第七章图形与变换第一节图形的平移、旋转与对称第二节相似形第三节锐角三角函数及解直
角三角形第四节视图与投影第七章图形与变换第一节图形的平移、旋转与对称知识点1:图形的对称1.轴对称与轴对称
图形的区别:轴对称图形是对于个图形而言,轴对称是对于个图形而言.?2.中心对称与中心对称图形区别:中
心对称图形是对于个图形而言,中心对称是对于个图形而言.?一两两一3.中心对称的性质:在成中
心对称的两个图形中,连接对应点的线段都经过且被平分.?4.常
见的轴对称图形有、、、、
等;常见的中心对称图形有、、、
的正n边形等;有些图形既是轴对称图形也是中心对称图形,如、、
、等.?对称中心对称中心等腰三角形矩形菱形等腰梯形
正多边形平行四边形矩形菱形边数为偶数圆矩形菱形正n边形(n为偶数)知识点2:图形的平移与旋转1.图形的平移是由
和所决定.?2.图形的旋转是由
、和所决定.?3.平移、旋转、轴对称的联系与区别.
(1)联系:这三种变换都是全等变换.(2)平移、旋转、轴对称的区别:平移变换旋转变换轴对称运动方式将图形沿某一个方向
平行移动一定的距离将图形绕一个定点沿某个方向转动一个角度将图形沿着某条直线折叠对应线段、对应角之间的关系平移变换前后图形的
对应线段平行(或在一条直线上)且相等,对应点所连的线段平行且相等;对应角相等旋转变换前后图形的任意一对对应点与旋转中心的连线所成
的角都是旋转角轴对称的对应线段或延长线相交,交点在对称轴上,成轴对称的两个图形对应点连线被对称轴垂直平分平移的方向平移的距离
旋转中心旋转方向旋转角知识点3:图形变换与坐标1.横(纵)坐标不变,纵(横)坐标按照比例增大或减小时,图形“拉长”或“压
缩”.2.纵坐标不变,横坐标增加(减少),则图形沿x轴方向向平移;反之,横坐标不变,纵坐标增加(减少),
图形沿y轴方向向平移.?知识点4:网格作图(对称、平移、旋转)1.对称作图的方法和步骤:(1)找出原图
形的关键点;(2)作出关键点关于对称轴(或对称中心)的对称点;(3)按照原图形依次连接得到的各关键点的对应点,即得到对称后的图
形.2.平移作图的方法和步骤:(1)确定平移的方向和平移的距离;(2)确定关键点,将各关键点按照要求的平移方向与距离作图;
(3)按原图形的顺序连接平移后的关键点即得到平移后的图形.3.旋转作图的方法和步骤:(1)根据题意,确定旋转中心及旋转方向、旋
转角;(2)找出原图形的关键点;(3)连接关键点与旋转中心,按旋转方向与旋转角将它们旋转,得到各关键点的对应点;(4)按原图
形依次连接得到的各关键点的对应点,得到旋转后的图形.右(左)上(下)轴对称图形与中心对称图形的概念(2013·泰州)下列标
志图中,既是轴对称图形,又是中心对称图形的是()【分析】(1)把所要判断的图形沿一条直线折叠后,直线两旁的部分能够互相重合的
图形是轴对称图形.(2)把所要判断的图形绕着某个点旋转180°后能与自身重合的图形是中心对称图形.【解】B图形的折叠与轴对
称【分析】有两种情况,△CEB''中,很显然∠ECB''为锐角,当∠EB''C=90°时,∠AB''E=90°,则A、B''、C共线,点
B''在对角线AC上,可得B''C=2.Rt△CEB''中由勾股定理可求B''E=BE=,当∠B''EC=90°时,可得四边形AB
EB''为矩形,又AB=AB'',则四边形ABEB''为正方形,则EB=3.【解】1.5或3(2013·河南)如图,在矩形
ABCD中,AB=3,BC=4,点E是BC边上一点,连接AE,把∠B沿AE折叠,使点B落在点B''处.当△CEB''为直角三角形时,B
E的长为.?如图,正方形ABCD的边长是3,点P是直线BC上一点,连接PA,将线段PA绕点P逆时针旋转90°得到线段PE
,在直线BA上取点F,使BF=BP,且点F与点E在BC同侧,连接EF、CF.(1)如图①,当点P在CB延长线上时,求证:四边形P
CFE是平行四边形;(2)如图②,当点P在线段BC上时,四边形PCFE是否是平行四边形,说明理由;(3)在(2)的条件下,四边
形PCFE的面积是否有最大值?若有,请求出面积的最大值及此时BP的长;若没有,请说明理由.【分析】(1)通过△FBC≌△PBA易
证FC=AP=PE,FC∥EP.(2)与(1)方法类似.(3)设BP=x,则BF=x,CP=3-x,设面积为y,可得y=x(3-x
)=-x2+3x(0∠ABC=∠PBA=90°.又∵BP=BF,∴△PBA≌△FBC,∴PA=FC,∠PAB=∠FCB.又∵PA=PE,∴PE=FC.
