2015年湖北省武汉市元月调考九年级数学模拟试卷（1）
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．二次函数y=kx2﹣6x+3的图象与x轴有交点，则k的取值范围是（）
A．k＜3B．k＜3且k≠0C．k≤3D．k≤3且k≠0
2．在平面直角坐标系中，点A（l，3）关于原点O对称的点A′的坐标为（）
A．（﹣1，3）B．（1，﹣3）C．（3，1）D．（﹣1，﹣3）
3．下列函数中，当x＞0时，y的值随x的值增大而增大的是（）
A．y=﹣x2B．y=x﹣1C．y=﹣x+1D．y=
4．商场举行摸奖促销活动，对于“抽到一等奖的概率为O.1”．下列说法正确的是（）
A．抽10次奖必有一次抽到一等奖
B．抽一次不可能抽到一等奖
C．抽10次也可能没有抽到一等奖
D．抽了9次如果没有抽到一等奖，那么再抽一次肯定抽到一等奖
5．若一次函数y=ax+b（a≠0）的图象与x轴的交点坐标为（﹣2，0），则抛物线y=ax2+bx的对称轴为（）
A．直线x=1B．直线x=﹣2C．直线x=﹣1D．直线x=﹣4
6．如图，将等腰直角三角形ABC绕点A逆时针旋转15°后得到△AB′C′，若AC=1，则图中阴影部分的面积为（）
A．B．C．D．
7．如图，直线AB、AD与O相切于点B、D，C为O上一点，且BCD=140°，则A的度数是（）
A．70°B．105°C．100°D．110°
8．已知x1，x2是方程的两根，则的值为（）
A．3B．5C．7D．
9．如图，在O内有折线OABC，点B、C在圆上，点A在O内，其中OA=4cm，BC=10cm，A=∠B=60°，则AB的长为（）
A．5cmB．6cmC．7cmD．8cm
10．已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图，其对称轴x=﹣1，给出下列结果：
①b2＞4ac；②abc＞0；③2a+b=0；④a+b+c＞0；⑤a﹣b+c＜0，
则正确的结论是（）
A．①②③④B．②④⑤C．②③④D．①④⑤
二、填空题（每小题3分，共18分）
11．在O中，半径R=1，弦AB=，弦AC=，则BAC的度数为．
12．一个扇形的弧长是20πcm，面积是240πcm2，则这个扇形的圆心角是度．
13．某校准备组织师生观看北京奥运会球类比赛，在不同时间段里有3场比赛，其中2场是乒乓球赛，1场是羽毛球赛，从中任意选看2场，则选看的2场恰好都是乒乓球比赛的概率是．
14．已知整数k＜5，若△ABC的边长均满足关于x的方程x2﹣3x+8=0，则△ABC的周长是．
15．如图，直线y=﹣x+4与x轴、y轴分别交于A、B两点，把△AOB绕点A顺时针旋转90°后得到△AO′B′，则点B′的坐标是．
16．如图，在△ABC中，AB=10，AC=8，BC=6，经过点C且与边AB相切的动圆与CB，CA分别相交于点E，F，则线段EF长度的最小值是．
三、解答题
17．解方程：x2﹣5x+2=0．
18．已知关于x的方程x2﹣2（k﹣1）x+k2=0有两个实数根x1，x2．
（1）求k的取值范围；
（2）若|x1+x2|=x1x2﹣1，求k的值．
19．如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小正方形的顶点叫做格点．△ABO的三个顶点A、B、O都在格点上．
（1）画出△ABO绕点O逆时针旋转90°后得到的△A1B1O三角形；
（2）点B的运动路径的长；
（3）求△ABO在上述旋转过程中所扫过的面积．
20．为丰富学生的学习生活，某校九年级1班组织学生参加春游活动，所联系的旅行社收费标准如下：
如果人数超过25人，每增加1人，人均活动费用降低2元，但人均活动费用不得低于75元．
如果人数不超过25人，人均活动费用为100元．
春游活动结束后，该班共支付给该旅行社活动费用2800元，请问该班共有多少人参加这次春游活动？
21．箱子里有3个红球和2个黄球，从箱子中一次拿两个球出来．
（1）请你用列举法（树形图或列表）求一次拿出的两个球中时一红一黄的概率；
（2）往箱子中再加入x个白球，从箱子里一次拿出的两个球，多次实验统计如下
取出两个球的次数203050100150200400
至少有一个球是白球的次数13203571107146288
至少有一个球是白球的频率0.650.670.700.710.7130.730.72
