例谈《二元一次方程组》中数学思想方法的渗透

　　数学思想方法是从数学内容中提炼出来的数学学科的精髓，是将数学知识转化为数学能力的桥梁。初中数学思想方法教育，是培养和提高学生素质的重要内容。新的《课程标准》突出强调：“在教学中，应当引导学生在学好概念的基础上掌握数学的规律（包括法则、性质、公式、公理、定理、数学思想和方法）。”因此，开展数学思想方法教育应作为新课改中所必须把握的教学要求。

 

二元一次方程组的解法，实质上是运用数学转化思想，把二元一次方程组转化为一元一次方程来解决的。具体转化的方法是运用“代入消元法”或“加减消元法”，达到把二元一次方程组中的“二个未知数”消去一个未知数，得到一元一次方程，实现了化“未知”为“已知”，进而解决的。这里蕴涵了丰富的数学思想方法，我在教学中向学生逐步渗透。下面举例说明：

 

一、灵活运用代入法，巧妙求值：

 

代入法是在解二元一次方程组时，通过把方程组中的一个方程变形为用含一个未知数的数学式表示另一个未知数的形式，然后再把它代入到另一个方程中，从而达到消去一个未知数的目的，得到一个一元一次方程，进而解决。借助此思想方法可以解决常规求定值问题。

 

　　例1.若5x-6y=0，且xy≠0，则的值等于          。

 

　　解. 由5x-6y=0得：5x=6y，把5x=6y代入得

 

　　=

 

反思：此题巧妙借助代入法可轻松解决。

 

变式练习：若2x-3y=0，且xy≠0，则的值等于         

 

　　例2. 若4x+3y+5=0，则3(8y－x)－5(x+6y－2)的值等于_________；

 

　　分析：通过审题容易知道，可以先将3(8y－x)－5(x+6y－2)化简得

 

-8x－6y+10，再利用整体代入或部分代入易求出其值。

 

解：∵4x+3y+5=0，

 

∴4x+3y=-5

 

3(8y－x)－5(x+6y－2)

 

= 24 y-3x-5x-30y+10

 

=－8x－6y+10

 

=-2（4x+3y）+10

 

=－2×（-5）+10

 

=20

 

反思：此题也可以由4x+3y+5=0得x=－，在代入求值。

 

二、巧妙运用加减法，快速求值：

 

　　加减法是通过把方程组中的某一个未知数的系数变为相同或相反数，然后，运用两个方程相加或相减，即某一个未知数的系数变为相同时用减法；某一个未知数的系数变为相反数时用加法，从而达到消去一个未知数的目的，得到一个一元一次方程，进而解决。另外在求值题中合理运用加减法，可以收到事半功倍的效果。

 

例3. 若2x+3y=16，且3x+2y=19，则          .

　　分析：若直接把2x+3y=16和3x+2y=19联立解方程组，在把解代入求值，运算量较大，且易出错；如果认真分析所求值式，可考虑利用加减法很快求得x+y和x-y的值，于是此题迎刃而解.

 

解：由题意得：

 

由1+2得：5x+5y=35

 

x+y=5

 

由2－1得：x－y=3

 

所以

 

例4. 已知，则可得的值为            .

 

解：

 

由2－1得：=－6

 

　　注：此题若看作关于x、y的二元一次方程组先求x、y的值，再代入计算就显得非常繁琐，若巧妙运用“加减法”基本思想方法，就会收到奇效。

 

变式练习：

 

若则的值等于（　　）

 

A、0　　　   　B、1　　    　C、2　　     　D、无法求出

 

三、化“未知”为“已知”，渗透转化

 

例5.已知，则x：y：z=                 ；

 

　　分析：此方程组中含有三个未知数，要解决该问题，就需要大胆创新，我们只学习了解二元一次方程组，根据化“未知”为“已知”的数学化归思想，就创造性地把它看作是关于x、y的二元一次方程组，从而找到解决问题的突破口。

 

解：

 

由2－1得：y－3z=0

 

           ∴y=3z

 

把y=3z代入2解得：x=2z

 

∴x：y：z=2：3：1

 

总之，在教学中只要教师通过选择具有典型性、启发性、创造性和审美性的例题和练习，在对其分析和思考的过程中展示数学思想和具有代表性的数学方法，这样既可以让学生明晰数学知识之间的脉络和联系，同时有利于提高学生的数学能力。