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别业岁月悠长，有暗香盈袖。冗长了日与夜，空掷了乐与悲。遂
撰文三两卷，遣尽浮光，以飨后学。谨祝诸位：学业有成，前程似锦。
编者：李健，匠人，喜于斗室伏案两三卷，愁与身在红尘浪荡无
涯。写过一些铅字附庸了世态，跑过几个码头了断了青春。如今归去
来兮，只为了挥洒一方三尺讲台。
第2讲平面向量基本定理及坐标表示
一．知识梳理
1．平面向量基本定理
如果12,ee是平面内两个不共线的向量，那么对于这个平面内的任意向量a，有且只有
一对实数12,??，使1122aee????．其中不共线的向量12,ee叫做表示这一平面内所有向量
的一组基底．
2．平面向量的坐标运算
（1）向量坐标的求法：
①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量坐标．
②设1122(,),(,)AxyBxy，则
2121(,)ABxxyy???；222121||(),()ABxxyy???．
（2）向量的加法、减法、数乘及向量的模：设1122(,),(,)axybxy??
1212(,)abxxyy????；1212(,)abxxyy????；
11(,)axy????；2211||axy??．
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3．平面向量共线的坐标表示
设1122(,),(,)axybxy??，其中0b?，则12210abxyxy???∥．
二．要点整合
1．辨明三个易误点
（1）注意能作为基底的两个向量必须是不共线的．
（2）要注意运用两个向量,ab共线坐标表示的充要条件12210xyxy??．
（3）要注意区分点的坐标与向量的坐标的不同，尽管形式上一样，但意义完全不同，
向量坐标中既有大小的信息也有方向的信息．
2．有关平面向量的两类本质
（1）平面向量基本定理的本质是运用向量加法的平行四边形法则，将向量进行分解．
（2）向量的坐标表示的本质是向量的代数表示，其中坐标运算法则是运算的关键．
三．典例精析
1．平面向量基本定理及其应用
用平面向量基本定理解题的一般思路
（1）先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，
再通过向量的运算来解决．
（2）在基底未给出的情况下，合理选取基底会给解题带来方便．另外要
熟练运用平面几何的一些性质定理．
【例题1】
（1）在梯形ABCD中，,2,,ABCDABCDMN?∥分别是,CDBC的中点，若
ABAMAN????，则????（）
1.5A2.5B3.5C4.5D
（2）在ABC中，P是AB上一点，且21,33CPCACBQ??是BC的中点，AQ和CP的
交点为M，又CMtCP?，则t?．
【变式1】
（1）如图，在ABC中，P为线段AB上的一点，OPxOAyOB??，且2BPPA?，则
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（）
21.,33Axy??12.,33Bxy??13.,44Cxy??31.,44Dxy??
（2）如图，在ABC中，13ANNC?，P是BN上一点，若211APmABAC??，则
m?．
2．平面向量的坐标运算
平面向量坐标运算的技巧
（1）向量的坐标运算主要是利用向量加、减、数乘运算法则来进行求解，
若已知有向线段两端点的坐标，则应先求向量的坐标．
（2）解题过程中，常利用向量相等则其坐标相同这一原则，通过列方程
（组）来进行求解．
【例题2】
（1）已知(2,4),(3,1),(3,4)ABC????．设,,ABaBCbCAc???，且
3,2CMcCNb???．
（Ⅰ）求33abc??；
（Ⅱ）求满足ambnc??的实数,mn；
（Ⅲ）求,MN的坐标及向量MN的坐标．
（2）给定两个长度为1的平面向量OA和OB，它们的夹角为23?．如图，点C在以O为圆
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心的AB上运动．若(,)OCxOAyOBxyR???，则xy?的最大值为．
【变式2】
（1）已知O为坐标原点，点C是线段AB上一点，且(1,1),(2,3)AC，||2||BCAC?，
则向量OB的坐标是．
（2）（2014福建质检）如图，设向量(3,1),(1,3)OAOB??，若OC?OA?OB??，且
1????，则用阴影表示C点所有可能的位置区域正确的是（）
（3）已知||||2,abab???，若向量c满足||2cab???，则||c的取值范围是．
3．平面向量共线的坐标表示
（1）向量共线的两种表示形式
设1122(,),(,)axybxy??，①(0)ababb????∥；②ab?∥
12210xyxy??，一般情况涉及坐标的应用②．
（2）两向量共线的充要条件的作用
判断两向量是否共线（平行），可解决三点共线问题；利用两向量共线的
充要条件可列方程组，求未知数的值．
【例题3】
（1）已知向量1(8,),(,1)2axbx??，其中0x?，若(2)(2)abab??∥，则x的值为（）
.4A.8B.0C.2D
（2）已知点(4,0),(4,4),(2,6)ABC，则AC与OB的交点P的坐标为．
（3）（2014广东佛山）设(1,2),(,1),(,0)OAOBaOCb??????，0a?，0,bO?为坐
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标原点，若,,ABC三点共线，则12ab?的最小值为（）
.2A.4B.6C.8D
【变式3】
（1）已知向量(1,3),(2,1),(1,2)OAOBOCkk???????，若,,ABC三点不能构成三
角形，则实数k应满足的条件是（）
.2Ak??1.2Bk?.1Ck?.1Dk??
