：本题主要考查三角形内角和定理和直角三角形的性质，求得三角形三个内角的大小得
出是含30°角的直角三角形是解题的关键．
12．（3分）（2015春?武汉校级月考）若等腰三角形腰长为4，腰上的高为2，则此等腰三角
形的底角为15或75度．
考点：含30度角的直角三角形；等腰三角形的性质．菁优网版权所有
专题：分类讨论．
分析：分该三角形为钝角三角形和锐角三角形两种情况，再结合直角三角形的性质可求得等
腰三角形的顶角，再根据等腰三角形的性质可求得底角．
解答：解：
若该三角形为钝角三角形，如图1，AB=AC=4，
过B作BD⊥AC，交AC的延长线于点D，
∵BD=2，AB=4，
∴∠BAD=30°，
又AB=AC，
∴∠ABC=∠C=15°，
若该三角形为锐角三角形，如图2，AB=AC，
过B作BD⊥AC交AC于点D，
∵AB=4，BD=2，
∴∠A=30°，
又AB=AC，
∴∠ABC=∠C==75°，
综上可知该三角形的底角为15°或75°，
故答案为：15或75．
点评：本题主要考查等有腰三角形、直角三角形的性质，求得顶角的度数是解题的关键．注
意分类讨论思想的应用．
13．（3分）（2015春?武汉校级月考）计算：=．
考点：二次根式的混合运算．菁优网版权所有
专题：计算题．
分析：先进行二次根式的乘法运算，再把各二次根式化为最简二次根式，然后合并即可．
解答：解：原式=4﹣+
=4﹣+4
=．
故答案为．
点评：本题考查了二次根式的计算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的
乘除运算，然后合并同类二次根式．
14．（3分）（2015春?武汉校级月考）三边长a，b、c满足a+b=10，ab=18，c=8的三角形是
直角三角形（形状）．
考点：勾股定理的逆定理．菁优网版权所有
分析：对原式进行变形，发现三边的关系符合勾股定理的逆定理，从而可判定其形状．
解答：解：∵（a+b）2﹣2ab
=100﹣36
=64，
c2=64，
∴a2+b2=c2，
∴此三角形是直角三角形．
故答案为：直角三角形．
点评：此题考查了勾股定理的逆定理，解答此题要用到勾股定理的逆定理：已知三角形ABC
的三边满足a2+b2=c2，则三角形ABC是直角三角形．
15．（3分）（2015春?武汉校级月考）一个三角形△ABC中，D是AB边上一点，且DA=DB=DC，
∠B=2∠A，BC=1，则这个三角形的面积是．
考点：含30度角的直角三角形；勾股定理．菁优网版权所有
分析：由条件可判定△ABC为直角三角形，且∠A=30°，可求得AB、AC，容易求得其面积．
解答：解：
∵DA=DB=DC，
∴∠C=90°，
∵∠B=2∠A，
∴∠A=30°，∠B=60°，
∴AB=2BC=2，由勾股定理可求得AC=，
∴S△ABC=AC?BC=××1=，
故答案为：．
点评：本题主要考查直角三角形的判定和性质，掌握一边的中线等于该边的一半则该三角形
为直角三角形是解题的关键．
16．（3分）（2015春?武汉校级月考）如图，长方体的长、宽、高分别为8、4、5，一只蚂
蚁沿长方体表面从顶点A爬到顶点B，则它走过的路程最短为．
考点：平面展开-最短路径问题．菁优网版权所有
分析：做此题要把这个长方体中，蚂蚁所走的路线放到一个平面内，在平面内两点之间线段
最短，根据勾股定理即可计算．
解答：解：第一种情况：把我们所看到的前面和右面组成一个平面，
则这个长方形的长和宽分别是12和5，
则所走的最短线段是=13；
第二种情况：把我们看到的右面与上面组成一个长方形，
则这个长方形的长和宽分别是13和4，
所以走的最短线段是=；
第三种情况：把我们所看到的前面和下面组成一个长方形，
则这个长方形的长和宽分别是9和8，
所以走的最短线段是=；
