杨正家老师《数学思想方法基础探究》

数学的概念、定义、定理等等都包含着数学的思想方法，数学学习在很大程度上就是思想方法的学习,是思考的学习。

我们的课程，就是对数学思想方法中一些问题展开分析思考，纠正一些思维的偏差，加强一些思维的深度，拓宽一些思维的联系，通过这门课程的学习，希望能够有助数学教师于更加透彻理解教材和课程标准，更加透彻理解数学本身的规律，进一步有助于数学教学的改进。

我们的课程形式是以问题的形式来显示，没有系统性。但是我非常希望有启发性，通过我们课程里面的一些问题的思考、改进，启发大家进一步思考，发现问题，深入研究，提高认识。改进教学——杨正家老师寄语

问题七、方程的根有几个?

我们知道当判别式的值非负时， 一元二次方程的根有两个。 这里其实包含着一个人为的约定，就是判别式为零时， 重根的个数按照重数计算。 事实上判别式的值为负时，一元二次方程的根也是两个，只是这两个根是虚数。

那么为什么一元二次方程的重根的个数要按重数计算呢？

我们经常被问一元高次方程的根有几个？

方程组的解有几个？

怎样的方程重根的个数要按重数来计算呢？

分式方程、无理方程的根有几个？ 等等。

为什么一元二次方程的判别式为 0 时要说方程有两个根？

这就要回溯代数基本定理。

代数基本定理：任何复系数一元 n 次多项式方程在复数域上至少有一根(n≥1)。或者可以这样叙述： 任何复系数一元 n 次多项式方程在复数域内有且只有 n 个根（重根按重数计算）。

代数基本定理在代数乃至整个数学中起着基础性的作用。 据说，关于代数学基本定理的证明，现有 200 多种证法。

这里我们就明白了一个道理， 重根按重数来计算的方法只是对一元整式方程有意义。 是对一元 n 次整式方程根的个数情况的迁就，是为了符合代数基本定理的一种约定。

对于其他方程，一般说来， 由于不再有代数基本定理的约束， 重根没有必要按重数计算了，就按照一个根来计算，因为这个时候重根再按重数计算就没什么意义、没什么必要了。

分析： 先化为一元二次方程， 然后讨论这个一元二次方程根的情况，第一，判别式为零， 但是根不为 0，也不为 2；第二，判别式大于 0，有一个根为 0，且另一根不为 2；第三，判别式大于 0，有一个根为 2，且另一根不为 0。

对于方程组、对于无理方程的解的个数，以及对于幂、 指、 对方程，也都没有必要按重数计算了。

根据曲线与方程的关系，研究解的个数相当于研究曲线公共点的个数，实际上，当我们研究公共点的个数的时候，我们是不区分这一公共点到底是交点还是切点，换句话说，切点也被认定是一个公共点的。这样就和我们刚才的代数方法的解释一致了。

问题八、分式方程、无理方程増根的原因是什么？

关于增根问题， 我们主要讨论两件事情：一是增根产生的原因。二是人为要求增根问题的价值。

首先讨论増根的原因。

对于无理方程、分式方程，我们都发现会产生増根。

我们研究一下増根产生的原因。

教材是这样说的：

分式方程去分母之后，化为整式方程，未知数的范围被扩大了，所以可能产生増根。

无理方程有理化之后，化为整式方程，未知数的范围被扩大了，所以可能产生増根。

这样的说法是不是正确呢？

到底是什么原因导致无理方程的増根呢？

说明：

1、 直觉解法：将-√(2x+8)项移项后平方，比较学生所采用的不同解法的优劣。

2、 探索改进。从移项来说，三种方法，有一种最简便。

3、 找到系数规律：尽量寻求含未知数项能够相互抵消的方法。

4、 检验的时候发现，当 x2=-7时，方程的被开方数成为负数，必须舍去。

本题印证了教材的増根原因的说法。

说明：

1.直接平方比较麻烦，可以把一个根式移到右边后再平方，减少一些运算量。

2.但是不管移项不移项，都会产生一个增根。当 x2=22时，方程两边不相等了。

3.那么怎么产生增根的呢。仔细审查求解的每一步，可以发现其他方程√(3x-2)-√(x+3)=3的解被混进来了，当然要剔除掉的。

其次讨论人为要求增根问题的价值。

现在我们来反思这一解法。

看来，方程的増根的产生是与解法有关系的。

从这个意义上说，可以得出五个结论，一是，増根与解法有关；二是，使得分母为零的未知数的值都可以成为増根；三是，参数（比如 k）取任何实数，原方程都会有増根； 四是，实际上，对于任何分式方程， 如果两边同乘以 x-p，而且 x=p时分母不为零。一定可以求出一个根 x=p ，这个根可能就是增根，所以，不使得分母为零也有可能是分式方程的增根；五是，以后这样人为要有増根，反求参数的题目最好不要再出了。这样的问题其实是没有意义的。

现在我们再来讨论一下无理方程的増根问题。

对于“当 k为何值时，无理方程有増根”这样的问题，我们可以分析如下，设 f (x)=0 是无理方程，为了解这个方程，我们可以两边同乘以x-a，得

（x-a) f (x)=0，进而可以解出 x=a，由于我们没有遵照方程同解原理求解，所以，对于无理方程，我们可以得出两个结论， 第一，k 取任何实数时方程都会有増根； 第二，k 取任何实数时， 可以让任何实数 a（不是原方程的根） 成为任何无理方程的増根。面对这样的结论，我们人为制造増根的问题也没有什么研究的意义了。

最后，谈谈増根与方程同解原理的关系。 我们一直认为整式方程不要验根，分式方程、无理方程要验根，事实上，问题的核心不在这里，即使一元二次方程（x-1)(x-2)=0，我也可以两边乘以 x+1，得到，(x +1)(x-1)(x-2)=0，从而解得 x=-1这个増根的。问题的关键是，方程的求解过程如果能够根据方程同解原

理求解，那么就不会产生増根，不需要验根，整式方程就做得到，所以整式方程根据同解原理求解就不需要验根，如果没有按照通解原理求解，也要验根，而且验根时还会遭遇增根还是失根的问题。而分式方程、无理方程如果能够根据同解原理求解，也不需要验根，遗憾的是，我们做不到，所以可能产生増根，所以要验根。

归根到底两句话，有没有増根很大程度上是基于解法的。不产生増根是基于同解原理的。产生増根很大程度上是由于不能基于方程同解原理，因此不基于同解原理的不同解法会导致不同的増根，但是有些方程，不管用什么方法都避不了有増根。