2015年湖北省武汉市中考数学逼真模拟试卷（二）
一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）
1．在实数2、0、﹣1、﹣2中，最小的实数是（）
A．2B．0C．﹣1D．﹣2
2．如果在实数范围内有意义，则x的取值范围是（）
A．x≠4B．x≤4C．x≥4D．x＜4
3．下列各式中，正确的是（）
A．=±3B．﹣32=9C．（﹣2）﹣（﹣5）=﹣3D．=2
4．表中是某一天云南省8个市的气温预报，则这8个市的最高温度的众数与最低温度的中位数分别是（）
城市昆明玉溪丽江普洱保山曲靖昭通临沧
温度
（）27～1625～1228～1728～3030～1127～1321～928～11
A．27，11B．28，12C．28，12.5D．28，13
5．下面的计算正确的是（）
A．3x2?4x2=12x2B．x3?x5=x15C．x4÷x=x3D．（x5）2=x7
6．如图，△ABO缩小后变为△A′B′O，其中A、B的对应点分别为A′、B′点A、B、A′、B′均在图中在格点上．若线段AB上有一点P（m，n），则点P在A′B′上的对应点P′的坐标为（）
A．（，n）B．（m，n）C．（m，）D．（）
7．如图是由几个相同的小正方体搭成的一个几何体，它的俯视图是（）
A．B．C．D．
8．为了帮助本市一名患“白血病”的高中生，某班15名同学积极捐款，他们捐款数额如下表：
捐款的数额（单位：元）5102050100
人数（单位：个）24531
关于这15名学生所捐款的数额，下列说法正确的是（）
A．众数是100B．平均数是30C．极差是20D．中位数是20
9．如图，矩形BCDE的各边分别平行于x轴或y轴，物体甲和物体乙由点A（2，0）同时出发，沿矩形BCDE的边作环绕运动，物体甲按逆时针方向以1个单位/秒匀速运动，物体乙按顺时针方向以2个单位/秒匀速运动，则两个物体运动后的第2014次相遇地点的坐标是（）
A．（2，0）B．（﹣1，1）C．（﹣2，1）D．（﹣1，﹣1）
10．如图，O的直径AB=8，P为O上任一点（不同于A、B两点），APB的平分线交O于点C，弦EF经过AC、BC的中点M、N，则弦EF的长为（）
A．2B．2C．3D．4
二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）
11．分解因式：x2y﹣2xy+y=．
12．随着中国综合国力的提升，近年来全球学习汉语的人数不断增加．据报道，2013年海外学习汉语的学生人数已达1500000000人，将1500000000用科学记数法表示为人．
13．如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间一个小正方形拼成的一个大正方形，随机在大正方形及其内部区域投针，若针扎到小正方形的概率是，则大、小两个正方形的边长之比是．
14．在江岸区创建文明城区的活动中，有两段长度相等的彩色砖道铺设任务，分别交给甲、乙两个施工队同时进行施工．如图是反映所铺设彩色砖道的长度y（米）与施工时间x（时）之间关系的部分图象．如果甲队施工速度不变，乙队在开挖6小时后，施工速度增加到12米/时，结果两队同时完成了任务，则甲队从开始施工到完工所铺设的彩色道砖的长度为米．
15．如图，点A在反比例函数y=（x＞0）的图象上，过点A作AD⊥y轴于点D，延长AD至点C，使CD=2AD，过点A作ABx轴于点B，连结BC交y轴于点E．若△ABC的面积为6，则k的值为．
16．已知梯形ABCD中，ADBC，B=90°，AD=1，AB=3，BC=4．若P为线段AB上任意一点，延长PD到E，使DE=2PD，以PE、PC为边作PCQE，则对角线PQ的最小值为．
三、解答题（共8小题，共72分）
17．已知，直线y=kx﹣3经过点A（2，﹣2），求关于x的不等式kx﹣3≤0的解集．
18．如图，点E、F在BC上，BE=FC，AB=DC，B=∠C．求证：A=∠D．
19．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标是A（﹣5，﹣5），B（﹣1，﹣3），C（﹣3，﹣1）．
