第3节与圆有关的位置关系
1．点与圆的位置关系．
设点与圆的圆心距离为d．圆的半径长为尺，则
(注意：当d一0时，点P与圆心重合，圆心也是圆内的点)
2．直线与圆的位置关系有三种：相离、相切、相交．
设⊙O的半径长为R，圆心°到直线，的距离为d．则
切线性质定理：经过切点的半径垂直于切线；
切线判定定理：经过半径外端且垂直于半径的直线是圆的切线．
3．圆与圆的位置关系有三种情况：没有公共点，两圆相离；有唯一公共点，两圆相切；有两个公共点，两圆相交．而相离又分为外离与内含，相切又分为外切与内切．
设⊙O1与⊙O2的半径长分别为R、r(R≥r),圆心距为d，则
(注意：当两圆是等圆时，内切与内含不存在．这时两圆的位置关系只有外离、外切、相交)
两圆相交的性质定理：连心线垂直平分公共弦；
两圆相切的性质定理：连心线经过切点．
一、点与圆的位置关系
根据点和圆心的距离与圆半径之间的数量关系来判定点与圆的位置关系．
例题精解
例1已知矩形ABCD中，AB=3，BC=4，以点A为圆心作⊙A．⊙A的半径长为r.
(1)当，一取何值时，其余三点均在⊙A外?
(2)当r取何值时，至少有一点在⊙A内，且至少有一点在⊙A外?
点评点和圆的位置关系与点到圆心的距离之间的数量关系是互相对应的．知道位置关系可以确定数量关系；知道数量关系可以确定位置关系．这体现了数与形的结合．
举一反三
l一1如图1—3一1．在△ABC中，AB=AC=5，点M是BC的中点，以M为圆心、MC为半径作OM．
(1)当BC=8时判断点A与⊙M的位置关系；
(2)当BC=6时判断点A与⊙M的位置关系；
(3)当BC=5时判断点A与⊙M的位置关系
1—2如图1—3—2，半径长都是r的⊙O1和⊙O2相交．且点O2与⊙O1上．
(1)求证：点O1在⊙O2上；
(2)求⊙O1和⊙O2公共部分的面积．
点评如果去掉本题中的第(1)小题，直接提出“求⊙O1和⊙O2公共部分的面积”，那么很有可能有人会跳过证明“点O1在⊙O2上”这一步，这是不对的．“若两等圆相交，其中一个圆经过另一个圆的圆心，则这个圆的圆心也一定在另一个圆上”，这一点必须加以证明．
1—3在坐标平面上有点A(-，1)，已知⊙A经过原点O，且与x轴的另一个交点为B．
(1)求点B的坐标；
(2)求△AOB外接圆的圆心C的坐标和半径长R．
二、直线与圆的位置关系
根据直线和圆心的距离与圆半径长之间的数量关系来判定直线与圆的位置关系．
例题精解
例2已知Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=3，BC=4，以点B为圆心作OB．
(1)若⊙B与斜边AC相切，求⊙B的半径长．
(2)若⊙B与斜边AC只有唯一一个公共点，求⊙B的半径长R的取值范围．
(3)若⊙B与斜边AC有两个公共点，求⊙B的半径长R的取值范围．
(4)若⊙B与斜边AC没有公共点，求⊙B的半径长R的取值范围．
点评本题告诉我们仔细审题的重要性．例如⊙B与斜边AC只有唯一的公共点，它不仅存在⊙B与斜边AC相切这种情形，还存在⊙B与线段AC相交且只有一个交点的情形；其次，在审题时要“咬文嚼字”，譬如°“斜边”指的是“线段”而不是“直线”，再譬如不说“一个交点”而说“一个公共点”，是因为“公共点”既可以是切点，也可以是交点，而“一个交点”则不包括切点．
举一反三
2一l如图l一3—6，Rt△ABC中．∠B=90°，∠A的平分线交BC于D，E为AB上一点．以D为圆心、DB为半径作⊙D．(1)求证：AC是OD切线；(2)求证：AB+EB=AC
点评本题的已知条件不能说明直线A(C与⊙D是否有公共点．在这种情况下．应当用“圆心到直线的距离等于半径长”来判定直线与圆相切．
2—2如图1—3—8，Rt△ABC中，∠ABC=90°．以AB为直径作⊙D交AC边于点D．E是BC边的中点．联结DE．
(1)求证：直线DE是⊙D的切线；
(2)若点D是AC的中点，判断四边形OBED的形状，并说明理由．
点评在已知直线与圆有公共点的情况下要证明直线与圆相切°应当用判定定理．即“经过半径外端且垂直于半径的直线是圆的切线”．简单地说．就是“联半径．证垂直”．
2—3如图1—3—10，已知⊙O中，P是半圆AB上一动点．C是AB延长线上一点，PC=PA
(1)已知BC=OA．求证：PC是⊙O的切线；
(2)没AB=8．AP=x,当直线PC与⊙O相交时．求x的取值范围．
三、圆与圆的位置关系
根据圆心距与两圆半径长之和或两圆半径长之差之间的数量关系来判定圆与圆的位置关系．
例题精解
例3已知Rt△ABC中，∠ABC=90°．AB=3，BC=4，以点B为圆心作OB与斜边AC相切，又以点A为圆心作OA与⊙B相切．求OA的半径长．
举一反三
3—1已知⊙O1和⊙O2相交于A、B两点，连心线O1O2交AB于点C，O1A=,O2A=,AB=6．求∠O1AO2的度数．
点评已知两圆相交，应当考虑两圆圆心与公共弦的位置关系：两个圆心在公共弦两侧或同侧．
3—2如图1—3—14，⊙O1和⊙O2相交于P、Q，点C是线段O1O2的中点，AB过点P
交⊙O1于A，交⊙O2于B．且AP=PB．求证：CP⊥AB．
点评在圆中，弦心距是常用的辅助线．在本题中．两圆中的两条弦心距构成了梯形的两底．最后通过梯形的中位线定理解决问题．
3—3如图1—3—16，⊙O1与⊙O2内切于点P，经过⊙O1上点Q的切线与⊙O2相交于A、B两点，直线PQ交⊙O2于点R，求证：．
点评“两圆相切，连心线过切点”，连心线是一条常添的辅助线．
引申如图1—3—18，上题中，若将“⊙O1与⊙O2内切于
点P”改为“⊙O1与⊙O2外切于点P”．其他的条件不变．上述
结论是否仍然成立?