请你估计至少有一个球是白球的概率是多少？
（3）在（2）的条件下求x的值．（=0.7222222…）
22．如图，AB为O的直径，AD与O相切于点A，DE与O相切于点E，点C为DE延长线上一点，且CE=CB．
（1）求证：BC为O的切线；
（2）若，AD=2，求线段BC的长．
23．某工厂生产一种合金薄板（其厚度忽略不计），这些薄板的形状均为正方形，边长在（单位：cm）在5～50之间．每张薄板的成本价（单位：元）与它的面积（单位：cm2）成正比例，每张薄板的出厂价（单位：元）有基础价和浮动价两部分组成，其中基础价与薄板的大小无关，是固定不变的．浮动价与薄板的边长成正比例．在营销过程中得到了表格中的数据．
薄板的边长（cm）2030
出厂价（元/张）5070
（1）求一张薄板的出厂价与边长之间满足的函数关系式；
（2）已知出厂一张边长为40cm的薄板，获得的利润为26元（利润=出厂价﹣成本价），
①求一张薄板的利润与边长之间满足的函数关系式．
②当边长为多少时，出厂一张薄板所获得的利润最大？最大利润是多少？
参考公式：抛物线：y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标为（﹣，）
24．已知：Rt△A′BC′Rt△ABC，A′C′B=∠ACB=90°，A′BC′=∠ABC=60°，Rt△A′BC′可绕点B旋转，设旋转过程中直线CC′和AA′相交于点D．
（1）如图1所示，当点C′在AB边上时，判断线段AD和线段A′D之间的数量关系，并证明你的结论；
（2）将Rt△A′BC′由图1的位置旋转到图2的位置时，（1）中的结论是否成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由；
（3）将Rt△A′BC′由图1的位置按顺时针方向旋转α角（0°≤α≤120°），当A、C′、A′三点在一条直线上时，请直接写出旋转角的度数．
25．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，A点在原点的左侧，B点的坐标为（3，0），与y轴交于C（0，﹣3）点，点P是直线BC下方的抛物线上一动点．
（1）求这个二次函数的表达式．
（2）连接PO、PC，并把△POC沿CO翻折，得到四边形POP′C，那么是否存在点P，使四边形POP′C为菱形？若存在，请求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）当点P运动到什么位置时，四边形ABPC的面积最大？求出此时P点的坐标和四边形ABPC的最大面积．
2015年湖北省武汉市元月调考九年级数学模拟试卷（1）
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．二次函数y=kx2﹣6x+3的图象与x轴有交点，则k的取值范围是（）
A．k＜3B．k＜3且k≠0C．k≤3D．k≤3且k≠0
考点：抛物线与x轴的交点．
分析：利用kx2﹣6x+3=0有实数根，根据判别式可求出k取值范围．
解答：解：二次函数y=kx2﹣6x+3的图象与x轴有交点，
方程kx2﹣6x+3=0（k≠0）有实数根，
即△=36﹣12k≥0，k≤3，由于是二次函数，故k≠0，则k的取值范围是k≤3且k≠0．
故选D．
点评：考查二次函数与一元二次方程的关系．
2．在平面直角坐标系中，点A（l，3）关于原点O对称的点A′的坐标为（）
A．（﹣1，3）B．（1，﹣3）C．（3，1）D．（﹣1，﹣3）
考点：关于原点对称的点的坐标．
分析：根据关于原点对称的点的坐标特点：两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反可直接得到答案．
解答：解：点A（l，3）关于原点O对称的点A′的坐标为（﹣1，﹣3）．
故选：D．
点评：此题主要考查了关于原点对称的点的坐标特点，关键是掌握点的坐标的变化规律．
3．下列函数中，当x＞0时，y的值随x的值增大而增大的是（）
A．y=﹣x2B．y=x﹣1C．y=﹣x+1D．y=
考点：二次函数的性质；一次函数的性质；反比例函数的性质．
分析：根据二次函数的性质对A进行判断；根据一次函数的性质对B、C进行判断；根据反比例函数性质对D进行判断．
解答：解：A、y=﹣x2，当x＞0时，y的值随x的值增大而减小，所以A选项错误；
