2015年湖北省武汉市元月调考九年级数学模拟试卷（2）
一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）
1．将一元二次方程2x2+7=9x化成一般式后，二次项系数和一次项系数分别为（）
A．2，9B．2，7C．2，﹣9D．2x2，﹣9x
2．抛物线y=（x﹣2）2+3的对称轴是（）
A．直线x=﹣2B．直线x=2C．直线x=﹣3D．直线x=3
3．在不透明的布袋中，装有大小、形状完全相同的3个黑球、1个红球，从中摸一个球，摸出1个黑球这一事件是（）
A．必然事件B．随机事件C．确定事件D．不可能事件
4．关于二次函数y=ax2+bx+c的图象有下列命题：
①当c=0时，函数的图象经过原点；
②当c＞0，且函数的图象开口向下时，方程ax2+bx+c=0必有两个不相等的实根；
③函数图象最高点的纵坐标是；
④当b=0时，函数的图象关于y轴对称．
其中正确命题的个数是（）
A．1个B．2个C．3个D．4个
5．不解方程，判别方程x2﹣4x+9=0根的情况是（）
A．有两个相等的实数根B．有两个不相等的实数根
C．只有一个实数根D．没有实数根
6．不透明的口袋中装有除颜色外其余均相同的2个白球、2个黄球、4个绿球，从中任取一球出来，它不是黄球的概率是（）
A．B．C．D．
7．组织一次排球邀请赛，参赛的每个队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛．设比赛组织者应邀请x个队参赛，则x满足的关系式为（）
A．x（x+1）=28B．x（x﹣1）=28C．x（x﹣1）=28D．x（x﹣1）=28
8．若点A（2，y1），B（﹣3，y2），C（﹣1，y3）三点在抛物线y=x2﹣4x﹣m的图象上，则y1、y2、y3的大小关系是（）
A．y1＞y2＞y3B．y2＞y1＞y3C．y2＞y3＞y1D．y3＞y1＞y2
9．如图，四边形ABCD中，AD平行BC，ABC=90°，AD=2，AB=6，以AB为直径的半O切CD于点E，F为弧BE上一动点，过F点的直线MN为半O的切线，MN交BC于M，交CD于N，则△MCN的周长为（）
A．9B．10C．3D．2
10．二次函数y=ax2+bx+c（a、b、c为常数且a≠0）中的x与y的部分对应值如下表：
x﹣3﹣2﹣1012345
y1250﹣3﹣4﹣30512
给出了结论：
（1）二次函数y=ax2+bx+c有最小值，最小值为﹣3；
（2）当时，y＜0；
（3）二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴有两个交点，且它们分别在y轴两侧．则其中正确结论的个数是（）
A．3B．2C．1D．0
二、填空题（每小题3分，满分76分）
11．已知一元二次方程x2﹣3x﹣1=0的两根为x1、x2，x1+x2=．
12．点A（﹣2，3）关于原点O对称的点B（b，c），则b+c=．
13．自2012年9月11日日本实行所谓钓鱼岛“国有化”后，中国民众群情激愤并开始大规模抵制日货，某日本品牌汽车在中国的销售量逐月下降，9月份销售量为1.3万台，十月、十一月一共销售量为1.5万台．设九月份到十一月份平均每月下降的百分率为x，则可列方程为．
14．边心距为4的正六边形的半径为，中心角等于度，面积为．
15．用一个半径为10cm半圆纸片围成一个圆锥的侧面（接缝忽略不计），则该圆锥的高为．
16．如图，Rt△ABC中，BAC=90°，AB=6，AC=8，AD是BC上的高，另有一Rt△DEF（其直角顶点在D点）绕D点旋转，在旋转过程中，DE，DF分别与边AB，AC交于M、N点，则线段MN的最小值为．
17．方程x2﹣3x+2=0的根是．
18．如图，P的直径AB=10，点C在半圆上，BC=6．PEAB交AC于点E，求PE的长．
19．某同学报名参加校运动会，有以下5个项目可供选择：
径赛项目：100m，200m，400m（分别用A1、A2、A3表示）；
田赛项目：跳远，跳高（分别用B1、B2表示）．
（1）该同学从5个项目中任选一个，恰好是田赛项目的概率为；
（2）该同学从5个项目中任选两个，利用树状图或表格列举出所有可能出现的结果，并求恰好是一个田赛项目和一个径赛项目的概率．
20．已知关于x的一元二次方程m2x2+2（m﹣1）x+1=0有实数根．
（1）求实数m的范围；
（2）由（1），该方程的两根能否互为相反数？请证明你的结论．