三种情况比较而言，第三种情况最短．
故答案为：．
点评：本题主要考查两点之间线段最短，“化曲面为平面”是解决“怎样爬行最近”这类问题的
关键．
三、解答题（共72分）
17．（6分）（2015春?武汉校级月考）计算：
．
考点：二次根式的混合运算；零指数幂；负整数指数幂．菁优网版权所有
专题：计算题．
分析：先根据零指数幂和负整数指数幂的意义和分母有理化得到原式=﹣﹣÷﹣
，然后进行二次根式的除法运算后合并即可．
解答：解：原式=﹣1﹣（3﹣）÷﹣
=﹣﹣÷﹣
=﹣﹣﹣﹣
=﹣﹣．
点评：本题考查了二次根式的计算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的
乘除运算，然后合并同类二次根式．也考查了零指数幂和负整数指数幂．
18．（6分）（2011秋?青山区校级期中）先化简，再求值：+﹣2，其中a=2．
考点：二次根式的化简求值；二次根式的加减法．菁优网版权所有
分析：先把原式中的每一项化到最简，再合并同类项，然后把a的值代入即可求出答案．
解答：解：+﹣2=3+4﹣5=2
把a=2代入原式得：
=2
=3．
点评：此题考查了二次根式的化简求值；解题的关键是把原始各项化到最简再合并．
19．（6分）（2012?武汉模拟）已知：x+=，求x﹣的值．
考点：完全平方公式．菁优网版权所有
专题：计算题．
分析：
根据完全平方公式得到（x﹣）2=（x+）2﹣4，则x﹣=±，
然后把x+=代入计算即可．
解答：解：∵（x﹣）2=（x+）2﹣4，
∴x﹣=±
而x+=，
∴x﹣=±=±1．
点评：本题考查了完全平方公式：（a±b）2=a2±2a+b2．也考查了代数式的变形能力．
20．（7分）（2011?上城区二模）一个三角形的三边长分别为、、
（1）求它的周长（要求结果化简）；
（2）请你给一个适当的x值，使它的周长为整数，并求出此时三角形周长的值．
考点：二次根式的应用；三角形三边关系．菁优网版权所有
专题：压轴题．
分析：把三角形的三边长相加，即为三角形的周长．再运用运用二次根式的加减运算，先化
为最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并．
解答：解：（1）周长=++
=
=，
（2）当x=20时，周长=，
（或当x=时，周长=等）
点评：对于第（2）答案不唯一，但要注意必须符合题意．
21．（7分）（2015春?武汉校级月考）在Rt△ABC中，AB=c，BC=a，AC=b，∠B=90°．
（1）已知b=8，c=4，求a．
（2）已知b=，a：c=1：2，求a、c．
考点：勾股定理．菁优网版权所有
分析：（1）由题意可知：斜边为b，直角边为a、c，直接由勾股定理求得答案即可；
（2）由a：c=1：2，得出c=2a，利用勾股定理求得答案即可．
解答：解：（1）a===4；
（2）∵a：c=1：2，
∴c=2a，
∵a2+c2=b2，
∴5a2=b2，
∵b=，
∴a=1，则c=2．
点评：本题考查了勾股定理在直角三角形中的运用，掌握勾股定理是解决问题的关键．
22．（8分）（2015春?武汉校级月考）已知Rt△ABC中，∠A=90°，AC=8，BC=10，将△ABC
沿直线ED折叠，使点B与点C重合，点A落在点F处，如图所示．
（1）求AB的长；
（2）求△ABC折叠后重叠部分（△CDE）的面积．
考点：翻折变换（折叠问题）；勾股定理．菁优网版权所有
分析：（1）根据勾股定理可求出AB的长度；
（2）根据对折，可得ED⊥CB，然后根据条件证明△CAB∽△CDE，根据相似比可
求出ED的长度，即可求出S△CDE．
解答：解：（1）∵在Rt△ABC中，∠A=90°，
∴AC2+AB2=BC2，
∴AB===6；
（2）∵△ABC沿直线ED对折，使B与C重合，点A落在点F处，