（1）按要求画出变换后的图形：
①画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1；
②以原点O为旋转中心，把△A1B1C1逆时针旋转90°，得到△A2B2C2；
（2）若将△ABC向右平移m个单位，向上平移n个单位，使点C落在△A2B2C2内部，指出m、n的取值范围．
20．“初中生骑电动车上学”的现象越来越受到社会的关注，某校利用“五一”假期，随机抽查了本校若干名学生和部分家长对“初中生骑电动车上学”现象的看法，统计整理制作了如图的统计图，请回答下列问题：
（1）这次抽查的家长总人数为；
（2）请补全条形统计图和扇形统计图；
（3）从这次接受调查的学生中选出6名持反对态度的学生，其中有七、八、九年级学生各两名，请用画树形图或列表的方法，求“从选出的这6名学生中随机抽查两名，恰好抽到持同年级的两名学生”的概率．
21．如图，已知O的半径为5，P与O外切于点A，经过点A的直线与O、P分别交于点B、C，tanOAB=．
（1）求AB的长；
（2）当OCA=∠OPC时，求P的半径．
22．2013年我国多地出现雾霾天气，某企业抓住商机准备生产空气净化设备，该企业决定从以下两个投资方案中选择一个进行投资生产，方案一：生产甲产品，每件产品成本为a元（a为常数，且40＜a＜100），每件产品销售价为120元，每年最多可生产125万件；方案二：生产乙产品，每件产品成本价为80元，每件产品销售价为180元，每年可生产120万件，另外，年销售x万件乙产品时需上交0.5x2万元的特别关税，在不考虑其它因素的情况下：
（1）分别写出该企业两个投资方案的年利润y1（万元）、y2（万元）与相应生产件数x（万件）（x为正整数）之间的函数关系式，并指出自变量的取值范围；
（2）分别求出这两个投资方案的最大年利润；
（3）如果你是企业决策者，为了获得最大收益，你会选择哪个投资方案？
23．已知：如图①，△ABC中，AI、BI分别平分BAC、ABC．CE是△ABC的外角ACD的平分线，交BI延长线于E，联结CI．
（1）设BAC=2α．如果用α表示BIC和E，那么BIC=，E=；
（2）如果AB=1，且△ABC与△ICE相似时，求线段AC的长；
（3）如图②，延长AI交EC延长线于F，如果α=30°，sinF=，设BC=m，试用m的代数式表示BE．
24．点P为抛物线y=x2﹣2mx+m2（m为常数，m＞0）上任一点，将抛物线绕顶点G逆时针旋转90°后得到的新图象与y轴交于A、B两点（点A在点B的上方），点Q为点P旋转后的对应点．
（1）当m=2，点P的横坐标为4时，求Q点的坐标；
（2）设点Q（a，b），用含m、b的代数式表示a；
（3）如图2，若原抛物线恰好也经过A点，点Q在第一象限内，是否存在这样的点P使得AQ=GQ？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
2015年湖北省武汉市中考数学逼真模拟试卷（二）
参考答案与试题解析
一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）
1．在实数2、0、﹣1、﹣2中，最小的实数是（）
A．2B．0C．﹣1D．﹣2
考点：实数大小比较．
专题：计算题．
分析：根据正数大于0，0大于负数，正数大于负数；即可解答．
解答：解：﹣2＜﹣1＜0＜2，
最小的实数是﹣2．
故选D．
点评：本题主要考查了实数大小的比较：正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小．
2．如果在实数范围内有意义，则x的取值范围是（）
A．x≠4B．x≤4C．x≥4D．x＜4
考点：二次根式有意义的条件．
分析：根据二次根式的定义可知被开方数必须为非负数，列不等式求解．
解答：解：根据题意得：4﹣x≥0，解得x≤4．
故选B．
点评：主要考查了二次根式的意义和性质．
概念：式子（a≥0）叫二次根式．
性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．
3．下列各式中，正确的是（）