B、y=x﹣1，x＞0时，y的值随x的值增大而增大，所以B选项正确；
C、y=﹣x+1，当x＞0时，y的值随x的值增大而减小，所以C选项错误；
D、y=，当x＞0时，y的值随x的值增大而减小，所以D选项错误．
故选B．
点评：本题考查了二次函数的性质：二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象为抛物线；抛物线的顶点式为y=a（x﹣）2+，对称轴为直线x=﹣，顶点坐标为（﹣，），当a＞0，抛物线开口向上，在对称轴左侧，y随x的增大而减小，在对称轴右侧，y随x的增大而增大；抛物线与y轴的交点坐标为（0，c）．也考查了一次函数和反比例函数的性质．
4．商场举行摸奖促销活动，对于“抽到一等奖的概率为O.1”．下列说法正确的是（）
A．抽10次奖必有一次抽到一等奖
B．抽一次不可能抽到一等奖
C．抽10次也可能没有抽到一等奖
D．抽了9次如果没有抽到一等奖，那么再抽一次肯定抽到一等奖
考点：概率的意义．
分析：根据概率是频率（多个）的波动稳定值，是对事件发生可能性大小的量的表现进行解答即可．
解答：解：根据概率的意义可得“抽到一等奖的概率为O.1”就是说抽10次可能抽到一等奖，也可能没有抽到一等奖，
故选：C．
点评：此题主要考查了概率的意义，概率是对事件发生可能性大小的量的表现．
5．若一次函数y=ax+b（a≠0）的图象与x轴的交点坐标为（﹣2，0），则抛物线y=ax2+bx的对称轴为（）
A．直线x=1B．直线x=﹣2C．直线x=﹣1D．直线x=﹣4
考点：二次函数的性质；一次函数图象上点的坐标特征．
分析：先将（﹣2，0）代入一次函数解析式y=ax+b，得到﹣2a+b=0，即b=2a，再根据抛物线y=ax2+bx的对称轴为直线x=﹣即可求解．
解答：解：一次函数y=ax+b（a≠0）的图象与x轴的交点坐标为（﹣2，0），
﹣2a+b=0，即b=2a，
抛物线y=ax2+bx的对称轴为直线x=﹣=﹣=﹣1．
故选：C．
点评：本题考查了一次函数图象上点的坐标特征及二次函数的性质，难度适中．用到的知识点：
点在函数的图象上，则点的坐标满足函数的解析式；
二次函数y=ax2+bx+c的对称轴为直线x=﹣．
6．如图，将等腰直角三角形ABC绕点A逆时针旋转15°后得到△AB′C′，若AC=1，则图中阴影部分的面积为（）
A．B．C．D．
考点：解直角三角形；等腰直角三角形；旋转的性质．
专题：计算题．
分析：根据旋转的性质可得AC′=AC，BAC′=30°，然后利用BAC′的正切求出C′D的长度，再利用三角形的面积公式列式计算即可求解．
解答：解：根据题意，AC′=AC=1，
B′AB=15°，
BAC′=45°﹣15°=30°，
C′D=AC′tan30°=，
S阴影=AC′?C′D=×1×=．
故选B．
点评：本题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的两直角边相等，锐角等于45°的性质，是基础题，难度不大．
7．如图，直线AB、AD与O相切于点B、D，C为O上一点，且BCD=140°，则A的度数是（）
A．70°B．105°C．100°D．110°
考点：切线的性质；圆周角定理；圆内接四边形的性质．
分析：过点B作直径BE，连接OD、DE．
根据圆内接四边形性质可求E的度数；根据圆周角定理求BOD的度数；根据四边形内角和定理求解．
解答：解：过点B作直径BE，连接OD、DE．
B、C、D、E共圆，BCD=140°，
E=180°﹣140°=40°．
BOD=80°．
AB、AD与O相切于点B、D，
OBA=∠ODA=90°．
A=360°﹣90°﹣90°﹣80°=100°．
故选C．
点评：此题考查了切线的性质、圆内接四边形性质、圆周角定理、四边形内角和定理等知识点，难度中等．
连接切点和圆心是解决有关切线问题时常作的辅助线．
8．已知x1，x2是方程的两根，则的值为（）
A．3B．5C．7D．
考点：根与系数的关系．
分析：首先，根据根与系数的关系求得x1+x2=，x1?x2=1；
其次，对所求的代数式进行变形，变为含有两根之和、两根之积的形式的代数式；
最后，代入求值即可．
解答：解：∵x1，x2是方程的两根，
x1+x2=，x1?x2=1，
=（x1+x2）2﹣2x1?x2=5﹣2=3．
故选A．