21．如图，在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为（﹣1，3）、（﹣4，1），先将线段AB沿一确定方向平移得到线段A1B1，点A的对应点为A1，点B1的坐标为（0，2），在将线段A1B1绕远点O顺时针旋转90°得到线段A2B2，点A1的对应点为点A2．
（1）画出线段A1B1、A2B2；
（2）写出A2，B2坐标：A2，B2；
（3）直接写出在这两次变换过程中，点A经过A1到达A2的路径长．
22．如图，以Rt△ABC的边AC为直径的O交斜边AB于点D，点F为BC上一点，AF交O于点E，且DEAC．
（1）求证：CAF=∠B．
（2）若O的半径为4，AE=2AD，求DE的长．
23．如图，排球运动员站在点O处练习发球，将球从O点正上方2m的A处发出，把球看成点，其运行的高度y（m）与运行的水平距离x（m）满足关系式y=a（x﹣6）2+h．已知球网与O点的水平距离为9m，高度为2.43m，球场的边界距O点的水平距离为18m．
（1）当h=2.6时，求y与x的关系式（不要求写出自变量x的取值范围）
（2）当h=2.6时，球能否越过球网？球会不会出界？请说明理由；
（3）若球一定能越过球网，又不出边界，求h的取值范围．
24．已知△ABC，以AC为边在△ABC外作等腰△ACD，其中AC=AD．
（1）如图1，若AB=AE，DAC=∠EAB=60°，求BFC的度数；
（2）如图2，ABC=α，ACD=β，BC=4，BD=6．
①若α=30°，β=60°，AB的长为；
②若改变α，β的大小，但α+β=90°，△ABC的面积是否变化？若不变，求出其值；若变化，说明变化的规律．
25．如图，在平面直角坐标系中，△ABC是直角三角形，ACB=90，AC=BC，OA=1，OC=4，抛物线y=x2+bx+c经过A，B两点，抛物线的顶点为D．
（1）求b，c的值；
（2）点E是直角三角形ABC斜边AB上一动点（点A、B除外），过点E作x轴的垂线交抛物线于点F，当线段EF的长度最大时，求点E的坐标；
（3）在（2）的条件下：
①求以点E、B、F、D为顶点的四边形的面积；
②在抛物线上是否存在一点P，使△EFP是以EF为直角边的直角三角形？若存在，求出所有点P的坐标；若不存在，说明理由．
2015年湖北省武汉市元月调考九年级数学模拟试卷（2）
参考答案与试题解析
一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）
1．将一元二次方程2x2+7=9x化成一般式后，二次项系数和一次项系数分别为（）
A．2，9B．2，7C．2，﹣9D．2x2，﹣9x
考点：一元二次方程的一般形式．
分析：一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0（a，b，c是常数且a≠0）特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．
解答：解：2x2+7=9x化成一元二次方程一般形式是2x2﹣9x+7=0，则它的二次项系数是2，一次项系数是﹣9．
故选：C．
点评：此题主要考查了一元二次方程的一般形式，关键把握要确定一次项系数，首先要把方程化成一般形式．
2．抛物线y=（x﹣2）2+3的对称轴是（）
A．直线x=﹣2B．直线x=2C．直线x=﹣3D．直线x=3
考点：二次函数的性质．
分析：直接根据顶点式的特点可直接写出对称轴．
解答：解：因为抛物线解析式y=（x﹣2）2+3是顶点式，顶点坐标为（2，3），所以对称轴为直线x=2．
故选B．
点评：主要考查了求抛物线的对称轴的方法．
3．在不透明的布袋中，装有大小、形状完全相同的3个黑球、1个红球，从中摸一个球，摸出1个黑球这一事件是（）
A．必然事件B．随机事件C．确定事件D．不可能事件
考点：随机事件．
分析：根据必然事件、不可能事件、随机事件的概念，可得答案．
解答：解：在不透明的布袋中，装有大小、形状完全相同的3个黑球、1个红球，从中摸一个球，摸出1个黑球这一事件是随机事件，故B正确，
故选：B．
点评：本题考查了随机事件，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件．不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
4．关于二次函数y=ax2+bx+c的图象有下列命题：
①当c=0时，函数的图象经过原点；
②当c＞0，且函数的图象开口向下时，方程ax2+bx+c=0必有两个不相等的实根；
