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看到哪个数，你会觉得最孤独？ 有人会说是1，因为它孤身一人。有人会说是0，因为它没有任何存在感。有人会说是214，有人会说是419（咦）。这些都是字面上的直接联想，因人而异，很难说哪个比哪个更加孤独。 然而对一个学过数学的人来说，确实存在一个最“孤独”的数。这个数就是所谓的黄金分割率φ。许多人说它是最美的数，美不美这种事情是一个主观概念——但我们能从数学上证明，它是最“无理”的数，最难以接近的数，因而在这个意义上，是最孤独的数。 图片来源：www.cosmomyth.com 一个无理（irrational）数有很多种表现方式。我们最熟悉的是无限不循环小数的形式，每多写下一位数，就是用一个更加精确的有理（rational）数去逼近它。当然，这个过程永远到不了尽头。 但是无理数也可以用分数的形式表现，只不过这个分数也是无穷无尽的——这就需要“连分数”。不要怕，这里的全部数学只是加减乘除和通分，不超过小学五年级。 先用一个有理数作为例子：1024/137，约等于7.47445255。 第一级近似：7，于是它变成了 7 + 65/137。 第二级近似：把第一级留下的分数倒过来，137/65 近似是2，于是它变成了 2 + 7/65，于是开始的那个数字就变成了 7 + 1 / ( 2 + 7/65 )。 第三级近似：对7/65进行类似处理，以此类推。 最后得到的结果是 或者，省去那些多余的1，可以表达为 [7; 2, 9, 3, 2]。 能够证明，每一个有限的连分数都代表一个有理数，而每一个有理数能且只能表示成两种形式的连分数（要求第一个系数是整数，剩下的全是正整数）。比如上面那个数也可以表示为 [7; 2, 9, 3, 1, 1]。除这两种之外再没有别的写法了。 同样的步骤完全适用于无理数，但这时得到的连分式就会一直延续下去。比如，π的连分式可以表示为 或者用简化的表达式：[3; 7, 15, 1, 292, 1, 1, 1, 2, 1, 3, 1, 14, 2, 1, 1, 2, 2, 2, ...]。这个数列在“整数数列线上大全”（OEIS）中的编号是A001203。 使用连分数来逼近，就会遇到一个“逼近速度”的问题：每前进一步，近似值向精确值靠近了多少呢？ 回到π的例子。我们先看第一位近似——7。忽略后面剩下的： π ≈ 3 + 1/7 = 22/7 ≈ 3.142... 熟悉吗？这就是当年祖冲之发现的“约率”。 如果接下来看到第三位近似: π ≈ 3 + 1 / ( 7 + 1 / （15 + 1） ) = 3 + 1 / ( 113 / 16 ) = 355/113 ≈ 3.1415929... 也即祖冲之的“密率”。二者都是对π的极好的近似。 这就是连分数的一个神奇属性：当你得到一个连分数后，你就自动获得了“最快”的逼近精确值的方式。这有点违反直觉——当你用7作为分母的时候，最小的单位就是1/7，那么误差范围应该是1/14以内吧？实际上，使用连分数获得的误差范围不是1/14以内，而是1/49以内！ 22/7 - π ≈ 0.0126 < (1/7)^2。 更一般地，假如一个无理数α，它的某一步连分式展开后变成了 p / q 的形式，那么一定有 | α - p/q | < 1 / q^2 而且， 这一定是当前最好的精确值，任何比它更精确的分式都一定需要更大的分母。π的前三级展开，分别是 22/7、333/106、355/113；你在1-6的范围内一定找不到比7更好的，1-112的范围内一定找不到比113更好的。但是，7却比8、9、10……都要好。因此可以说，连分数在某种意义上揭示了一个无理数的深层结构。 那么回到我们开始的问题。最快的逼近速度有多快？从上面的公式可以看出来，这完全取决于连分式里具体的每个数——数字越大逼近越快，数字越小逼近越慢。祖冲之能发现约率和密率，部分原因是因为他运气好，π开头的这俩数正好都不小，所以能给出很漂亮的逼近。 而最小的正整数，当然就是1了。 如果有这样一个数：[1; 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, ...] 或者， 你肯定猜到了，这就是传说中的黄金分割数φ，1.61803398... 如果去掉前面的1就会得到另一个常见形式：0.618... 而这两个数正好互为倒数。从连分式这个形式就能看出来为什么。 我们试着逼近一下，得到的是 2/1 = 2 3/2 = 1.5 5/3 = 1.66666... 8/5 = 1.6 13/8 = 1.625 21/13 = 1.61538... 进行了6次近似，结果才到小数点后2位！刚才我们用π仅仅进行了2次近似，就精确到了小数点后6位。 （你可能注意到了，这个连分数的每一级逼近，就是传说中的斐波那契数列。为什么？你猜。） 1是最小的正整数。因此，φ，这个全部由1组成的连分数，是所有数中最难以接近的数。没有之一。 孤独的数 |
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