点评：此题主要考查了根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．
9．如图，在O内有折线OABC，点B、C在圆上，点A在O内，其中OA=4cm，BC=10cm，A=∠B=60°，则AB的长为（）
A．5cmB．6cmC．7cmD．8cm
考点：垂径定理；含30度角的直角三角形；勾股定理．
专题：计算题．
分析：延长AO交BC于D，过O作BC的垂线，设垂足为E，根据A、B的度数易证得△ABD是等边三角形，设AB的长为xcm，由此可表示出OD、BD和DE的长；在Rt△ODE中，根据ODE的度数，可得出OD=2DE，进而可求出x的值．
解答：解：延长AO交BC于D，作OEBC于E，
设AB的长为xcm，
A=∠B=60°，ADB=60°；
ADB为等边三角形；
BD=AD=AB=x；
OA=4cm，BC=10cm，
BE=5cm，DE=（x﹣5）cm，OD=（x﹣4）cm，
又ADB=60°，
DE=OD，
x﹣5=（x﹣4），
解得：x=6．
故选B．
点评：此题主要考查了等边三角形的判定和性质以及勾股定理的应用．解答此题时，通过作辅助线将半径OB置于直角三角形OBE中，从而利用勾股定理求得．
10．已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图，其对称轴x=﹣1，给出下列结果：
①b2＞4ac；②abc＞0；③2a+b=0；④a+b+c＞0；⑤a﹣b+c＜0，
则正确的结论是（）
A．①②③④B．②④⑤C．②③④D．①④⑤
考点：二次函数图象与系数的关系．
专题：计算题；压轴题．
分析：根据抛物线与x轴的交点情况，抛物线的开口方向，对称轴及与y轴的交点，当x=±1时的函数值，逐一判断．
解答：解：抛物线与x轴有两个交点，=b2﹣4ac＞0，即b2＞4ac，故①正确；
抛物线对称轴为x=﹣＜0，与y轴交于负半轴，ab＞0，c＜0，abc＜0，故②错误；
抛物线对称轴为x=﹣=﹣1，2a﹣b=0，故③错误；
当x=1时，y＞0，即a+b+c＞0，故④正确；
当x=﹣1时，y＜0，即a﹣b+c＜0，故⑤正确；
正确的是①④⑤．
故选D．
点评：本题考查了抛物线与二次函数系数之间的关系．关键是会利用对称轴的值求2a与b的关系，对称轴与开口方向确定增减性，以及二次函数与方程之间的转换．
二、填空题（每小题3分，共18分）
11．在O中，半径R=1，弦AB=，弦AC=，则BAC的度数为75°或15°．
考点：垂径定理；勾股定理；特殊角的三角函数值．
分析：作垂直于弦的半径，构造直角三角形，利用三角函数的特殊值进行解答．
解答：解：利用垂径定理可知：AD=，AE=，
根据直角三角形中三角函数的值可知：
sinAOD=，
AOD=60°sin∠AOE=，
AOE=45°，
BAC=75°．
当两弦共弧的时候就是15°．
故答案为：75°或15°．
点评：本题的关键是画图，图形可以帮助学生直观简单的理清题意，然后利用垂径定理和特殊角的三角函数求解即可．注意本题有两种情况．
12．一个扇形的弧长是20πcm，面积是240πcm2，则这个扇形的圆心角是150度．
考点：扇形面积的计算；弧长的计算．
专题：计算题．
分析：根据扇形的面积公式求出半径，然后根据弧长公式求出圆心角即可．
解答：解：扇形的面积公式=lr=240πcm2，
解得：r=24cm，
又l==20πcm，
n=150°．
故答案为：150．
点评：此题主要是利用扇形的面积公式先求出扇形的半径，再利用弧长公式求出圆心角．
13．某校准备组织师生观看北京奥运会球类比赛，在不同时间段里有3场比赛，其中2场是乒乓球赛，1场是羽毛球赛，从中任意选看2场，则选看的2场恰好都是乒乓球比赛的概率是．
考点：列表法与树状图法．
分析：先用列表法或画树状图法分析所有等可能的出现结果，然后根据概率公式求出该事件的概率．
解答：解：由树状图可知共有3×2=6种可能，选看的2场恰好都是乒乓球比赛的有2种，所以概率是．
点评：画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
14．已知整数k＜5，若△ABC的边长均满足关于x的方程x2﹣3x+8=0，则△ABC的周长是6或12或10．
考点：根的判别式；解一元二次方程-因式分解法；三角形三边关系．
专题：计算题；压轴题．