A．=±3B．﹣32=9C．（﹣2）﹣（﹣5）=﹣3D．=2
考点：实数的运算．
专题：计算题．
分析：A、原式利用算术平方根定义计算得到结果，即可做出判断；
B、原式表示3平方的相反数，计算得到结果，即可做出判断；
C、原式利用减法法则变形，计算得到结果，即可做出判断；
D、原式利用二次根式的性质及绝对值的代数意义化简得到结果，即可做出判断．
解答：解：A、=3，错误；
B、﹣32=﹣9，错误；
C、（﹣2）﹣（﹣5）=﹣2+5=3，错误；
D、=|﹣2|=2，正确．
故选D．
点评：此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
4．表中是某一天云南省8个市的气温预报，则这8个市的最高温度的众数与最低温度的中位数分别是（）
城市昆明玉溪丽江普洱保山曲靖昭通临沧
温度
（）27～1625～1228～1728～3030～1127～1321～928～11
A．27，11B．28，12C．28，12.5D．28，13
考点：众数；中位数．
分析：根据把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数（或两个数的平均数）为中位数；众数是一组数据中出现次数最多的数据，即可得出答案．
解答：解：从小到大排列最低温度数据为：9，11，11，12，13，16，17，30，
最中间两个数的平均数是；（12+13）÷2=12.5，
最高温度中，数据28出现了三次，次数最多，
则最高温度的众数是28，
故选C．
点评：此题考查了确中位数和众数．注意找中位数的时候一定要先排好顺序，然后再根据奇数和偶数个来确定中位数，如果数据有奇数个，则正中间的数字即为所求．如果是偶数个则找中间两位数的平均数，众数是一组数据中出现次数最多的数据．
5．下面的计算正确的是（）
A．3x2?4x2=12x2B．x3?x5=x15C．x4÷x=x3D．（x5）2=x7
考点：同底数幂的除法；同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方；单项式乘单项式．
专题：计算题．
分析：根据单项式的乘法、同底数幂的乘法和除法、幂的乘方等知识点进行判断．
解答：解：A、3x2?4x2=12x4，故本选项错误；
B、x3?x5=x8，故本选项错误；
C、正确；
D、（x5）2=x10，故本选项错误．
故选C．
点评：本题考查了单项式的乘法、同底数幂的乘法和除法、幂的乘方等多个运算性质，需同学们熟练掌握．
6．如图，△ABO缩小后变为△A′B′O，其中A、B的对应点分别为A′、B′点A、B、A′、B′均在图中在格点上．若线段AB上有一点P（m，n），则点P在A′B′上的对应点P′的坐标为（）
A．（，n）B．（m，n）C．（m，）D．（）
考点：位似变换；坐标与图形性质．
专题：压轴题．
分析：根据A，B两点坐标以及对应点A′，B′点的坐标得出坐标变化规律，进而得出P′的坐标．
解答：解：ABO缩小后变为△A′B′O，其中A、B的对应点分别为A′、B′点A、B、A′、B′均在图中在格点上，
即A点坐标为：（4，6），B点坐标为：（6，2），A′点坐标为：（2，3），B′点坐标为：（3，1），
线段AB上有一点P（m，n），则点P在A′B′上的对应点P′的坐标为：（）．
故选D．
点评：此题主要考查了位似图形的性质，根据已知得出对应点坐标的变化是解题关键．
7．如图是由几个相同的小正方体搭成的一个几何体，它的俯视图是（）
A．B．C．D．
考点：简单组合体的三视图．
分析：根据从上面看得到的图形式俯视图，可得答案．
解答：解：从上面看第一层两个正方形，第二层三个正方形，
故C符合题意．
故选：C．
点评：本题考查了简单组合体的三视图，从上面看的到的视图是俯视图．
8．为了帮助本市一名患“白血病”的高中生，某班15名同学积极捐款，他们捐款数额如下表：
捐款的数额（单位：元）5102050100
人数（单位：个）24531
关于这15名学生所捐款的数额，下列说法正确的是（）
A．众数是100B．平均数是30C．极差是20D．中位数是20
考点：极差；加权平均数；中位数；众数．
