3垂径定理问题：你知道赵州桥吗?它是1300多年前我国隋代建造的石拱桥,是我国古代劳动人民勤劳与智慧的结晶．它的主桥是圆弧形,它的
跨度(弧所对的弦的长)为37.4m,拱高(弧的中点到弦的距离)为7.2m，你能求出赵州桥主桥拱的半径吗？赵州桥的半径是多
少？实践探究用纸剪一个圆，沿着圆的任意一条直径对折，重复几次，你发现了什么？由此你能得到什么结论？可以发现：圆是
轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴．如图，AB是⊙O的一条弦，做直径CD，使CD⊥AB，垂足为E．（1）圆是轴
对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？（2）你能发现图中有哪些相等的线段和弧？为什么？·OABCDE活动二
（1）圆是轴对称图形．直径CD所在的直线是它的对称轴（2）线段：AE=BE把圆沿着直径CD折叠时，CD两侧的两个半
圆重合，点A与点B重合，AE与BE重合，弧AC、弧AD分别与弧BC、弧BD重合．弧：弧AC=弧BC，弧AD=弧BD·O
ABCDE我们还可以得到结论：由此，我们得到下面的定理：即直径CD平分弦AB，并且平分弧AB及弧ACB垂直于弦的
直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧．平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．这个定理也叫垂径定理，利用这个定
理，你能平分一条弧吗？AE=BE，弧AD=弧BD，弧AC=弧BC1.圆的对称性圆是轴对称图形,任何一条_______的直线都
是它的对称轴.2.垂径定理(1)内容:垂直于弦的直径_____弦,并且_____弦所对的两条弧.(2)推论:平分弦(不是__
___)的直径_________,并且_____弦所对的两条弧.过圆心平分平分直径垂直于弦平分【思维诊断】(打“√
”或“×”)1.直径是圆的对称轴.()2.圆有无数条对称轴.()3.平分弦的直径垂直于弦.()4.弦的
垂直平分线必过圆心.()×√×√解得R≈27.9.ODABCR解决求赵州桥拱半径的问题：在Rt△O
AD中，由勾股定理，得即R2=18.72+（R－7.2）2因此，赵州桥的主桥拱半径约为27.9m.OA2
=AD2+OD2AB=37.4m，CD=7.2m，OD=OC－CD=R－7.2在图中如图，用弧AB表示主桥拱，设弧AB
所在圆的圆心为O，半径为R．经过圆心O作弦AB的垂线OC，D为垂足，OC与弧AB相交于点C.根据前面的结论可知，D是弦AB的中
点，C是弧AB的中点，CD就是拱高．（m）,1．如图，在⊙O中，弦AB的长为8cm，圆心O到弦AB的距离为3cm，求⊙O
的半径．·OABE练习解：答：⊙O的半径为5cm.活动三在Rt△AOE中，2．如图，在⊙O中，AB
、AC为互相垂直且相等的两条弦，OD⊥AB于D，OE⊥AC于E，求证：四边形ADOE是正方形．·OABCDE证明：
∴四边形ADOE为矩形，又∵AC=AB，∴AE=AD.∴四边形ADOE为正方形.知识点一垂径定理及其推论【示
范题1】如图所示，等腰△AOB中OA=OB，☉O与边AB交于C，D两点，求证：AC=BD(不用全等证明).【思路点拨】过点O作O
E⊥AB于E，根据垂径定理得CE，DE的关系，再根据等腰三角形的“三线合一”性质得AE，BE的关系，进而得结论.【自主解答】过点
O作OE⊥AB于E，由垂径定理得CE＝DE，又∵OA＝OB，∴AE＝BE，∴AE－CE＝BE－DE，即AC＝BD.【想一想
】垂径定理中的“垂径”一定是直径吗?提示:不一定,可以是半径或过圆心的直线【微点拨】1.证明圆中与弦有关的线段相等时,常借
助垂径定理,利用其平分弦的性质来解决问题.2.常综合运用垂径定理和等腰三角形的性质,证明圆中与弦有关的线段相等.【微点拨】1
.证明圆中与弦有关的线段相等时,常借助垂径定理,利用其平分弦的性质来解决问题.2.常综合运用垂径定理和等腰三角形的性质,证明圆中
与弦有关的线段相等.【方法一点通】根据垂径定理与推论“知二推三”对于一个圆和一条直线,若具备:(1)过圆心;(2)垂直于
弦;(3)平分弦;(4)平分弦所对的优弧;(5)平分弦所对的劣弧.上述五个条件中的任何两个条件都可以推出其他三个结论.知
识点二垂径定理及其推论的应用【示范题2】(2013·邵阳中考)如图所示,某窗户是由矩形和弓形组成，已知弓形的跨度AB=3m
，弓形的高EF=1m，现计划安装玻璃，请帮工程师求出AB所在圆O的半径r.⌒【思路点拨】由垂径定理可得，AF=BF=m，
OF可表示为r－EF,由勾股定理可求出圆的半径.【自主解答】由题意知OA=OE=r,∵EF=1m，又OE⊥AB，∴AF=
AB=×3=(m).在Rt△OAF中，OF2+AF2=OA2即(r－1)2＋=r2,解得r=m.
即圆O的半径为m.【想一想】过一条弦的中点和这条弦所对弧的中点的直线必过圆心吗?提示:必过圆心.【微点拨】1.解决
有关弓形的题目，要根据题意画出几何图形,过圆心作弦的垂线，能得到弦的中点和弧的中点，这两个中点的连线为弓高，然后利用勾股定理列方程
求解.2.应用垂径定理计算的关键是寻找弦的一半、半径和圆心到弦的垂线段为边的直角三角形，利用勾股定理列方程求解.【方法一点通】
垂径定理基本图形的四变量、两关系1．四变量：如图，弦长a，圆心到弦的距离d，半径r，弧的中点到弦的距离(弓形高)h，这四个变量知任意两个可求其他两个．2．两关系：①＋d2＝r2；②h＋d=r． |
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