分析：根据题意得k≥0且（3）2﹣4×8≥0，而整数k＜5，则k=4，方程变形为x2﹣6x+8=0，解得x1=2，x2=4，由于△ABC的边长均满足关于x的方程x2﹣6x+8=0，
所以△ABC的边长可以为2、2、2或4、4、4或4、4、2，然后分别计算三角形周长．
解答：解：根据题意得k≥0且（3）2﹣4×8≥0，
解得k≥，
整数k＜5，
k=4，
方程变形为x2﹣6x+8=0，解得x1=2，x2=4，
ABC的边长均满足关于x的方程x2﹣6x+8=0，
ABC的边长为2、2、2或4、4、4或4、4、2．
ABC的周长为6或12或10．
故答案为：6或12或10．．
点评：本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2﹣4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．也考查了因式分解法解一元二次方程以及三角形三边的关系．
15．如图，直线y=﹣x+4与x轴、y轴分别交于A、B两点，把△AOB绕点A顺时针旋转90°后得到△AO′B′，则点B′的坐标是（7，3）．
考点：坐标与图形变化-旋转；一次函数的性质．
专题：图表型．
分析：根据旋转的性质﹣﹣旋转不改变图形的形状和大小解答．
解答：解：直线y=﹣x+4与x轴、y轴分别交于A（3，0）、B（0，4）两点，由图易知点B′的纵坐标为O′A=OA=3，横坐标为OA+O′B′=OA+OB=7．则点B′的坐标是（7，3）．
故答案为：（7，3）．
点评：解题时需注意旋转前后线段的长度不变．
16．如图，在△ABC中，AB=10，AC=8，BC=6，经过点C且与边AB相切的动圆与CB，CA分别相交于点E，F，则线段EF长度的最小值是4.8．
考点：切线的性质；垂线段最短；勾股定理的逆定理．
分析：设EF的中点为P，P与AB的切点为D，连接PD，连接CP，CD，则有PDAB；由勾股定理的逆定理知，△ABC是直角三角形PC+PD=EF，由三角形的三边关系知，PC+PD＞CD；只有当点P在CD上时，PC+PD=EF有最小值为CD的长，即当点P在直角三角形ABC的斜边AB的高CD上时，EF=CD有最小值，由直角三角形的面积公式知，此时CD=BC?AC÷AB，进而求出即可．
解答：解：如图，设EF的中点为P，P与AB的切点为D，连接PD，连接CP，CD，则有PDAB；
AB=10，AC=8，BC=6，
ACB=90°，PC+PD=EF，
PC+PD＞CD，
当点P在直角三角形ABC的斜边AB的高CD上时，EF=CD有最小值，
CD=BC?AC÷AB=4.8．
故答案为：4.8．
点评：此题主要考查了切线的性质，勾股定理的逆定理，三角形的三边关系，直角三角形的面积公式求解，得出CD=BC?AC÷AB是解题关键．
三、解答题
17．解方程：x2﹣5x+2=0．
考点：解一元二次方程-公式法．
专题：计算题．
分析：找出a，b及c的值，得到根的判别式的值大于0，代入求根公式即可求出解．
解答：解：这里a=1，b=﹣5，c=2，
=25﹣8=17＞0，
x=，
则x1=，x2=．
点评：此题考查了解一元二次方程﹣公式法，利用公式法解方程时，首先将方程整理为一般形式，找出a，b及c的值，当根的判别式的值大于等于0时，代入求根公式即可求出解．
18．已知关于x的方程x2﹣2（k﹣1）x+k2=0有两个实数根x1，x2．
（1）求k的取值范围；
（2）若|x1+x2|=x1x2﹣1，求k的值．
考点：根与系数的关系；根的判别式．
专题：计算题．
分析：（1）方程有两个实数根，可得△=b2﹣4ac≥0，代入可解出k的取值范围；
（2）结合（1）中k的取值范围，由题意可知，x1+x2=2（k﹣1）＜0，去绝对值号结合等式关系，可得出k的值．
解答：解：（1）由方程有两个实数根，可得
△=b2﹣4ac=4（k﹣1）2﹣4k2=4k2﹣8k+4﹣4k2=﹣8k+4≥0，
解得，k≤；
（2）依据题意可得，x1+x2=2（k﹣1），x1?x2=k2，
由（1）可知k≤，
2（k﹣1）＜0，x1+x2＜0，
﹣x1﹣x2=﹣（x1+x2）=x1?x2﹣1，
﹣2（k﹣1）=k2﹣1，
解得k1=1（舍去），k2=﹣3，
k的值是﹣3．
答：（1）k的取值范围是k≤；（2）k的值是﹣3．
点评：本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式相结合解题是一种经常使用的解题方法；注意k的取值范围是正确解答的关键．