分析：根据极差、众数、中位数及平均数的定义，结合表格即可得出答案．
解答：解：A、众数是20，故本选项错误；
B、平均数为26.67，故本选项错误；
C、极差是95，故本选项错误；
D、中位数是20，故本选项正确；
故选D．
点评：本题考查了中位数、极差、平均数及众数的知识，掌握各部分的定义是关键．
9．如图，矩形BCDE的各边分别平行于x轴或y轴，物体甲和物体乙由点A（2，0）同时出发，沿矩形BCDE的边作环绕运动，物体甲按逆时针方向以1个单位/秒匀速运动，物体乙按顺时针方向以2个单位/秒匀速运动，则两个物体运动后的第2014次相遇地点的坐标是（）
A．（2，0）B．（﹣1，1）C．（﹣2，1）D．（﹣1，﹣1）
考点：规律型：点的坐标．
分析：利用行程问题中的相遇问题，由于矩形的边长为4和2，物体乙是物体甲的速度的2倍，求得每一次相遇的地点，找出规律即可解答．
解答：解：矩形的边长为4和2，因为物体乙是物体甲的速度的2倍，时间相同，物体甲与物体乙的路程比为1：2，由题意知：
①第一次相遇物体甲与物体乙行的路程和为12×1，物体甲行的路程为12×=4，物体乙行的路程为12×=8，在BC边相遇；
②第二次相遇物体甲与物体乙行的路程和为12×2，物体甲行的路程为12×2×=8，物体乙行的路程为12×2×=16，在DE边相遇；
③第三次相遇物体甲与物体乙行的路程和为12×3，物体甲行的路程为12×3×=12，物体乙行的路程为12×3×=24，在A点相遇；
…
此时甲乙回到原出发点，则每相遇三次，两点回到出发点，
2014÷3=671…1，
故两个物体运动后的第2014次相遇地点的是：第一次相遇地点，
即物体甲行的路程为12×1×=4，物体乙行的路程为12×1×=8；
此时相遇点F的坐标为：（﹣1，1），
故选：B．
点评：此题主要考查了点的变化规律以及行程问题中的相遇问题及按比例分配的运用，通过计算发现规律就可以解决问题．
10．如图，O的直径AB=8，P为O上任一点（不同于A、B两点），APB的平分线交O于点C，弦EF经过AC、BC的中点M、N，则弦EF的长为（）
A．2B．2C．3D．4
考点：垂径定理；等腰直角三角形；三角形中位线定理；圆周角定理．
专题：计算题．
分析：连结OC交MN于H，连结OE，如图，由于APB的平分线交O于点C，则=，根据垂径定理得OCAB，再证明MN为△CAB的中位线，根据三角形中位线定理得到得到MNAB，MN=AB，接着利用平行线的性质得到OCMN，且OH=OC=2，然后利用垂径定理得到EH=FH，则可根据勾股定理计算出EH=2，于是得到EF=2EH=4．
解答：解：连结OC交MN于H，如图，连结OE，
APB的平分线交O于点C，
=，
OC⊥AB，
点M、N分别为AC、BC的中点，
MN为△CAB的中位线，
MN∥AB，MN=AB，
OC⊥MN，OH=OC=2，
EH=FH，
在Rt△EOH中，OH=2，OE=4，
EH==2，
EF=2EH=4．
故选D．
点评：本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了三角形中位线定理．
二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）
11．分解因式：x2y﹣2xy+y=y（x﹣1）2．
考点：提公因式法与公式法的综合运用．
分析：先提取公因式y，再根据完全平方公式进行二次分解．完全平方公式：a2﹣2ab+b2=（a﹣b）2．
解答：解：x2y﹣2xy+y，
=y（x2﹣2x+1），
=y（x﹣1）2．
故答案为：y（x﹣1）2．
点评：本题考查了提公因式法，公式法分解因式，提取公因式后利用完全平方公式进行二次分解，注意分解要彻底．
12．随着中国综合国力的提升，近年来全球学习汉语的人数不断增加．据报道，2013年海外学习汉语的学生人数已达1500000000人，将1500000000用科学记数法表示为1.5×109人．
考点：科学记数法—表示较大的数．
分析：科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