③函数图象最高点的纵坐标是；
④当b=0时，函数的图象关于y轴对称．
其中正确命题的个数是（）
A．1个B．2个C．3个D．4个
考点：抛物线与x轴的交点．
专题：压轴题．
分析：根据c与0的关系判断二次函数y=ax2+bx+c与y轴交点的情况；根据顶点坐标与抛物线开口方向判断函数的最值；根据函数y=ax2+c的图象与y=ax2图象相同，判断函数y=ax2+c的图象对称轴．
解答：解：（1）c是二次函数y=ax2+bx+c与y轴的交点，所以当c=0时，函数的图象经过原点；
（2）c＞0时，二次函数y=ax2+bx+c与y轴的交点在y轴的正半轴，又因为函数的图象开口向下，所以方程ax2+bx+c=0必有两个不相等的实根；
（3）当a＜0时，函数图象最高点的纵坐标是；当a＞0时，函数图象最低点的纵坐标是；由于a值不定，故无法判断最高点或最低点；
（4）当b=0时，二次函数y=ax2+bx+c变为y=ax2+c，又因为y=ax2+c的图象与y=ax2图象相同，所以当b=0时，函数的图象关于y轴对称．
三个正确，故选C．
点评：二次函数y=ax2+bx+c的最值：当a＜0时，函数的最大值是；当a＞0时，函数的最小值是．
5．不解方程，判别方程x2﹣4x+9=0根的情况是（）
A．有两个相等的实数根B．有两个不相等的实数根
C．只有一个实数根D．没有实数根
考点：根的判别式．
分析：找出方程a，b及c的值，计算出根的判别式的值，根据其值的正负即可作出判断．
解答：解：这里a=1，b=﹣4，c=9，
=b2﹣4ac=32﹣36=﹣4＜0，
方程无实数根．
故选D．
点评：此题考查了根的判别式，一元二次方程根的情况与判别式△的关系：
（1）△＞0?方程有两个不相等的实数根；
（2）△=0?方程有两个相等的实数根；
（3）△＜0?方程没有实数根．
6．不透明的口袋中装有除颜色外其余均相同的2个白球、2个黄球、4个绿球，从中任取一球出来，它不是黄球的概率是（）
A．B．C．D．
考点：概率公式．
分析：由不透明的口袋中装有除颜色外其余均相同的2个白球、2个黄球、4个绿球，直接利用概率公式求解即可求得答案．
解答：解：不透明的口袋中装有除颜色外其余均相同的2个白球、2个黄球、4个绿球，
从中任取一球出来，它不是黄球的概率是：=．
故选B．
点评：此题考查了概率公式的应用．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
7．组织一次排球邀请赛，参赛的每个队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛．设比赛组织者应邀请x个队参赛，则x满足的关系式为（）
A．x（x+1）=28B．x（x﹣1）=28C．x（x﹣1）=28D．x（x﹣1）=28
考点：由实际问题抽象出一元二次方程．
分析：关系式为：球队总数×每支球队需赛的场数÷2=4×7，把相关数值代入即可．
解答：解：每支球队都需要与其他球队赛（x﹣1）场，但2队之间只有1场比赛，
所以可列方程为：x（x﹣1）=4×7．
故选：B．
点评：本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，解决本题的关键是得到比赛总场数的等量关系，注意2队之间的比赛只有1场，最后的总场数应除以2．
8．若点A（2，y1），B（﹣3，y2），C（﹣1，y3）三点在抛物线y=x2﹣4x﹣m的图象上，则y1、y2、y3的大小关系是（）
A．y1＞y2＞y3B．y2＞y1＞y3C．y2＞y3＞y1D．y3＞y1＞y2
考点：二次函数的性质；二次函数的图象．
分析：先求出二次函数y=x2﹣4x﹣m的图象的对称轴，然后判断出A（2，y1），B（﹣3，y2），C（﹣1，y3）在抛物线上的位置，再根据二次函数的增减性求解．
解答：解：二次函数y=x2﹣4x﹣m中a=1＞0，
开口向上，对称轴为x=﹣=2，
A（2，y1）中x=2，y1最小，
又B（﹣3，y2），C（﹣1，y3）都在对称轴的左侧，
而在对称轴的左侧，y随x得增大而减小，故y2＞y3．
y2＞y3＞y1．
故选C．
点评：本题考查了二次函数的性质．关键是（1）找到二次函数的对称轴；（2）掌握二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象性质．