（2）（2015河北唐山）设向量,ab满足||25,(2,1)ab??，且a与b的方向相反，则a的
坐标为．
（3）（2014陕西）设02????，向量(sin2,cos),(cos,1)ab?????，若ab∥，则
tan??．
四．针对训练
.A组基础训练
1．如图，在平行四边形ABCD中，E为DC边的中点，且,ABaADb??，则BE?（）
1.2Aba?1.2Bba?1.2Cab?1.2Dab?
2．（2015宁夏质检）如图，设O为平行四边形ABCD两对角线的交点，给出下列向量组：
①AD与AB；②DA与BC；③CA与DC；④OD与OB．其中可作为该平面内其他向
量的基底的是（）
.A①②.B①③.C①④.D③④
3．已知向量3,1),(0,2)ab??=(．若实数k与向量c满足2abkc??，则c可以是（）
.(3,1)A?.(1,3)B??.(3,1)C??.(1,3)D?
4．已知点(1,3),(4,1)AB?，则与向量AB同方向的单位向量是（）
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34.(,)55A?43.(,)55B?34.(,)55C?43.(,)55D?
5．（2015吉林长春）如图，设向量12,OAeOBe??，若12,ee不共线，且点P在线段AB上，
||:||2APPB?，则OP?（）
1212.33Aee?
1221.33Bee?
1212.33Cee?
1221.33Dee?
6．已知ABC中，点D在BC边上，且2,sCDDBCDrABAC???，则rs?的值是（）
2.3A4.3B.3C?.0D
7．若三点(1,5),(,2),(2,1)ABaC????共线，则实数a的取值范围是．
8．在ABC中，点P在BC上，且2BPPC?，点Q是AC中点，若(4,3)PA?，(1,5)PQ?，
则BC?．
9．（2015江西九江）{|(1,1)(1,2)}PaammR?????，{|1,2)Qbb???(2,3),}nnR??
是两个向量集合，则PQ等于．
10．ABC中，内角,,ABC所对的边分别为,,abc，若(,)pacb??，(,)qbaca???，
且pq∥，则角C?．
11．已知(1,0),(2,1)ab??．
（Ⅰ）当k为何值时，kab?与2ab?共线；
（Ⅱ）若23,ABabBCamb????且,,ABC三点共线，求m的值．
12．（2015山东莱芜）如图，已知ABC中，点C是以A为中点的点B的对称点，D将OB
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分为2:1两部分的一个内分点，DC和OA交于点E，设OAa?，OBb?．
（Ⅰ）用a和b表示向量,OCDC；
（Ⅱ）若OEOA??，求实数?的值．
.B组能力提升
1．在平面直角坐标系中，点(0,0),(6,8)OP，将向量OP绕点O按逆时针方向旋转34?后
得到向量OQ，则Q点的坐标是（）
.(72,2)A??.(72,2)B?.(46,2)C??.(46,2)D?
2．已知直线xya??与圆224xy??交于,AB两点，且||OAOB??||OAOB?，其中O
为坐标原点，则实数a的值为（）
.2A.2B?.2C或2?.6D或6?
3．如图，在四边形,,,ABCD中，1ABBCCD???，且90B??，BCD??135，
记向量,ABaACb??，则AD?（）
2.2(1)2Aab??2.2(1)2Bab???
2.2(1)2Cab???2.2(1)2Dab??
4．（2014湖南）在平面直角坐标系中，O为原点，(1,0),(0,3),(3,0)ABC?，动点D满
足||1CD?，则||OAOBOD??的取值范围是（）
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.[4,6]A.[191,191]B??.[23,27]C.[71,71]D??
5．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知两点(3,1),(1,3)AB?，若点C满足
(,)OCOAOBR???????且1????，则点C的轨迹方程为．
6．设向量1122(,),(,)axybxy??，定义一种向量积1122(,)ababab??，已知向量
1(2,),(,0)23mb???，点(,)Pxy在sinyx?图像上运动．Q是函数()yfx?图像上的
点，且满足OQmOPn???（其中O为坐标原点），则函数()yfx?的值域
是．
7．如图，,,ABC是圆O上的三点，线段CO的延长线与BA的延长线交于圆O外一点D，
若OCmOAnOB??，则mn?的取值范围是．
8．如图，设,OxOy为平面内相交成60角的两条数轴，12,ee分别是x轴、y轴正方向同
方向的单位向量，若12OPxeye??，则把有序实数对(,)xy叫做向量OP在坐标系xOy中
的坐标．若OP的坐标为(1,1)．
（Ⅰ）求||OP；
（Ⅱ）过点P作直线l分别与x轴、y轴正方向交于点,AB，试确定,AB的位置，使AOB
面积最小，并求出最小值．
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