解答：解：1500000000用科学记数法表示为1.5×109；
故答案为1.5×109．
点评：此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
13．如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间一个小正方形拼成的一个大正方形，随机在大正方形及其内部区域投针，若针扎到小正方形的概率是，则大、小两个正方形的边长之比是3：1．
考点：几何概率．
分析：根据针扎到小正方形的概率是，求出小正方形与大正方形的面积之比，再根据相似多边形面积之比等于相似比的平方即可求出答案．
解答：解：针扎到小正方形的概率是，
=，
大、小两个正方形的边长之比是3：1；
故答案为：3：1．
点评：此题考查了几何概率，用到的知识点为：概率=相应的面积与总面积之比，相似多边形面积之比等于相似比的平方．
14．在江岸区创建文明城区的活动中，有两段长度相等的彩色砖道铺设任务，分别交给甲、乙两个施工队同时进行施工．如图是反映所铺设彩色砖道的长度y（米）与施工时间x（时）之间关系的部分图象．如果甲队施工速度不变，乙队在开挖6小时后，施工速度增加到12米/时，结果两队同时完成了任务，则甲队从开始施工到完工所铺设的彩色道砖的长度为110米．
考点：一次函数的应用．
专题：常规题型．
分析：（1）设函数关系是为y=kx+b，然后利用待定系数法求解即可；
（2）先求出甲队的速度，然后设甲队从开始到完工所铺设彩色砖道的长度为z米，再根据6小时后两队所用的时间相等列方程求解即可．
解答：解：（1）设乙队在2≤x≤6的时段内y与x之间的函数关系式为y=kx+b，
由图可知，函数图象过点（2，30），（6，50），
，
解得．
y=5x+20；
（2）由图可知，甲队速度是：60÷6=10（米/时），
设甲队从开始到完工所铺设彩色道砖的长度为z米，
依题意得，
解得z=110．
答：甲队从开始到完工所铺设彩色道砖的长度为110米．
点评：本题考查了一次函数的应用，主要是利用待定系数法求函数的解析式，难点在于（2）根据6小时后两队所用的时间相等列出方程．
15．如图，点A在反比例函数y=（x＞0）的图象上，过点A作ADy轴于点D，延长AD至点C，使CD=2AD，过点A作ABx轴于点B，连结BC交y轴于点E．若△ABC的面积为6，则k的值为4．
考点：反比例函数系数k的几何意义．
分析：连结BD，利用三角形面积公式得到S△ADB=S△ABC=2，则S矩形OBAD=2S△ADB=4，于是可根据反比例函数的比例系数k的几何意义得到k的值．
解答：解：连结BD，如图，
DC=2AD，
S△ADB=S△BDC=S△BAC=×6=2，
AD⊥y轴于点D，ABx轴，
四边形OBAD为矩形，
S矩形OBAD=2S△ADB=2×2=4，
k=4．
故答案为：4．
点评：本题考查了反比例函数的比例系数k的几何意义：在反比例函数y=图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|．
16．已知梯形ABCD中，ADBC，B=90°，AD=1，AB=3，BC=4．若P为线段AB上任意一点，延长PD到E，使DE=2PD，以PE、PC为边作PCQE，则对角线PQ的最小值为7．
考点：相似三角形的判定与性质；梯形．
分析：设PQ与DC相交于点G，作QHBC，交BC的延长线于H，由PECQ，DE=2PD，可得，易证得Rt△ADPRt△HCQ，继而求得BH的长，即可求得答案．
解答：解：设PQ与DC相交于点G，
PE∥CQ，DE=2PD，
==，
G是DC上一定点，
作QHBC，交BC的延长线于H，
同理可证ADP=∠QCH，
Rt△ADP∽Rt△HCQ，
即==，
CH=3，
BH=BC+CH=4+3=7，
当PQAB时，PQ的长最小，即为7．
故答案为：7．
点评：考查了相似三角形的判定与性质、直角梯形的性质、平行四边形的性质、矩形的性质，注意准确作出辅助线是解此题的关键．
三、解答题（共8小题，共72分）
17．已知，直线y=kx﹣3经过点A（2，﹣2），求关于x的不等式kx﹣3≤0的解集．
