第一节角、相交线、和平行线第二节三角形的基本概念及全等三角形第三节等腰三角形第四节直角三角形第
四章三角形第四章三角形第一节角、相交线和平行线知识点1:直线、射线、线段AC=BC=AB?点C
为线段AB中点.3.两点间的距离:连接两点的的.?1.定义:具有公共
的两条组成的图形.?2.角平分线角平分线上的点到角两边的距离.?3.圆角、平角、直
角4.两个角的和为,则这两个角互为余角;两个角的和为,则这两个角互
为补角.?5.同角(或等角)的角或角相等.?有且只有线段线段长
度端点射线相等直角平角补余1.性质:过两点一条直线;两点之间最
短.?2.线段的中点:知识点2:角1.对顶角、邻补角、垂直的定义.2.同位角、内错角、同旁内角的定义.3
.垂线的性质:(1)在内,经过一点
与已知直线垂直.?(2)垂线段最短.(3)必须强调“在同一平面内”,否则,在空间里,经过一
点与已知直线垂直的垂
有无数条.4.点到直线的距离:从直线外一点到这条直线的
的长度叫做点到直线的离.“距离”是一个数量,而不是一条线段.?同一个平面有且只有
一条直线垂线段知识点3:相交线、垂线及其性质1.平行公理:经过直线外一点,有且只有一条直线与这条直线,必须
强调过直线外一点.?2.性质与判定:两直线平行?同位角;两直线平行?内错角
;两直线平行?同旁内角.?3.平行于同一条直线的两直线平行.4.
两条平行线中,一条直线上的任意一点到另一条直线的,叫做这两条平行线间的
距离,夹在两条平行线间的平行线段.?平行相等相等互补距离相等知识点4:平行线1.命题、真命题
、假命题、逆命题、定理、逆定理的概念.2.证明一个命题是假命题时,只要举出说明命题不成立就可以了.?3.反证
法的含义:不是直接从推出结论,而是从命题出发,引出与
,从而证明命题成立.?反例题设结论的反面已知条件、定义、公理、定理相矛盾的结果知识点5:命题与证明线段、角
的计算点A、B、C在一条直线上,AB=4cm,BC=6cm,AB中点为M,BC中点为N,则MN=.?【分
析】有两种情况:MN=(AB+BC)或MN=(BC-AB).【解】5cm或1cm平行线的性质与判定的综
合运用如图,AB∥CD,分别探讨下面四个图形中∠APC与∠PAB、∠PCD的关系,请你从所得到的关系中任选一个加以证明.【分析
】过点P作PE∥AB,由AB∥CD得AB∥PE∥CD,由平行线的性质可证明三个角之间的关系.【解】
①∠APC=∠PAB+∠PCD;②∠APC=360°-(∠PAB+∠PCD)
;③∠APC=∠PAB-∠PCD;④∠APC=
∠PCD-∠PAB.证明:①过p作PE∥AB,∵AB∥CD,∴PE∥CD,∴∠PAB=∠APE,∠PCD=∠CPE,∵∠APC
=∠APE+∠CPE,∴∠APC=∠PAB+∠PCD.两点确定一条直线的探究问题阅读下列材料并填空:(1)探究:平面上有n个
点(n≥2)且任意3个点不在同一条直线上,经过每两点画一条直线,一共能画多少条直线?我们知道，两点确定一条直
线，平面上有2个点时，可以画=1条直线；平面上有3个点时，一共可以画=3(条)直线;平面上有
4个点时，一共可以画=6(条)直线;平面上有5个点时，一共可以画________条直线;……平面上有n个点时,
一共可以画_____条直线.(2)迁移:平面上有n条直线两两相交,最多有个交点,最多有对顶角,
对邻补角.?(3)迁移:某足球比赛中有n个球队(n≥2)进行单循环比赛(每两队之间必须比赛一场),一共要进
行多少场比赛?【分析】此题给出了几种特殊情况,可通过究结果.【方法归纳】平面上n个点，作图分析出结果,也可从分子
、分母数字的变化规律得到探连接任意两点的线段有条，探究过程与此题方法类似.(2)按
角分类:直角三角形、、.?锐角三
角形钝角三角形知识点1:三角形的分类第二节三角形的基本概念及全等三角形1.分类:按边分类不等边三
角形等腰三角形腰与底不相等腰与底相等即三边相等(等边三角形)2.三角形的三边关系:三角形的任意两边之和
第三边,任意两边之差第三边.判断三条线段是否能够成一个三角形三边时,只需看较小两边的和是否大于第三边.?
3.三角形的内角和与三角形的外角和(1)三角形的内角和等于.?(2)三角形的外角和等于
.?(3)三角形的一个外角与它不相邻的两个内角之和,大于
.?求三角形内角或外角时,要明确所求的角属于哪个三角形的内角或外角,注意
题中的等量关系.大于小于180°360°等于任何一个不相邻的内角1.三角形具有稳定性2.三角形中的重要线段:(如表
)名称性质角平分线角平分线上的点到角的距离相等,逆命题也成立;三角形的角平分线的交点到
的距离相等,这个交点叫三角形的?中线直角三角形斜边上的中线等于斜边?三角形的中线三角形
的面积?高线高线可能在三角形内、三角形外或边上垂直平分线三边垂直平分线的交点到三角形各个顶点距离相等,这个交点叫三角形
的?中位线三角形的中位线于第三边,并等于?两边三边
内心一半等分外心平行第三边的一半【注意】三角形的中线、高线、角平分线都是线段而不是直线.知识点2:一般三角形的性质
1.判定三角形全等的条件有,没有SSA,直角
三角形全等的条件还有.?2.全等三角形的对应边,对应角,对应线段(对应边上的中线
,对应边上的高,对应角的平分线),周长,面积.?SAS、ASA、AA
S、SSSHL相等相等相等相等相等知识点3:三角形全等三角形的分类已知a、b、c为三个正整数,如果a+b+c=1
2,那么以a、b、c为边能组成的三角形是:①等腰三角形.②等边三角形.③直角三角形.以上符合条件的正确结论是(只填序号).