∵∠PAB+∠APB=90°,∴∠FCB+∠APB=90°.又∵∠EPA=90°,∴∠APB+∠EPA+∠FCP=180°,即∠E
PC+∠PCF=180°.∴EP∥FC,∴四边形PCFE是平行四边形.(2)解:结论:四边形PCFE是平行四边形.如图②,∵四
边形ABCD是正方形,∴AB=BC,∠ABC=∠CBF=90°.又∵BP=BF,∴△PBA≌△FBC.∴PA=FC,∠PAB=∠F
CB.又∵PA=PE,∴PE=FC.∵∠FCB+∠BFC=90°,∠EPB+∠APB=90°,∴∠BPE=∠FCB,∴EP∥FC,
∴四边形EPCF是平行四边形.轴对称、平移、旋转综合将两块全等的含30°角的三角尺如图1摆放在一起,它们的较短直角边长为3.
(1)将△ECD沿直线l向左平移到图2的位置,使E点落在AB上,则CC''=.?(2)将△ECD绕点C逆时针旋转到图3的位
置,使点E落在AB上,则△ECD绕点C旋转的度数=.?(3)将△ECD沿直线AC翻折到图4的位置,ED''与AB相交于点F
,求证:AF=FD''.【分析】(1)求出AE的长,然后在Rt△AE''E中求出EE''的长.(2)△ECD绕点C旋转的度数即∠EC
E''的度数.(3)证△AEF≌△D''BF,进而得出AF=FD''.【解】(1)CC''=3-.理由如下:∵EC=3,∠A=30°,
∴AC=3,∴AE=3-3,∴CC‘=EE’=AE·tan30°=3-.(2)△ECD绕点
C旋转的度数即∠ECE''的度数.∵∠ABC=60°,BC=CE'',AB=6,∴△E''BC是等边三角形,∴∠BCE''=60°,
∴∠ECE''=90°-∠BCE''=30°.(3)在△AEF和△D''BF中,∵AE=AC-EC,D''B=D''C-BC.又AC
=D''C,EC=BC,∴AE=D''B.又∠AEF=∠D''BF=180°-60°=120°,∠A=∠CD''E=30°,∴△AEF
≌△D''BF,∴AF=FD''.【方法归纳】轴对称变换、平移变换和旋转变换都属于全等变换,即变换前后的两个图形,位置改变,形状
、大小不变.网格作图(2013·眉山节选)如图,在11×11的正方形网格中,每个小正方形的边长都为1,网格中有一个格点△AB
C(即三角形的顶点都在格点上).(1)在图中作出△ABC关于直线l对称的△A1B1C1.(要求A与A1,B与B1,C与C1相对
应)(2)作出△ABC绕点C顺时针方向旋转90°后得到的△A2B2C.【分析】(1)根据网格结构找出点A、B、C关于直线l的
对称点A1、B1、C1的位置,然后顺次连接即可.(2)根据网格结构找出点A、B绕点C顺时针旋转90°后的A2、B2的位置,然后顺次
连接即可.【解】(1)△A1B1C1如图所示.(2)△A2B2C如图所示.第二节相似形知识点1:比例线段及其性质1.如
果=,那么,反之也成立;?2.对于四条线段a,b,c,d,如果=?,那么这四条线段
.?ad=bc成比例知识点2:相似多边形的定义及性质如果两个多边形的角分别,边
,那么这两个多边形叫做.?相似多边形的对应角,
对应边.?相等成比例相似多边形相等成比例知识点3:平行线分线段成比例性质1.两条直
线被一组平行线所截,所得成比例.?2.平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线),所得的
对应线段.?知识点4:相似三角形的判定1.如果两个三角形的三个角分别,三
边,那么这两个三角形相似.?2.平行于三角形一边的直线和其他两边相交,所构成的三角形与原三角形
.?3.三边的两个三角形相似.?4.两边且相等的两个三角形相
似.?5.两角的两个三角形相似.?6.斜边和一直角边的两个直角三角形相
似.?对应线段成比例相等成比例相似成比例成比例夹角分别相等成比例知识点5:相似三角形的性质1.相似三角形
的对应角,对应边.?2.相似三角形对应高的比,对应中线的比与对应角平分线的比都等于
,即相似三角形对应线段的比等于.?3.相似三角形周长的比等于
面积之比等于.?知识点6:位似1.两个多边形不仅
,而且对应顶点的连线,对应边,这样的两个图形叫做位
似图形,这点叫做,这两个图形关于这点。?2.在平面直角坐标系中,如果