考点：一次函数与一元一次不等式．
分析：把点（2，﹣2）的坐标代入直线解析式求出k值，从而得到直线解析式y=x﹣3，然后解不等式x﹣3≤0即可．
解答：解：把点A（2，﹣2）的坐标代入直线解析式y=kx﹣3中，
2k﹣3=﹣2，
解得：k=，
则直线的函数解析式为：y=x﹣3，
由x﹣3≤0，得：x≤6．
点评：本题考查了一次函数与一元一次不等式的求解，根据点在直线上，把点的坐标代入直线解析式求出k的值是解题的关键．
18．如图，点E、F在BC上，BE=FC，AB=DC，B=∠C．求证：A=∠D．
考点：全等三角形的判定与性质．
专题：证明题．
分析：可通过证△ABFDCE，来得出A=∠D的结论．
解答：证明：BE=FC，
BE+EF=CF+EF，
即BF=CE；
又AB=DC，B=∠C，
ABF≌△DCE；（SAS）
A=∠D．
点评：此题考查简单的角相等，可以通过全等三角形来证明，判定两个三角形全等，先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法，看缺什么条件，再去证什么条件．
19．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标是A（﹣5，﹣5），B（﹣1，﹣3），C（﹣3，﹣1）．
（1）按要求画出变换后的图形：
①画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1；
②以原点O为旋转中心，把△A1B1C1逆时针旋转90°，得到△A2B2C2；
（2）若将△ABC向右平移m个单位，向上平移n个单位，使点C落在△A2B2C2内部，指出m、n的取值范围．
考点：作图-旋转变换；作图-轴对称变换；作图-平移变换．
专题：作图题．
分析：（1）①根据网格结构找出点A、B、C关于y轴的对称点A1、B1、C1的位置，然后顺次连接即可；
②根据网格结构找出点A1、B1、C1以原点O为旋转中心逆时针旋转90°后的对应点A2、B2、C2的位置，然后顺次连接即可；
（2）根据平移的性质解答即可．
解答：解：（1）①△A1B1C1如图所示；
②△A2B2C2如图所示；
（2）由图可知，4＜m＜8，2＜n＜6．
点评：本题考查了利用旋转变换作图，利用平移变换作图，利用轴对称变化作图，熟练掌握网格结构准确找出对应点的位置是解题的关键．
20．“初中生骑电动车上学”的现象越来越受到社会的关注，某校利用“五一”假期，随机抽查了本校若干名学生和部分家长对“初中生骑电动车上学”现象的看法，统计整理制作了如图的统计图，请回答下列问题：
（1）这次抽查的家长总人数为100；
（2）请补全条形统计图和扇形统计图；
（3）从这次接受调查的学生中选出6名持反对态度的学生，其中有七、八、九年级学生各两名，请用画树形图或列表的方法，求“从选出的这6名学生中随机抽查两名，恰好抽到持同年级的两名学生”的概率．
考点：条形统计图；扇形统计图；列表法与树状图法．
分析：（1）根据表示无所谓的家长有20人，所占的百分比是20%，据此即可求得调查的家长的总人数；
（2）根据百分比的意义求得赞成的家长所占的百分比，进而求得表示反对的家长所占的百分比，则表示反对的家长的人数即可求得；
（3）利用列举法列举出所有可能的结果，然后利用概率公式求解．
解答：解：（1）抽查的家长的人数是：20÷20%=100（人）．
故答案是：100；
（2）表示赞成的家长所占的百分比是：×100%=10%，
则表示反对的家长所占的百分比是：1﹣10%﹣20%=70%，
则表示反对的家长的人数是：100×70%=70（人）．
；
（3）用A表示七年级的学生，利用B表示八年级的两名学生，利用C表示九年级的两名学生．
则恰好抽到持同年级的两名学生”的概率是：=．
点评：本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
21．如图，已知O的半径为5，P与O外切于点A，经过点A的直线与O、P分别交于点B、C，tanOAB=．
（1）求AB的长；
（2）当OCA=∠OPC时，求P的半径．
考点：相切两圆的性质．
专题：计算题．