内容提炼
1．数量关系是位置关系的内在反映．
(1)用公共点的个数定义位置关系．
直线与圆、圆与圆的位置关系都是通过它们之间公共点的个数来定义的．
这是用数量关系来定义位置关系的一个典型案例．
(2)用距离判断位置关系．
点与圆的位置关系可以通过点与圆心的距离d与圆的半径长r之间的关系来判定；直线与圆的位置关系可以通过圆心与直线的距离d与圆的半径长r之间的关系来判定；圆与圆的位置关系可以通过两圆圆心的距离d与两圆的半径长之和r1+r2或两圆的半径长之差的关系来判定．
通过几何量之间的数量关系判断几何图形之间的位置关系，这是数形结合的一个典型案例．
2．从运动中把握位置关系．
在分析图形的位置关系时，需要通过图形运动来观察思考，才能不缺不漏，全面把握．
3．“相切”是各种位置关系的分界点．
在直线与圆的位置关系中．d=r是相离和相交的分界点；在圆与圆的位置关系中．d=r1+r2是外离和相交的分界点．d=是相交和内含的分界点．因此先确定相切时的数量关系是解题的关键．
习题精练
1．在数轴上，点A所表示的实数为3，点B所表示的实数为a．⊙A的半径长为2．下列说法中，不正确的是()
(A)当a<5时，点B在⊙A内；(B)当1
(C)当a5时．点B在⊙A外．
2．下列直线中，不能判定为圆的切线的是()
(A)与圆仅有一个公共点的直线；(B)与圆心的距离等于半径长的直线；
(C)过半径的端点且与该半径垂直的直线；(D)过直径的端点且与该直径垂直的直线．
3．若直线a上有一点到圆心()的距离等于⊙O的半径长，则直线“与⊙O的位置关系是()
(A)相交；(B)相切；(C)相离；(D)不可能相离．
4．已知⊙O的半径长为7cm．点P到点O的距离为4cm，则点P在⊙O的．
5．已知⊙O1与⊙O2的半径长为3cm，⊙O2的半径长为4cm，两圆的圆心距O1O2=7cm,则⊙O1与⊙O2的位置关系是．
6．如果⊙O的半径长为5cm．点O到直线l的距离为3cm，那么直线l与⊙O的公共点个数是．
7．如果⊙O1与⊙O2内切，⊙O1的半径长是3crn．O1O2=5cm．那么⊙O2的半径长为．
8．已知⊙O1与⊙O2的半径长分别是3cm、5cm,如果⊙O1与⊙O2内含，那么圆心距d的取值范围为．
9．两圆的半径之比为5：3．如果当它们外切时，圆心距长为16，那当么内切时，圆心距长为．
10．在直角梯形ABCD中，AD∥BC，CD⊥AD．AD+BC=AB．
求证：以AB为直径的OO与CD相切．
11．如图．已知，AB是⊙O的直径．点C在⊙O上，过点C的直线与AB的延长线交于点P，AC=PC，∠COB=2∠PCB．
(1)求证：PC是⊙O的切线；
(2)求证：BC=AB．
12．如图，OA=OB=8，OA⊥OB，以O为圆心、OA为半径作，⊙O与以OA为直径的⊙OI相切于E，与相切于F．与OB相切于D．求⊙O2的半径长．
互动探究
如图．在以点D为圆心的两个同心圆中．小圆直径AE的延长线与大圆交于点B．点D在大圆上．BD与小圆相切于点F．AF的延长线与大圆相交于点C．且CE⊥BD．找出图中
相等的线段，并说明理由．
2015/8/4
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