19．如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小正方形的顶点叫做格点．△ABO的三个顶点A、B、O都在格点上．
（1）画出△ABO绕点O逆时针旋转90°后得到的△A1B1O三角形；
（2）点B的运动路径的长；
（3）求△ABO在上述旋转过程中所扫过的面积．
考点：作图-旋转变换；弧长的计算；扇形面积的计算．
专题：作图题．
分析：（1）根据网格结构找出点A、B绕点O逆时针旋转90°后的对应点A1、B1的位置，然后顺次连接即可；
（2）利用弧长公式列式计算即可得解；
（3）观察图形，△ABO旋转过程中所扫过的面积等于一个扇形的面积加上三角形的面积列式计算即可得解．
解答：解：（1）△A1B1O如图所示；
（2）点B的运动路径的长==2π；
（3）扫过的面积=S扇形B1OB+S△AOB，
=+×4×2，
=4π+4．
点评：本题考查了利用旋转变换作图，弧长的计算，扇形面积的计算，熟练掌握网格结构，准确找出对应点的位置是解题的关键．
20．为丰富学生的学习生活，某校九年级1班组织学生参加春游活动，所联系的旅行社收费标准如下：
如果人数超过25人，每增加1人，人均活动费用降低2元，但人均活动费用不得低于75元．
如果人数不超过25人，人均活动费用为100元．
春游活动结束后，该班共支付给该旅行社活动费用2800元，请问该班共有多少人参加这次春游活动？
考点：一元二次方程的应用．
专题：应用题．
分析：判断得到这次春游活动的人数超过25人，设人数为x名，根据题意列出方程，求出方程的解即可得到结果．
解答：解：25人的费用为2500元＜2800元，
参加这次春游活动的人数超过25人，
设该班参加这次春游活动的人数为x名．
根据题意，得[100﹣2（x﹣25）]x=2800，
整理，得x2﹣75x+1400=0，
解得：x1=40，x2=35，
x1=40时，100﹣2（x﹣25）=70＜75，不合题意，舍去；
x2=35时，100﹣2（x﹣25）=80＞75，
答：该班共有35人参加这次春游活动．
点评：此题考查了一元二次方程的应用，找出题中的等量关系是解本题的关键．
21．箱子里有3个红球和2个黄球，从箱子中一次拿两个球出来．
（1）请你用列举法（树形图或列表）求一次拿出的两个球中时一红一黄的概率；
（2）往箱子中再加入x个白球，从箱子里一次拿出的两个球，多次实验统计如下
取出两个球的次数203050100150200400
至少有一个球是白球的次数13203571107146288
至少有一个球是白球的频率0.650.670.700.710.7130.730.72
请你估计至少有一个球是白球的概率是多少？
（3）在（2）的条件下求x的值．（=0.7222222…）
考点：列表法与树状图法；利用频率估计概率．
分析：（1）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与一次拿出的两个球中时一红一黄的情况，再利用概率公式即可求得答案；
（2）观察表格，即可求得答案；
（3）由共有（x+5）（x+4）取法，至少有一个球是白球的有：（x+5）（x+4）﹣20，可得=，继而求得答案．
解答：解：（1）画树状图得：
共有20种等可能的结果，一次拿出的两个球中时一红一黄的有12种情况，
一次拿出的两个球中时一红一黄的概率为：=；
（2）观察可得：至少有一个球是白球的概率是：0.72；
（3）共有（x+5）（x+4）取法，至少有一个球是白球的有：（x+5）（x+4）﹣20，
=，
解得：x=4，
经检验，x=4是原分式方程的解．
点评：本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．注意列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
22．如图，AB为O的直径，AD与O相切于点A，DE与O相切于点E，点C为DE延长线上一点，且CE=CB．
（1）求证：BC为O的切线；
（2）若，AD=2，求线段BC的长．
考点：切线的判定与性质；勾股定理．
专题：计算题．
分析：（1）因为BC经过圆的半径的外端，只要证明ABBC即可．连接OE、OC，利用△OBCOEC，得到OBC=90°即可证明BC为O的切线．