∴CD=DB=5，ED⊥BC，
∴∠EDC=90°=∠A，
∵∠ACB=∠CDE，
∴△CAB∽△CDE，
∴=，
∴ED===，
∴S△CDE=××5=．
点评：本题考查了翻折变换和勾股定理的知识，难度适中，解答本题的关键是熟练运用相似
三角形的性质求出ED的长度．
23．（10分）（2009?临夏州）如图，△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，∠ACB=∠ECD=90°，
D为AB边上一点，求证：
（1）△ACE≌△BCD；
（2）AD2+DB2=DE2．
考点：勾股定理；全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形．菁优网版权所有
专题：证明题．
分析：（1）本题要判定△ACE≌△BCD，已知△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，
∠ACB=∠ECD=90°，则DC=EA，AC=BC，∠ACB=∠ECD，又因为两角有一个公共
的角∠ACD，所以∠BCD=∠ACE，根据SAS得出△ACE≌△BCD．
（2）由（1）的论证结果得出∠DAE=90°，AE=DB，从而求出AD2+DB2=DE2．
解答：证明：（1）∵∠ACB=∠ECD=90°，
∴∠ACD+∠BCD=∠ACD+∠ACE，
即∠BCD=∠ACE．
∵BC=AC，DC=EC，
∴△ACE≌△BCD．
（2）∵△ACB是等腰直角三角形，
∴∠B=∠BAC=45度．
∵△ACE≌△BCD，
∴∠B=∠CAE=45°
∴∠DAE=∠CAE+∠BAC=45°+45°=90°，
∴AD2+AE2=DE2．
由（1）知AE=DB，
∴AD2+DB2=DE2．
点评：本题考查三角形全等的判定方法，及勾股定理的运用．
24．（10分）（2015春?武汉校级月考）如图，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，AB=AC，
AD=AE，∠BAC=∠DAE=90°．
（1）求证：△ACE≌△ABD；
（2）若AC=2，EC=4，DC=2，求∠ACD的度数；
（3）在（2）的条件下，直接写出DE的长为．（只填结果，不用写计算过程）
考点：全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形．菁优网版权所有
分析：（1）根据等腰直角三角形的性质可以得出∠EAC=∠DAB，再有AB=AC，AD=AE，
根据SAS就可以得出结论；
（2）根据勾股定理可以求出BC的值为2，就可以得出BC=DC，在△BCD中由
勾股定理的逆定理可以得出△BCD为等腰直角三角形，就可以得出∠BCD=90°，从而
得出∠ACD的度数；
（3）由（2）可以知道∠CDB=45°，而∠ABC=45°，就可以得出△ABD是直角三角形，
由勾股定理就可以求出AB的值，再由勾股定理就可以求出DE的值．
解答：解：（1）∵∠BAC=∠DAE=90°，
∴∠BAC﹣∠DAC=∠DAE﹣∠DAC，
即∠EAC=∠BAD．
在△ACE和△ABD中，
，
∴△ACE≌△ABD（SAS）；
（2）∵△ACE≌△ABD（SAS），
∴DB=EC=4，
在Rt△ABC中，AB2+AC2=BC2，
∴BC2=22+22=8，
在△DBC中，BC2+DC2=8+8=16=42=BD2，
∴∠DCB=90°，
∴∠ACD=90°+45°=135°；
（3）∵BC2=8，DC2=8，
∴BC=DC．
∵∠DCB=90°，
∴∠DBC=45°．
∵∠ABC=45°，
∴∠ABD=90°．
在Rt△ABD中由勾股定理，得：
AD=．
在Rt△AED中由勾股定理，得：
ED=．
