解：按规律写一下：(1+2–3)，(4+5–6)，(7+8–9)，(10+11–12)，……，(2008+2
009–2010)，成为0，3，6，9，……，2007是一个等差数列，共有670项，
它们的和是(0+2007)×670÷2=672345.15．一串珠子共31个，正中间一个最贵，从一端算
起，后一个比前一个贵3元，到中间那个为止；从另一端算起，后一个比前一个贵4元，到中间那个为止。这串珠子总价值为2012元，那么中间
的一颗珠子价值元。提示：把两边的珠子加一点钱，使它们与中间的珠子的价钱相等，需要加3、6、9、
12、……、45元和4、8、12、16，……、60元。92解：这个问题我们从中间往两边算
，分别是两个等差数列，把它们都变成与中间那颗珠子相同的珠子，则总价值将为2012+(3+
6+9+……+45)+(4+8+12+……+60)=2852(元)，所以中间一颗珠子的价值是
2852÷31=92（元）。16．2012位同学排成一列依次报数。若某位同学报的是一位数，后面的同学就报
这个数的2倍；若某位同学报的是两位数，后面同学就报其个位数字与5的和。已知第一位同学报1，报到了第100位同学，他却把前面那位同学
报的数加上了另一个一位自然数，其他人都没有注意到，仍然按以前的规则继续报数，直到最后一位同学报的数是5。那么第100位同学所报的数
是把前一位同学报的数加上了.提示：按规则写出前几个人报的数，1、2、4、8、16、11
、6、12、7、14、9、18、13、8、16、……，找出规律来（也就是什么成周期往复），同样
从后向前倒数也找出规律来，应该是5、10、5、10、5、10.解：按正确的报数方法找规律为：1
，2，4，8，16，11，6，12，7，14，9，18，13，8，16，11，6，12，7，14，9，18，我们发
现除了前三个数之外，从8开始到13，这10个数成为一个周期，研究第99位同学的报数，99–3=9
6，96=9×10+6，即第99位同学应该报7，根据最后一位同学报的是5，往前倒推，他前面一位应
该报10（不可能报一位数，因为一位数的2倍不会得5；也不能是别的两位数，不然个位数字加上5就超过5了），再往前一位又是5，
所以从后往前报数是5，10，5，10，5，10，……，正数第100位同学是倒数第1913位，应该报5，
第99位同学报的是7，但7加上任意自然数都不是5，所以第100位同学报的是15，把前一位同学报的数加上了8.下
课了！第四讲数列1．下面是一串有规律的数：9，20，33，48，65，84，……，这串数的第41个数是
.2009提示：9=1×9，20=2×10，33=3×11，48=4×12，
65=5×13，84=6×14，解：9=1×9，20=2×10，33=3×11，48=4×12，
65=5×13，84=6×14，……，所以第41个数应是41×49=2009.2．下面是一串有
规律的数：9，22，39，60，85，114，……，这串数的第30个数是.2010提示：9=1×9，2
2=2×11，39=3×13，60=4×15，85=5×17，114=6×19
，解：9=1×9，22=2×11，39=3×13，60=4×15，85=5×17，114=6
×19，……，所以第30个数应是30×67=2010.3．2008年在中国北京举办奥运会，已知第一届现代奥运会于
1896年在雅典举行，其后每四年举行一次，这样北京奥运会是第届。29提示：这是一个等差数列，第一项是189
6，公差是4，最后一项是2008.所以(最后一项－第一项)÷公差+1=项数解：按照等差数列的公式，项数=(末项–首
项)÷公差+1.所以(2008–1896)÷4+1=29.即北京奥运会是第29届奥运会。提示：观察各项
的分子和分母，排列起来为1，2，3，5，8，13，21，34，55，恰好是一个斐波那契数列，解：观察各项的分子和分母，排列
起来为1，2，3，5，8，13，21，34，55，恰好是一个斐波那契数列，接着往下写为89，144，233，3
77，……，5．1+3=2×2；1+3+5=3×3；1+3+5+7=4×4.请问：1+3+5+…+2011=
×.10061006提示：1+3+5+…+2011是第几个式子？解：1+3=2×2；
1+3+5=3×3；1+3+5+7=4×4.………按照这个规律1
+3+5+…+2011应该是第1005个式子的左侧，所以右侧应该是1006×1006。6．有一列正整数1、2、
3、4、…、9、10、11、12、…，顺次排成123456789101112…，第11个数字是0，第15个数字是2；从第1位到第2
07位上所有数字的和是.提示：先考虑一位数1、2、3、4、…、9、再考虑两位数1
0、11、12、…、99，最后是三位数100、101、102、…。921解：123456789中有九个数字，
10111213……9899中有180个数字，这两部分已经有189个数字了，
207–189=18，18÷3=6，所以再往下写为100101102103104105，九