（2）作DFBC于点F，构造Rt△DFC，利用勾股定理解答即可．
解答：（1）证明：连接OE、OC．
CB=CE，OB=OE，OC=OC，
OBC≌△OEC．
OBC=∠OEC．
又DE与O相切于点E，
OEC=90°．
OBC=90°．
BC为O的切线．
（2）解：过点D作DFBC于点F，则四边形ABFD是矩形，BF=AD=2，DF=AB=2．
AD、DC、BC分别切O于点A、E、B，
DA=DE，CE=CB．
设BC为x，则CF=x﹣2，DC=x+2．
在Rt△DFC中，（x+2）2﹣（x﹣2）2=（2）2，解得x=．
BC=．
点评：此题考查了切线的判定和勾股定理的应用，作出辅助线构造直角三角形和全等三角形是解题的关键．
23．某工厂生产一种合金薄板（其厚度忽略不计），这些薄板的形状均为正方形，边长在（单位：cm）在5～50之间．每张薄板的成本价（单位：元）与它的面积（单位：cm2）成正比例，每张薄板的出厂价（单位：元）有基础价和浮动价两部分组成，其中基础价与薄板的大小无关，是固定不变的．浮动价与薄板的边长成正比例．在营销过程中得到了表格中的数据．
薄板的边长（cm）2030
出厂价（元/张）5070
（1）求一张薄板的出厂价与边长之间满足的函数关系式；
（2）已知出厂一张边长为40cm的薄板，获得的利润为26元（利润=出厂价﹣成本价），
①求一张薄板的利润与边长之间满足的函数关系式．
②当边长为多少时，出厂一张薄板所获得的利润最大？最大利润是多少？
参考公式：抛物线：y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标为（﹣，）
考点：二次函数的应用．
分析：（1）利用待定系数法求一次函数解析式即可得出答案；
（2）①首先假设一张薄板的利润为p元，它的成本价为mx2元，由题意，得：p=y﹣mx2，进而得出m的值，求出函数解析式即可；
②利用二次函数的最值公式求出二次函数的最值即可．
解答：解：（1）设一张薄板的边长为xcm，它的出厂价为y元，基础价为n元，浮动价为kx元，则y=kx+n．
由表格中的数据，得，
解得，
所以y=2x+10；
（2）①设一张薄板的利润为p元，它的成本价为mx2元，由题意，得：
p=y﹣mx2=2x+10﹣mx2，
将x=40，p=26代入p=2x+10﹣mx2中，
得26=2×40+10﹣m×402．
解得m=．
所以p=﹣x2+2x+10．
②因为a=﹣＜0，所以，当x=﹣=﹣=25（在5～50之间）时，
p最大值===35．
即出厂一张边长为25cm的薄板，获得的利润最大，最大利润是35元．
点评：本题考查了二次函数的最值求法以及待定系数法求一次函数解析式，求二次函数的最大（小）值有三种方法，第一种可由图象直接得出，第二种是配方法，第三种是公式法，常用的是后两种方法．
24．已知：Rt△A′BC′Rt△ABC，A′C′B=∠ACB=90°，A′BC′=∠ABC=60°，Rt△A′BC′可绕点B旋转，设旋转过程中直线CC′和AA′相交于点D．
（1）如图1所示，当点C′在AB边上时，判断线段AD和线段A′D之间的数量关系，并证明你的结论；
（2）将Rt△A′BC′由图1的位置旋转到图2的位置时，（1）中的结论是否成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由；
（3）将Rt△A′BC′由图1的位置按顺时针方向旋转α角（0°≤α≤120°），当A、C′、A′三点在一条直线上时，请直接写出旋转角的度数．
考点：几何变换综合题．
专题：综合题．
分析：（1）易证△BCC′和△BAA′都是等边三角形，从而可以求出AC′D=∠BAD=60°，DC′A′=∠DA′C′=30°，进而可以证到AD=DC′=A′D．
（2）解答中提供了两种方法，分别利用相似与全等，证明所得的结论．
（3）当A、C′、A′三点在一条直线上时，有AC′B=90°，易证Rt△ACBRt△AC′B（HL），从而可以求出旋转角α的度数．
解答：答：（1）AD=A′D．
证明：如图1，
Rt△A′BC′≌Rt△ABC，
BC=BC′，BA=BA′．
A′BC′=∠ABC=60°，
BCC′和△BAA′都是等边三角形．
BAA′=∠BC′C=60°．
A′C′B=90°，
DC′A′=30°．
AC′D=∠BC′C=60°，
ADC′=60°．
DA′C′=30°．