分析：（1）作OMAB于M，如图，在Rt△OAM中根据正切定义得到tanOAM==，则设OM=x，AM=2x，由勾股定理得OA=5x，所以5x=5，解得x=1，于是得到AM=2，OM=，然后根据垂径定理得到AB=2AM=4；
（2）作PNAC于N，如图，则AN=CN，设P的半径为r，先证明△PANOAM，利用相似比得到AN=r，则AC=2AN=r，在Rt△OMC中，根据勾股定理得到OC2（）2+（r+2）2，再证明OAC∽△OCP，利用相似比得到OC2=OA?OP=5（5+r），则（）2+（r+2）2=5（5+r），然后解r的方程即可．
解答：解：（1）作OMAB于M，如图，
在Rt△OAM中，tanOAM==，
设OM=x，AM=2x，
OA==5x，
5x=5，解得x=1，
AM=2，OM=，
OM⊥AB，
AM=BM，
AB=2AM=4；
（2）作PNAC于N，如图，则AN=CN，设P的半径为r，
OM∥AN，
PAN∽△OAM，
=，即=，解得AN=r，
AC=2AN=r，
MC=AC+AM=r+2，
在Rt△OMC中，OC2=OM2+MC2=（）2+（r+2）2，
OCA=∠OPC，
而AOC=∠COP，
OAC∽△OCP，
OC：OP=OA：OC，
OC2=OA?OP=5（5+r），
（）2+（r+2）2=5（5+r），
整理得16r2﹣45r=0，解得r1=0（舍去），r2=，
即P的半径为．
点评：本题考查了相切两圆的性质：如果两圆相切，那么连心线必经过切点．也考查了垂径定理、相似三角形的判定与性质和解直角三角形．
22．2013年我国多地出现雾霾天气，某企业抓住商机准备生产空气净化设备，该企业决定从以下两个投资方案中选择一个进行投资生产，方案一：生产甲产品，每件产品成本为a元（a为常数，且40＜a＜100），每件产品销售价为120元，每年最多可生产125万件；方案二：生产乙产品，每件产品成本价为80元，每件产品销售价为180元，每年可生产120万件，另外，年销售x万件乙产品时需上交0.5x2万元的特别关税，在不考虑其它因素的情况下：
（1）分别写出该企业两个投资方案的年利润y1（万元）、y2（万元）与相应生产件数x（万件）（x为正整数）之间的函数关系式，并指出自变量的取值范围；
（2）分别求出这两个投资方案的最大年利润；
（3）如果你是企业决策者，为了获得最大收益，你会选择哪个投资方案？
考点：二次函数的应用．
分析：（1）根据题意直接得出y1与y2与x的函数关系式即可；
（2）根据a的取值范围可知y1随x的增大而增大，可求出y1的最大值．又因为﹣0.5＜0，可求出y2的最大值；
（3）第三问要分两种情况决定选择方案一还是方案二．当2000﹣200a＞500以及2000﹣200a＜500．
解答：解：（1）由题意得：
y1=（120﹣a）x（1≤x≤125，x为正整数），
y2=100x﹣0.5x2（1≤x≤120，x为正整数）；
（2）①40＜a＜100，120﹣a＞0，
即y1随x的增大而增大，
当x=125时，y1最大值=（120﹣a）×125=15000﹣125a（万元）
②y2=﹣0.5（x﹣100）2+5000，
a=﹣0.5＜0，
x=100时，y2最大值=5000（万元）；
（3）由15000﹣125a＞5000，
a＜80，
当40＜a＜80时，选择方案一；
由15000﹣125a=5000，得a=80，
当a=80时，选择方案一或方案二均可；
由15000﹣125a＜5000，得a＞80，
当80＜a＜100时，选择方案二．
点评：此题属于一次函数和二次函数的综合的应用题，考查数列模型的构建，考查利用数学知识解决实际问题，解题的构建是确定数列模型．
23．已知：如图①，△ABC中，AI、BI分别平分BAC、ABC．CE是△ABC的外角ACD的平分线，交BI延长线于E，联结CI．
（1）设BAC=2α．如果用α表示BIC和E，那么BIC=90°+α，E=α；
（2）如果AB=1，且△ABC与△ICE相似时，求线段AC的长；
（3）如图②，延长AI交EC延长线于F，如果α=30°，sinF=，设BC=m，试用m的代数式表示BE．
考点：相似形综合题．