?【解】①②③【分析】题中对a、b、c有两个要求:一是a、b、c均为正整数,二是满足关系式a+b+c=12.那么当a=b=
5,c=2时,该三角形就是等腰三角形;当a=b=c=4时,即为等边三角形;当a=3,b=4,c=5时,即为直角三角形.这就
充分说明了三个结论都正确.角平分线的性质定理及逆定理的应用如图,△ABC的外角∠ACD的平分线CP与内角∠ABC的平分线BP
交于P,若∠BPC=40°,则∠CAP=.?【解】500【分析】点P是△ABC一个内角与一个外角平分线交点，点P一
定在第三个内角的外角平分线上，则PA平分∠BAC的外角，求出∠BAC问题就迎刃而解.如图，过P作PGAB交BA延长线于G，
作PHAC于H,PQBC交BC延长线于Q，由题意知∠1=∠2，∠3=∠4,PG=PQ,PQ=P
H,PG=PH,∠5=∠6,又∠BPC=，易求出∠BAC=,∠5=∠6=全等三角
形的判定与性质和三角形中位线定理的综合(2013·永州)如图,M是△ABC的边BC的中点,AN平分∠BAC,BN⊥AN于点N,延
长BN交AC于点D,已知AB=10,BC=15,MN=3.【分析】先用ASA证明△ABN≌△AND,从而证明出BN
=DN;再运用三角形中位线定理求出CD的长,运用全等三角形的性质求出AD的长即可求周长.【解】(1)证明:∵AN平
分∠BAC,∴∠BAN=∠DAN.∵BN⊥AN,∴∠ANB=∠AND=90°,又∵AN=AN,∴△ABN≌△ADN,∴BN=DN.
(2)∵BM=CM,BN=ND,MN=3,∴CD=2MN=6.∵△ABN≌△ADN,AB=10,∴AD=AB=10.∴△ABC的
周长=10+10+6+15=41.(1)求证:BN=DN.(2)求△ABC的周长.第三节等腰三角形1.定义:有
相等的三角形叫做等腰三角形.?2.性质:(1)等腰三角形的两个相等(简称“等边对
”).?(2)等腰三角形的顶角线、底边上的线、底边上的线互相重合(
简称“三线合一”).?(3)等腰三
角形是对称图形,有条对称轴.?3.判定:如果一个三角形有两个相等,那么这两个角所对的也相
等(简称“等角对等边”).?【注意】(1)“等边对等角”、“等角对等边”仅限于同一个三角形中边与角的关系.(2)如果等腰三角形的
腰不明确时,注意分类思考.两边底角等角平分中高轴1角边知识点1:等腰三角形1.定义:都相
等的三角形叫做等边三角形.?2.性质:等边三角形的三个都相等,且都等于.?3.判定:①三条
都相等的三角形是等边三角形;?②有一个角是的三角形是等边三角形.?1.定义:
一条线段的直线,叫做这条线段的垂直平分线.?2.性质:线段垂直平分线上的点到这条线段的距离相等.
?3.逆定理:到一条线段距离相等的点在这条线段的垂直平分线上.?三边角60°边60°等腰
垂直平分两端点两端点知识点3:线段的垂直平分线知识点2:等边三角形在△ABC中,AB=AC,AB的垂直平分线与AC所在
直线相交所得的锐角为50°,则底角∠B=.?【分析】按照题意我们可以画出如图①和如图②所示的两种图形.如图①,当交点在腰A
C上时,△ABC是锐角三角形,此时可求得∠A=40°,所以∠B=70°;如图②,当交点在腰CA的延长线上时,△ABC为钝角三角形,
此时可求得∠BAC=140°,所以∠B=20°.故这个等腰三角形的底角为70°或20°.【解】70°或20°【方法归纳】在等腰
三角形中,只要知道其中一个内角的度数,就能算出其他两个内角的度数,如果题中没有确定这个内角是顶角还是底角,必须分成两种情况来讨论.
等腰三角形的分类思想等腰三角形、等边三角形的判定与性质【分析】如图,延长AD交BC于M,由AB=AC,AD是∠BAC的平分线
可得AM⊥BC,BM=MC=BC,延长ED交BC于N,则△BEN是等边三角形,故EN=BN=BE=6cm,∴DN=6c
m-2cm=4cm,在Rt△DMN,∵∠MDN=30°,∴MN=DN=2cm,∴BM=6cm-2cm=4
cm,∴BC=2BM=8cm.如图,在△ABC中,AB=AC,D、E是△ABC内的两点,AD平分∠BAC,∠EBC=∠E=
60°,若BE=6cm,DE=2cm,则BC=cm.?【解】8第四节直角三角形在△ABC中,∠C=90°,∠A、∠B、∠C的对边分别为a,b,c.(1)边与边的关系:(勾股定理)a2+b2=;?(2)角与角的关系:∠A+∠B=;?(4)斜边上中线等于斜边的.?c290°一半知识点1:直角三角形的性质1.有一个角是直角的三角形是直角三角形.2.勾股定理逆定理:如果三角形的三边长a、b、c满足a2+b2=c2,那么这个三角形是直角三角形.3.如果三角形一条边上的中线等于这条边的一半,那么这个三角形是直角三角形.【注意】勾股定理逆定理是判断一个三角形是否是直角三角形的重要方法,应先确定最大边,然后验证两条短边的平方和是否等于最大边的平方.知识点2:直角三角形的判定 |
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