9．如图，四边形ABCD中，AD平行BC，ABC=90°，AD=2，AB=6，以AB为直径的半O切CD于点E，F为弧BE上一动点，过F点的直线MN为半O的切线，MN交BC于M，交CD于N，则△MCN的周长为（）
A．9B．10C．3D．2
考点：切线长定理．
专题：计算题．
分析：作DHBC于H，如图，利用平行线的性质得ABAD，ABBC，则根据切线的判定得到AD和BC为O切线，根据切线长定理得DE=DA=2，CE=CB，NE=NF，MB=MF，利用四边形ABHD为矩形得BH=AD=2，DH=AB=6，设BC=x，则CH=x﹣2，CD=x+2，在Rt△DCH中根据勾股定理得（x﹣2）2+62=（x+2）2，解得x=，即CB=CE=，然后由等线段代换得到△MCN的周长=CE+CB=9．
解答：解：作DHBC于H，如图，
四边形ABCD中，AD平行BC，ABC=90°，
AB⊥AD，ABBC，
AB为直径，
AD和BC为O切线，
CD和MN为O切线，
DE=DA=2，CE=CB，NE=NF，MB=MF，
四边形ABHD为矩形，
BH=AD=2，DH=AB=6，
设BC=x，则CH=x﹣2，CD=x+2，
在Rt△DCH中，CH2+DH2=DC2，
（x﹣2）2+62=（x+2）2，解得x=，
CB=CE=，
MCN的周长=CN+CM+MN
=CN+CM+NF+MF
=CN+CM+NF+MB
=CE+CB
=9．
故选A．
点评：本题考查了切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线，平分两条切线的夹角．也考查了勾股定理．
10．二次函数y=ax2+bx+c（a、b、c为常数且a≠0）中的x与y的部分对应值如下表：
x﹣3﹣2﹣1012345
y1250﹣3﹣4﹣30512
给出了结论：
（1）二次函数y=ax2+bx+c有最小值，最小值为﹣3；
（2）当时，y＜0；
（3）二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴有两个交点，且它们分别在y轴两侧．则其中正确结论的个数是（）
A．3B．2C．1D．0
考点：二次函数的最值；抛物线与x轴的交点．
专题：压轴题．
分析：根据表格数据求出二次函数的对称轴为直线x=1，然后根据二次函数的性质对各小题分析判断即可得解．
解答：解；由表格数据可知，二次函数的对称轴为直线x=1，
所以，当x=1时，二次函数y=ax2+bx+c有最小值，最小值为﹣4；故（1）小题错误；
根据表格数据，当﹣1＜x＜3时，y＜0，
所以，﹣＜x＜2时，y＜0正确，故（2）小题正确；
二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴有两个交点，分别为（﹣1，0）（3，0），它们分别在y轴两侧，故（3）小题正确；
综上所述，结论正确的是（2）（3）共2个．
故选B．
点评：本题考查了二次函数的最值，抛物线与x轴的交点，仔细分析表格数据，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
二、填空题（每小题3分，满分76分）
11．已知一元二次方程x2﹣3x﹣1=0的两根为x1、x2，x1+x2=3．
考点：根与系数的关系．
分析：根据一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系：若方程的两根为x1，x2，则x1+x2=﹣，代入计算即可．
解答：解：一元二次方程x2﹣3x﹣1=0的两根是x1、x2，
x1+x2=3，
故答案为：3．
点评：本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系：若方程的两根为x1，x2，则x1+x2=﹣，x1?x2=．
12．点A（﹣2，3）关于原点O对称的点B（b，c），则b+c=﹣1．
考点：关于原点对称的点的坐标．
分析：根据平面直角坐标系中任意一点P（x，y），关于原点的对称点是（﹣x，﹣y），即关于原点的对称点，横纵坐标都变成相反数，可得b、c的值，根据有理数的加法，可得答案．
解答：解：点A（﹣2，3）关于原点O对称的点B（b，c），得
b=2，c=﹣3．
b+c=﹣3+2=﹣1，
故答案为：﹣1．
点评：本题考查了关于原点对称的点的坐标，关于原点的对称点，横纵坐标都变成相反数，得出b、c的值是解题关键．
13．自2012年9月11日日本实行所谓钓鱼岛“国有化”后，中国民众群情激愤并开始大规模抵制日货，某日本品牌汽车在中国的销售量逐月下降，9月份销售量为1.3万台，十月、十一月一共销售量为1.5万台．设九月份到十一月份平均每月下降的百分率为x，则可列方程为1.3（1﹣x）+1.3（1﹣x）2=1.5．