分析：（1）根据三角形内角与外角的关系可以用α表示BIC和E；
（2）△ABC与△ICE相似，根据题意知ICE=90°，可分三种情况讨论．根据“相似三角形对应边的比相等”求出相应AC长；
（3）由于ACD是△ABC的外角，可得出ACD=∠BAC+∠ABC；由于CE、IA、IB分别为ACD、BAC、ABC的角平分线，不难得出ECD=∠BCF=∠BIF=∠BAI+∠ABI，由此可得出BCE=∠EIF，即可证得△EBCEFI．所以根据该相似三角形的对应边成比例来求m的值．
解答：解：（1）在△BCE中有：E=180°﹣BCE﹣CBE，
又AI、BI分别平分BAC、ABC．
CI是ACB的平分线，
CE是ACD的平分线，
ECI是平角BCD的一半，
ECI=90°，
E=90°﹣BCI﹣CBI，
在△ABC中，BAC=（180°﹣ABC﹣ACB）=90°﹣BCI﹣CBE=α，即E=α．
在三角形BIC中，由外角性质得到：BIC=90°+α，
综上所述，BIC=90°+α，E=α．
故填：90°+α，α；
（2）由题意易证得△ICE是直角三角形，且E=α．
当△ABCICE时，可得△ABC是直角三角形，有下列三种情况：
①当ABC=90°时，BAC=2α，E=α；
只能E=∠BCA，可得BAC=2∠BCA．
BAC=60°，BCA=30°．
AC=2AB．
AB=1，
AC=2．
②当BCA=90°时，
BAC=2α，E=α；
只能E=∠ABC，可得BAC=2∠ABC．
BAC=60°，ABC=30°．
AB=2AC．
AB=1，
AC=．
③当BAC=90°时，BAC=2α，E=α；
E=∠BAI=∠CAI=45°．
ABC是等腰直角三角形．即AC=AB．
AB=1，
AC=1．
综上所述，当△ABCICE时，线段AC的长为1或2或．
（3）E=∠CAI，由三角形内角和可得AIE=∠ACE．
AIB=∠ACF．
又BAI=∠CAI，
ABI=∠F．
又BI平分ABC，
ABI=∠F=∠EBC．
又E是公共角，
EBC∽△EFI．
在Rt△ICF中，sinF=，设IC=3k，那么CF=4k，IF=5k．
在Rt△ICE中，E=30°，设IC=3k，那么CE=3k，IE=6k．
EBC∽△EFI．
==．
又BC=m，
BE=m．
点评：本题考查相似三角形的判定和性质，以及三角形内角与外角的关系．两三角形相似，注意根据对应边的不同，分情况讨论是解决本题的关键．
24．点P为抛物线y=x2﹣2mx+m2（m为常数，m＞0）上任一点，将抛物线绕顶点G逆时针旋转90°后得到的新图象与y轴交于A、B两点（点A在点B的上方），点Q为点P旋转后的对应点．
（1）当m=2，点P的横坐标为4时，求Q点的坐标；
（2）设点Q（a，b），用含m、b的代数式表示a；
（3）如图2，若原抛物线恰好也经过A点，点Q在第一象限内，是否存在这样的点P使得AQ=GQ？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
考点：二次函数综合题．
专题：常规题型．
分析：（1）根据m=2，即可求得点Q的坐标；
（2）根据抛物线顶点性质可以求得旋转后抛物线解析式，代入Q点可解；
（3）根据AQ=GQ，求得m的值，即可求得P点坐标，即可解题．
解答：解：（1）m=2，抛物线y=x2﹣2mx+m2=x2﹣4x+4，
顶点为G（2，0），
P点横坐标为4，纵坐标为4，
P点横纵坐标与顶点G差值为2、4，
Q点坐标为（﹣2，2）；
（2）y=x2﹣2mx+m2中，y=m时，x=m±，
OA=，A点为（0，），B点为（0，﹣），
将A，B，G点代入x=ay2+c可得，a=﹣1，b=0，c=m，
旋转后抛物线解析式为x=﹣y2+m，
将点Q（a，b）代入x=﹣y2+m得，
a=﹣b2+m，
（3）点Q在第一象限内，AQ=GQ，
Q点坐标为（，m），
则P点坐标为（m+m，）
将P点代入y=x2﹣2mx+m2得m=1，
存在P点坐标为（1+，）．
点评：本题考查了旋转的性质，考查了二次函数顶点的运用．
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