以原点为位似中心,新图形与原图形的相似比为k,那么与原图形上的点(x,y)对应的位似图形上的点的坐标为_________或?___
______相等成比例相似比相似比相似比相似比的平方相似相交于一点互相平行位似中心位似(kx,ky)(-
kx,-ky)比例的性质相似多边形的性质相似三角形的判定与性质【[分析】(1)由两角对应相等的两三角形是相似三角形可得;(
2)由相似三角形性质求BG长，由AB长，可求AC,BC长，在Rt△FCG中由匀股定理求FG长.【方法归纳】此题是由相似三角形
性质与勾股定理相结合求边的长度.位似图形的作图及位似图形的性质如图,在所给网格图(每小格均为边长是1的正方形)中完成下列各题
.(1)图形ABCD与图形A1B1C1D1关于直线MN成轴对称,请在图中画出对称轴并标注上相应字母M、N;(2)以图中O点为位
似中点,将图形ABCD放大,得到放大后的图形A2B2C2D2,则图形ABCD与图形A2B2C2D2的对应边的比是多少?(注:只要写
出对应边的比即可)(3)求图形A2B2C2D2的面积.第三节锐角三角函数及解直角三角形知识点1:锐角三角函数1.锐角三
角函数的定义在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A、∠B、∠C的对边分别是a,b,c,则sinA=,cosA=,tan
A=.?2.特殊角的三角函数值αsinαcosαtanα30°45°160°3.直角三角形的边
角关系在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A、∠B、∠C的对边分别是a,b,c.(1)三边关系:勾股定理
;?(2)三角关系:;?(3)边角之间
的关系:sinA==cosB,cosA==sinB,tanA=.?a2+b2=c2∠A+∠B=∠C=90°
知识点2:解直角三角形在直角三角形中,由已知元素求的过程叫做解
直角三角形.其余未知元素常见类型:已知条件解法一边一角已知斜边c和一个锐角A①∠B=90°-∠A②a=③b
=已知一条直角边a和一个锐角A①∠B=90°-∠A②c=③b=两边已知斜边c和一条直角边a①b=②利用sinA=
,求∠A③∠B=90°-∠A已知两条直角边a,b①c=②利用,求∠A③∠B=90°
-∠Ac·sinAc·cosAa/sinAtanA=知识点3:解直角三角形的实际应用1.仰角、俯角2.坡角、坡度(
1)坡角即α;(2)坡比(坡度):i==.?3.有关方位角问题(航海问题)的表示方法(如图
)tanα知识点4:解直角三角形实际应用的方法解直角三角形或构造直角三角形解决实际问题一般先把实际问题转化为数学问题,
若题中无直角三角形,需要添加辅助线构造直角三角形,再利用解直角三角形的知识求解,而需要注意的是在解直角三角形中,锐角三角函数起着桥
梁作用.锐角三角函数及特殊角三角函数值由已知条件解直角三角形如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=8,∠BAC的平分线
AD=,求∠B的度数及边长BC、AB的长.【分析】在Rt△ABC中,已知AC,则需再设法找出另一条件.可先解Rt
△ACD,求出∠DAC,从而求出∠BAC,这样就可解直角三角形ABC.【方法归纳】在解直角三角形时,要注意灵活地运用已知的边和角求未知的边和角.解直角三角形的实际应用2013·眉山)如图,某防洪指挥部发现长江边一处长500m,高10m背水坡的坡角为45°的防洪大堤(横断面为梯形ABCD)急需加固.经调查论证,防洪指挥部专家组制定的加固方案是:背水坡面用土石进行加固,并使上底加宽3m,加固后背水坡EF的坡比i=1∶.(1)求加固后坝底增加的宽度AF.(2)求完成这项工程需要土石多少立方米?(结果保留根号)【分析】(1)分别过点E、D作AB的垂线,设垂足分别为G、H.在Rt△EFG中,根据坡面的铅直高度(即坝高)及坡比,即可求出水平宽FG的长;同理可在Rt△ADH中求出AH的长;由AF=FG+GH-AH求出AF的长.(2)已知梯形AFED的上下底和高,易求得其面积.梯形AFED的面积乘以坝长即为所需的土石的体积. |
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