考点：由实际问题抽象出一元二次方程．
专题：增长率问题．
分析：下降后的销量=下降前的销量（1﹣下降率），则设平均每月销量的下降率是x，则到五月底后的销量是100（1﹣x）2，据此即可列方程求解．
解答：解：设九月份到十一月份平均每月下降的百分率为x，根据题意得：1.3（1﹣x）+1.3（1﹣x）2=1.5，
故答案为：1.3（1﹣x）+1.3（1﹣x）2=1.5．
点评：考查了由实际问题抽象出一元二次方程的知识，解题的关键是表示出下一个月的销量，难度不大．
14．边心距为4的正六边形的半径为8，中心角等于60度，面积为96．
考点：正多边形和圆．
分析：根据题意画出图形，先求出AOB的度数，再根据直角三角形的性质求出OA的长，再根据S六边形=6S△AOB即可得出结论．
解答：解：如图所示，
图中是正六边形，
AOB==60°．
OA=OB，
OAB是等边三角形．
OD⊥AB，OD=4，
OA===8．
S△AOB=AB×OD=×8×4=16
S六边形=6S△AOB=6×16=96．
故答案为：8，60，96．
点评：本题考查的是正多边形和圆，熟知正六边形的性质是解答此题的关键．
15．用一个半径为10cm半圆纸片围成一个圆锥的侧面（接缝忽略不计），则该圆锥的高为5．
考点：圆锥的计算．
专题：计算题；数形结合．
分析：易得圆锥的母线长为10cm，以及圆锥的侧面展开图的弧长，也就是圆锥的底面周长，除以2π即为圆锥的底面半径，进而利用勾股定理即可求得圆锥的高．
解答：解：圆锥的侧面展开图的弧长为2π×10÷2=10π（cm），
圆锥的底面半径为10π÷2π=5（cm），
圆锥的高为：=5（cm）．
故答案是：5．
点评：本题考查了圆锥的计算．用到的知识点为：圆锥的弧长等于底面周长；圆锥的高，母线长，底面半径组成直角三角形．
16．如图，Rt△ABC中，BAC=90°，AB=6，AC=8，AD是BC上的高，另有一Rt△DEF（其直角顶点在D点）绕D点旋转，在旋转过程中，DE，DF分别与边AB，AC交于M、N点，则线段MN的最小值为．
考点：相似三角形的判定与性质；垂线段最短；勾股定理．
分析：首先由勾股定理求出BC和CD，再利用三角形相似就可以求出结论，由条件把AM、AN用含x的式子表示出来，由勾股定理把MN表示出来解答即可．
解答：解：BAC=90°，
B+∠C=90°，
AD是BC边上的高，
DAC+∠C=90°
∴∠B+∠DAC=90°，
BDM+∠MDA=∠ADN+∠MDA=90°
∴∠BDM=∠ADN，
BMD∽△AND，
，
，
DM：DN=，
BMD∽△AND，
∴，
AN=BM∴，
设BM为x，
AN=，AM=6﹣x，
BAC=90°，
MN2=（6﹣x）2+（x）2=（）2+，
故MN的最小值是，
故答案为：．
点评：此题考查相似三角形的性质，关键是利用勾股定理得出BC和CD，再将AM、AN用含x的式子表示出来，利用二次函数的最值计算即可．
17．方程x2﹣3x+2=0的根是1或2．
考点：解一元二次方程-因式分解法．
专题：因式分解．
分析：由题已知的方程进行因式分解，将原式化为两式相乘的形式，再根据两式相乘值为0，这两式中至少有一式值为0，求出方程的解．
解答：解：因式分解得，（x﹣1）（x﹣2）=0，
解得x1=1，x2=2．
故答案为：1或2．
点评：本题考查了因式分解法解一元二次方程，当把方程通过移项把等式的右边化为0后方程的左边能因式分解时，一般情况下是把左边的式子因式分解，再利用积为0的特点解出方程的根，因式分解法是解一元二次方程的一种简便方法，要会灵活运用．
18．如图，P的直径AB=10，点C在半圆上，BC=6．PEAB交AC于点E，求PE的长．
考点：圆周角定理；解直角三角形．
分析：由AB为直径，根据直径所对的圆周角为直角，得到C=90°，再根据勾股定理得到AC=8，易证得Rt△ACBRt△APE，利用相似比即可求出PE．
解答：解：AB为直径，
C=90°，
AB=10，BC=6，
AC=8，
又PE⊥AB，
Rt△ACB∽Rt△APE，
=，
PE==．
点评：本题考查了圆周定理的推论：直径所对的圆周角为直角．也考查了勾股定理以及相似三角形的判定与性质．解题的关键是得到Rt△ACBRt△APE．
19．某同学报名参加校运动会，有以下5个项目可供选择：
径赛项目：100m，200m，400m（分别用A1、A2、A3表示）；