DAC′=∠DC′A，DC′A′=∠DA′C′．
AD=DC′，DC′=DA′．
AD=A′D．
（2）仍然成立：AD=A′D．
证法一：利用相似．如图2﹣1．
由旋转可得，BA=BA′，BC=BC′，CBC′=∠ABA′
∵∠1=（180°﹣ABA′），3=（180°﹣CBC′）
1=∠3．
设AB、CD交于点O，则AOD=∠BOC
∴△BOC∽△DOA．
2=∠4，=．
连接BD，
BOD=∠COA，
BOD∽△COA．
5=∠6．
ACB=90°，
2+∠5=90°．
4+∠6=90°，即ADB=90°．
BA=BA′，ADB=90°，
AD=A′D．
证法二：利用全等．如图2﹣2．
过点A作AEA′C′，交CD的延长线于点E，则1=∠2，E=∠3．
由旋转可得，AC=A′C′，BC=BC′，
4=∠5．
ACB=∠A′C′B=90°，
5+∠6=∠3+∠4=90°，
3=∠6．
E=∠6，AE=AC=A′C′．
在△ADE与△A′DC′中，
ADE≌△A′DC′（ASA），
AD=A′D．
（3）当A、C′、A′三点在一条直线上时，如图3，
则有AC′B=180°﹣A′C′B=90°．
在Rt△ACB和Rt△AC′B中，
．
Rt△ACB≌Rt△AC′B（HL）．
ABC=∠ABC′=60°．
当A、C′、A′三点在一条直线上时，旋转角α的度数为60°．
点评：本题考查了旋转的性质、等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质等知识，有一定的综合性．
25．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，A点在原点的左侧，B点的坐标为（3，0），与y轴交于C（0，﹣3）点，点P是直线BC下方的抛物线上一动点．
（1）求这个二次函数的表达式．
（2）连接PO、PC，并把△POC沿CO翻折，得到四边形POP′C，那么是否存在点P，使四边形POP′C为菱形？若存在，请求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）当点P运动到什么位置时，四边形ABPC的面积最大？求出此时P点的坐标和四边形ABPC的最大面积．
考点：二次函数综合题．
专题：压轴题．
分析：（1）将B、C的坐标代入抛物线的解析式中即可求得待定系数的值；
（2）由于菱形的对角线互相垂直平分，若四边形POP′C为菱形，那么P点必在OC的垂直平分线上，据此可求出P点的纵坐标，代入抛物线的解析式中即可求出P点的坐标；
（3）由于△ABC的面积为定值，当四边形ABPC的面积最大时，△BPC的面积最大；过P作y轴的平行线，交直线BC于Q，交x轴于F，易求得直线BC的解析式，可设出P点的横坐标，然后根据抛物线和直线BC的解析式求出Q、P的纵坐标，即可得到PQ的长，以PQ为底，B点横坐标的绝对值为高即可求得△BPC的面积，由此可得到关于四边形ACPB的面积与P点横坐标的函数关系式，根据函数的性质即可求出四边形ABPC的最大面积及对应的P点坐标．
解答：解：（1）将B、C两点的坐标代入得，
解得：；
所以二次函数的表达式为：y=x2﹣2x﹣3
（2）存在点P，使四边形POP′C为菱形；
设P点坐标为（x，x2﹣2x﹣3），PP′交CO于E
若四边形POP′C是菱形，则有PC=PO；
连接PP′，则PECO于E，
C（0，﹣3），
CO=3，
又OE=EC，
OE=EC=
∴y=；
x2﹣2x﹣3=
解得x1=，x2=（不合题意，舍去），
P点的坐标为（，）
（3）过点P作y轴的平行线与BC交于点Q，与OB交于点F，设P（x，x2﹣2x﹣3），设直线BC的解析式为：y=kx+d，
则，
解得：
直线BC的解析式为y=x﹣3，
则Q点的坐标为（x，x﹣3）；
当0=x2﹣2x﹣3，
解得：x1=﹣1，x2=3，
AO=1，AB=4，
S四边形ABPC=S△ABC+S△BPQ+S△CPQ
=AB?OC+QP?BF+QP?OF
=
=
当时，四边形ABPC的面积最大
此时P点的坐标为，四边形ABPC的面积的最大值为．
点评：此题考查了二次函数解析式的确定、菱形的判定和性质以及图形面积的求法等知识，当所求图形不规则时通常要将其转换为其他规则图形面积的和差关系来求解．
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