个一位数的和为1+2+3+4+5+6+7+8+9=45，在10111213……9899中，数
字和为10×(1+2+3+4+5+6+7+8+9)+9×(1+2+3+
4+5+6+7+8+9）=855，最后的三位数10010110210310
4105中，数字和为6+16=21。所以所有的数字和为45+855+21=921.7．一群小朋友分一堆糖
，第1个小朋友拿了1块，第2个小朋友拿了2块，第3个小朋友拿了3块，……，以此类推，后拿糖的小朋友都比他前面的小朋友多拿一块。这群
小朋友刚好把这堆糖分光。如果平均分配，每个小朋友刚好分到10块糖，这堆糖共有块。190提示：等差数列
中10是平均数，它前面有九个数，后面有九个数，一共19个数。解：如果平均分配，每个小朋友刚好分到10块糖，
说明10是平均数，小朋友拿的糖数成等差数列1，2，3，4，5，……，
最中间一个拿到平均数10，所以共有19个小朋友，这堆糖共190块。8．在啤酒节上
，六个好朋友A、B、C、D、E和F要比赛喝啤酒，比赛规则很简单，那就是每一个人都必须不断地、尽量地喝，直到不省人事为止，看看在倒下
之前谁喝得最多。A首先退出了这场比赛——他昏睡过去，成为另外五个人的笑料，每个人又喝了3升后，B也倒在了桌子下，每个人继续喝了3升
，C终于无法站立，……，直到F也昏睡过去。一旁的店主替他们计算了一下：这六个人共喝光了63升啤酒。那么每人各喝了几升？3升、6升
、9升、12升、15升、18升解：这是一个等差数列问题，公差是3，项数为6，总和是63，第一次六个人共喝了
63–5×3–4×3–3×3×2×3–3=18升，所以A喝了18÷6=3升，以此类推B喝了6升
，C喝了9升，D喝了12升，E喝了15升，F喝了18升。9．将连续正整数依下列方式分组：（1），（2，3），（4，5，6），（7
，8，9，10）,…，其中第一组有1个数，第二组有2个数，第三组有3个数，……，以此类推，请问在第30组内，所有数的总和是多少
？13515提示：前29组中共有1+2+3+……+29=435个数，第30组内的第1个数是436.解：前29组
中共有1+2+3+……+29=435个数，所以第30组中最小的一个数是436，该组中有30个数
，10．书店里有一套漫画书共9册，第一册需24元，第二册需23元，第三册需22元，以此类推，每一册的售价都比它前面的一册少1元。
如果哆啦A梦用200元去买这套漫画书，书店老板应找他元。提示：第一册需24元，第二册需23元，第三册
需22元，以此类推，第九册需16元，20解：第一册需24元，第二册需23元，第三册需22元，
以此类推，第九册需16元，所以这九册书共需(24+16)×9÷2=180(元
)，所以老板应找他20元。11．甲、乙两人同时从A地出发，其中甲每天走7公里，乙第一天走1公里，第二天走2公里
，第三天走3公里，以后每天都比前一天多走1公里。请问，二人经过天走的路程相等。13提示：7公里为平均数，
而乙走路程的是一个等差数列，1、2、3、……、公差为1.解：甲每天走7公里，所以7是平均数，
乙所走的路程为等差数列，1、2、3、…，13，共有13项，恰好平均数为7.所以经过
13天，两人走的路程相等。12．电子跳蚤在一条标有刻度（单位：毫米）的尺子上某点K，向右跳所显示的刻度越来越大，第一步从K向左跳
1毫米，第二步再向右跳2毫米，第三步再向左跳3毫米，第四步再向右跳4毫米，……，按以上规律跳了100步时，电子跳蚤在尺子上的刻度所
表示的数恰好是205毫米。则电子跳蚤开始时落在尺子上的点K的刻度是毫米。提示：把第一、第二步和
在一起考虑，则跳蚤向右跳了1毫米；把第三、第四步和在一起考虑，跳蚤
也向右跳了1毫米；依次类推，跳了100步后，其中跳蚤向右跳了50毫米，答案：155毫米处解
：把第一、第二步和在一起考虑，则向右跳了1毫米，把第三、第四步和在一起考虑，也向右
跳了1毫米，依次类推，跳了100步后，其中跳蚤向右跳了50毫米，此时刻度所表示的数
恰好是205毫米，则开始时落在尺子上的点K的刻度205–50=155毫米处。62
提示：从1、2、3、开始，尝试使得1+2+3+……+k刚好接近2006，再多一个则大于20
06的数k是多少。解：这些数的值越小越好，从1开始，1，2，3，……，k，如果1+2+3
+……+k≤2006，而再加一个(k+1)时，总和大于2006，这时的k的值最合适。经尝
试1+2+3+……+62=(1+62)×62÷2=1953，1+2+3+……+63=(1+63)×63÷2=2016，所以最多是62个数，它们的和是2006。例如1，2，3，……，61，62+53=115，这62个数的和为2006.14．小明在计算器上从1开始，按自然数的顺序做加减法练习：先将两个数相加，再减去一个数；再加上两个数，减去一个数，…，按这样的规律计算下去，算到第2010个数为止，小明计算的最后得到的结果是.提示：先算1+2－3，再算4+5－6，7+8－9，10+11－12，根据规律，判断这组数的规律。672345 |
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