故答案为：．
点评：本题考查了等腰直角三角形的性质的运用，勾股定理的运用及勾股定理的逆定理的运
用，全等三角形的判定及性质的运用，解答时灵活运用勾股定理及逆定理是解答本题
的关键．
25．（12分）（2015春?武汉校级月考）已知：如图，A、B两点坐标为（0，4），B（4，0），
P为线段AB上的任一点，过P作OP的垂线与过B点的x轴的垂线交于点Q，OQ与直线
AB交于点M．请探究解答下列问题：
（1）判断△OPQ的形状并证明；
（2）三条线段AP、PM、BM之间存在何种相等的数量关系？证明你的结论．
（3）当点p在线段AB上运动时，请问：BP﹣BQ的值是否发生变化？若不变，请求出
其值；若变化，请说明理由．
考点：全等三角形的判定与性质；坐标与图形性质．菁优网版权所有
分析：（1）根据题意得△OAB是等腰直角三角形，再证明O、P、Q、B四点共圆，得出
∠OBP=∠OQP=45°，即可得出△OPQ是等腰直角三角形；
（2）以OM为对称轴，作OB的轴对称图形得OB′，连接PB′，则△OBM≌△OB′M，
得出BM=B′M，∠OBM=∠OB′M=45°，再证明△AOP≌△B′OP，得出AP=B′P，
∠OAP=∠OB′P=45°，证出△PB′M是直角三角形，即可得出结论；
（3）先求出直线AB的解析式为：y=﹣x+4，设点P的坐标为（a，4﹣a），由勾股定
理得OP2+PQ2=OQ2，得出2[a2+（4﹣a）2]=42+BQ2，解得，BQ2=（2a﹣4）2，当点
P运动至AB的中点时，点Q与点B重合，不合题意，得出a＜2，BQ=4﹣2a，由BP
﹣BQ=（8﹣2a）﹣（4﹣2a）=4，即可得出结论，定值为4．
解答：解：（1）△OPQ是等腰直角三角形；理由如下：
∵A（0，4），B（4，0），
∴OA=OB，
∴△OAB是等腰直角三角形，
∵OP⊥PQ，BQ⊥x轴，
∴∠OPQ=∠OBQ=90°，
∴∠OPQ+∠OBQ=180°，
∴O、P、Q、B四点共圆，
∴∠OBP=∠OQP=45°（同弧所对的圆周角相等），
∴△OPQ是等腰直角三角形；
（2）PM2=BM2+AP2，AP、PM、BM成勾股关系；理由如下：
以OM为对称轴，作OB的轴对称图形得OB′，连接PB′，如图所示：
∵OB和OB′关于OM对称，
∴△OBM≌△OB′M，
∴BM=B′M，∠OBM=∠OB′M=45°，
由（1）知∠POQ=45°，
∴∠AOP+∠BOM=45°，
又∠BOM=∠B′OM，∠B′OP+∠B′OP=45°，
∴∠AOP=∠B′OP，OA=OB′=4，OP=OP，
∴△AOP≌△B′OP，
∴AP=B′P，∠OAP=∠OB′P=45°，
∴△PB′M是直角三角形，
∴PM2=B′M2+B′P2，即PM2=BM2+AP2，
∴AP、PM、BM成勾股关系；
（3）不发生变化；理由如下：设直线AB的解析式为y=kx+b，
把A（0，4），B（4，0）代入得：，
解得：k=﹣1，b=4，
∴直线AB的解析式为：y=﹣x+4，
∴设点P的坐标为（a，4﹣a），
∴BP=（4﹣a）=8﹣2a，
∵OP2+PQ2=OQ2，
∴2OP2=OB2+BQ2，
∴2[a2+（4﹣a）2]=42+BQ2，
解得，BQ2=（2a﹣4）2，
∵当点P运动至AB的中点时，点Q与点B重合，
∴不合题意，
∴a＜2，
∴BQ=4﹣2a，
∴BP﹣BQ=（8﹣2a）﹣（4﹣2a）=4，
∴BP﹣BQ的值没有发生变化，定值为4．
点评：本题考查了坐标与图形性质、等腰直角三角形的性质与判定、直角三角形的判定、一
次函数解析式的确定、勾股定理；本题难度较大、综合性强，特别是（2）（3）中，
需要通过作辅助线才能得出结论．
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