田赛项目：跳远，跳高（分别用B1、B2表示）．
（1）该同学从5个项目中任选一个，恰好是田赛项目的概率为；
（2）该同学从5个项目中任选两个，利用树状图或表格列举出所有可能出现的结果，并求恰好是一个田赛项目和一个径赛项目的概率．
考点：列表法与树状图法．
分析：（1）由5个项目中田赛项目有2个，直接利用概率公式求解即可求得答案；
（2）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与恰好是一个田赛项目和一个径赛项目的情况，再利用概率公式即可求得答案．
解答：解：（1）5个项目中田赛项目有2个，
该同学从5个项目中任选一个，恰好是田赛项目的概率为：；
故答案为：；
（2）画树状图得：
共有20种等可能的结果，恰好是一个田赛项目和一个径赛项目的12种情况，
恰好是一个田赛项目和一个径赛项目的概率为：=．
点评：本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
20．已知关于x的一元二次方程m2x2+2（m﹣1）x+1=0有实数根．
（1）求实数m的范围；
（2）由（1），该方程的两根能否互为相反数？请证明你的结论．
考点：根的判别式；根与系数的关系．
分析：（1）根据一元二次方程的定义及根的判别式的意义得到m2≠0，且△≥0，即[2（m﹣1）]2﹣4m2≥0，解不等式组即可得到m≤且m≠0；
（2）由根与系数的关系求出方程的两根互为相反数时m的值，如果m的值在（1）中所求实数m的范围内，那么该方程的两根能够互为相反数；否则不能互为相反数．
解答：解：（1）关于x的一元二次方程m2x2+2（m﹣1）x+1=0有实数根，
m2≠0，且△≥0，即[2（m﹣1）]2﹣4m2≥0，4m2﹣8m+4﹣4m2≥0，
m≤且m≠0；
（2）如果方程的两根互为相反数，那么﹣=0，
解得m=1，
m≤且m≠0时，方程有实数根，而1＞，
该方程的两根不能互为相反数．
点评：本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2﹣4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．也考查了一元二次方程的定义及根与系数的关系．
21．如图，在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为（﹣1，3）、（﹣4，1），先将线段AB沿一确定方向平移得到线段A1B1，点A的对应点为A1，点B1的坐标为（0，2），在将线段A1B1绕远点O顺时针旋转90°得到线段A2B2，点A1的对应点为点A2．
（1）画出线段A1B1、A2B2；
（2）写出A2，B2坐标：A2（4，﹣3），B2（2，0）；
（3）直接写出在这两次变换过程中，点A经过A1到达A2的路径长+π．
考点：作图-旋转变换；弧长的计算．
专题：作图题．
分析：（1）根据网格结构找出点A1、B1、A2、B2的位置，然后顺次连接即可；
（2）根据平面直角坐标系写出A2，B2坐标即可；
（3）利用勾股定理列式求出AA1、OA1，再利用弧长公式列式计算即可得解．
解答：解：（1）线段A1B1、A2B2如图所示；
（2）A2（4，﹣3），B2（2，0）；
（3）AA1==，
OA1==5，
==π，
点A经过A1到达A2的路径长为：+π．
故答案为：（4，﹣3）；（2，0）；+π．
点评：本题考查了利用旋转变换作图，熟练掌握网格结构准确找出对应点的位置是解题的关键．
22．如图，以Rt△ABC的边AC为直径的O交斜边AB于点D，点F为BC上一点，AF交O于点E，且DEAC．
（1）求证：CAF=∠B．
（2）若O的半径为4，AE=2AD，求DE的长．
考点：圆周角定理；勾股定理．
分析：（1）连接CE，根据圆周角定理可知AEC=90°，故CAF+∠ACE=90°．再由题意可知B+∠DAC=90°，根据DEAC，可得=，故=，由圆周角定理可知ACE=∠DAC，故可得出结论；
（2）连接DC，由（1）知DEAC，故可得出AD=CE，由全等三角形的判定定理得出Rt△ACDRt△CAE，所以CD=AE=2AD，设AD=x，则CD=2x，在Rt△ABD中根据勾股定理可求出AD，CD的长，过D作DMAC，过O作ONED，由AD?CD=AC?DM可得出DM的长，连OD，在Rt△OND中，由勾股定理可求出DN的长，由ED=2DN即可得出结论．
解答：（1）证明：连接CE，
AC是O的直径，
AEC=90°，
CAF+∠ACE=90°．
ACB=90°，
B+∠DAC=90°，
DE∥AC，
=，
=，
ACE=∠DAC，
CAF=∠B；
（2）解：连DC，
DE∥AB，
CAE=∠AED，
AD=DE，
在Rt△ACD与Rt△CAE中，
，
Rt△ACD≌Rt△CAE（HL），
CD=AE=2AD，
设AD=x，则CD=2x，
在Rt△ACD中，x2+（2x）2=82，
AD=，CD=．
过D作DMAC，过O作ONED，
AD?CD=AC?DM，
DM====ON，
连OD，在Rt△OND中，
DN===
∴ED=2DN=．
点评：本题考查的是圆周角角定理，即在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
23．如图，排球运动员站在点O处练习发球，将球从O点正上方2m的A处发出，把球看成点，其运行的高度y（m）与运行的水平距离x（m）满足关系式y=a（x﹣6）2+h．已知球网与O点的水平距离为9m，高度为2.43m，球场的边界距O点的水平距离为18m．
（1）当h=2.6时，求y与x的关系式（不要求写出自变量x的取值范围）
（2）当h=2.6时，球能否越过球网？球会不会出界？请说明理由；
（3）若球一定能越过球网，又不出边界，求h的取值范围．
考点：二次函数的应用．
专题：压轴题．
分析：（1）利用h=2.6将点（0，2），代入解析式求出即可；
（2）利用当x=9时，y=﹣（x﹣6）2+2.6=2.45，当y=0时，，分别得出即可；
（3）根据当球正好过点（18，0）时，抛物线y=a（x﹣6）2+h还过点（0，2），以及当球刚能过网，此时函数解析式过（9，2.43），抛物线y=a（x﹣6）2+h还过点（0，2）时分别得出h的取值范围，即可得出答案．
解答：解：（1）h=2.6，球从O点正上方2m的A处发出，
抛物线y=a（x﹣6）2+h过点（0，2），
2=a（0﹣6）2+2.6，
解得：a=﹣，
故y与x的关系式为：y=﹣（x﹣6）2+2.6，
（2）当x=9时，y=﹣（x﹣6）2+2.6=2.45＞2.43，
所以球能过球网；
当y=0时，，
解得：x1=6+2＞18，x2=6﹣2（舍去）
故会出界；
（3）当球正好过点（18，0）时，抛物线y=a（x﹣6）2+h还过点（0，2），代入解析式得：
，
解得：，
此时二次函数解析式为：y=﹣（x﹣6）2+，
此时球若不出边界h≥，
当球刚能过网，此时函数解析式过（9，2.43），抛物线y=a（x﹣6）2+h还过点（0，2），代入解析式得：
，
解得：，
此时球要过网h≥，
故若球一定能越过球网，又不出边界，h的取值范围是：h≥．
点评：此题主要考查了二次函数的应用题，求范围的问题，可以利用临界点法求出自变量的值，再根据题意确定范围．
24．已知△ABC，以AC为边在△ABC外作等腰△ACD，其中AC=AD．
（1）如图1，若AB=AE，DAC=∠EAB=60°，求BFC的度数；
（2）如图2，ABC=α，ACD=β，BC=4，BD=6．
①若α=30°，β=60°，AB的长为2；
②若改变α，β的大小，但α+β=90°，△ABC的面积是否变化？若不变，求出其值；若变化，说明变化的规律．
考点：全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质．
分析：（1）根据SAS，可首先证明△AECABD，再利用全等三角形的性质，可得对应角相等，根据三角形的外角的定理，可求出BFC的度数；
（2）如图2，在△ABC外作等边△BAE，连接CE，利用旋转法证明△EACBAD，可证EBC=90°，EC=BD=6，因为BC=4，在Rt△BCE中，由勾股定理求BE即可；
（3）过点B作BEAH，并在BE上取BE=2AH，连接EA，EC．并取BE的中点K，连接AK，仿照（2）利用旋转法证明△EACBAD，求得EC=DB，利用勾股定理即可得出结论．
解答：
解：（1）AE=AB，AD=AC，
EAB=∠DAC=60°，
EAC=∠EAB+∠BAC，DAB=∠DAC+∠BAC，
EAC=∠DAB，
在△AEC和△ABD中
AEC≌△ABD（SAS），
AEC=∠ABD，
BFC=∠BEF+∠EBF=∠AEB+∠ABE，
BFC=∠AEB+∠ABE=120°，
故答案为：120°；
（2）①如图2，以AB为边在△ABC外作正三角形ABE，连接CE．
由（1）可知△EACBAD．
EC=BD．
EC=BD=6，
BAE=60°，ABC=30°，
EBC=90°．
在RT△EBC中，EC=6，BC=4，
EB===2
∴AB=BE=2．
②若改变α，β的大小，但α+β=90°，△ABC的面积不变化，
以下证明：
如图2，作AHBC交BC于H，过点B作BEAH，并在BE上取BE=2AH，连接EA，EC．并取BE的中点K，连接AK．
AH⊥BC于H，
AHC=90°．
BE∥AH，
EBC=90°．
EBC=90°，BE=2AH，
EC2=EB2+BC2=4AH2+BC2．
K为BE的中点，BE=2AH，
BK=AH．
BK∥AH，
四边形AKBH为平行四边形．
又EBC=90°，
四边形AKBH为矩形．ABE=∠ACD，
AKB=90°．
AK是BE的垂直平分线．
AB=AE．
AB=AE，AC=AD，ABE=∠ACD，
EAB=∠DAC，
EAB+∠EAD=∠DAC+∠EAD，
即EAC=∠BAD，
在△EAC与△BAD中
EAC≌△BAD．
EC=BD=6．
在RT△BCE中，BE==2，
AH=BE=，
S△ABC=BC?AH=2
点评：本题考查了全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质，等边三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，勾股定理的运用．关键是根据已知条件构造全等三角形．
25．如图，在平面直角坐标系中，△ABC是直角三角形，ACB=90，AC=BC，OA=1，OC=4，抛物线y=x2+bx+c经过A，B两点，抛物线的顶点为D．
（1）求b，c的值；
（2）点E是直角三角形ABC斜边AB上一动点（点A、B除外），过点E作x轴的垂线交抛物线于点F，当线段EF的长度最大时，求点E的坐标；
（3）在（2）的条件下：
①求以点E、B、F、D为顶点的四边形的面积；
②在抛物线上是否存在一点P，使△EFP是以EF为直角边的直角三角形？若存在，求出所有点P的坐标；若不存在，说明理由．
考点：二次函数综合题．
专题：压轴题．
分析：（1）由ACB=90°，AC=BC，OA=1，OC=4，可得A（﹣1，0）B（4，5），然后利用待定系数法即可求得b，c的值；
（2）由直线AB经过点A（﹣1，0），B（4，5），即可求得直线AB的解析式，又由二次函数y=x2﹣2x﹣3，设点E（t，t+1），则可得点F的坐标，则可求得EF的最大值，求得点E的坐标；
（3）①顺次连接点E、B、F、D得四边形EBFD，可求出点F的坐标（，），点D的坐标为（1，﹣4）由S四边形EBFD=S△BEF+S△DEF即可求得；
②过点E作aEF交抛物线于点P，设点P（m，m2﹣2m﹣3），可得m2﹣2m﹣3=，即可求得点P的坐标，又由过点F作bEF交抛物线于P3，设P3（n，n2﹣2n﹣3），可得n2﹣2n﹣2=﹣，求得点P的坐标，则可得使△EFP是以EF为直角边的直角三角形的P的坐标．
解答：解：（1）由已知得：A（﹣1，0），B（4，5），
二次函数y=x2+bx+c的图象经过点A（﹣1，0），B（4，5），
，
解得：b=﹣2，c=﹣3；
（2）如图：直线AB经过点A（﹣1，0），B（4，5），
直线AB的解析式为：y=x+1，
二次函数y=x2﹣2x﹣3，
设点E（t，t+1），则F（t，t2﹣2t﹣3），
EF=（t+1）﹣（t2﹣2t﹣3）=﹣（t﹣）2+，
当t=时，EF的最大值为，
点E的坐标为（，）；
（3）①如图：顺次连接点E、B、F、D得四边形EBFD．
可求出点F的坐标（，），点D的坐标为（1，﹣4）
S四边形EBFD=S△BEF+S△DEF=××（4﹣）+××（﹣1）=；
②如图：
）过点E作aEF交抛物线于点P，设点P（m，m2﹣2m﹣3）
则有：m2﹣2m﹣3=，
解得：m1=1+，m2=1﹣，
P1（1﹣，），P2（1+，），
）过点F作bEF交抛物线于P3，设P3（n，n2﹣2n﹣3）
则有：n2﹣2n﹣3=﹣，
解得：n1=，n2=（与点F重合，舍去），
P3（，﹣），
综上所述：所有点P的坐标：P1（1+，），P2（1﹣，），P3（，﹣）能使△EFP组成以EF为直角边的直角三角形．
点评：此题考查了待定系数法求二次函数的解析式，四边形与三角形面积问题以及直角三角形的性质等知识．此题综合性很强，解题的关键是注意方程思想与数形结合思想的应用．
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