动态规划法之背包问题

 說明

假設有一個背包的負重最多可達8公斤，而希望在背包中裝入負重範圍內可得之總價物品，假設是水果好了，水果的編號、單價與重量如下所示：

0	李子	4KG	NT$4500
1	蘋果	5KG	NT$5700
2	橘子	2KG	NT$2250
3	草莓	1KG	NT$1100
4	甜瓜	6KG	NT$6700

解法

背包問題是關於最佳化的問題，要解最佳化問題可以使用「動態規劃」（Dynamic programming），從空集合開始，每增加一個元素就先求出該階段的最佳解，直到所有的元素加入至集合中，最後得到的就是最佳解。

以背包問題為例，我們使用兩個陣列value與item，value表示目前的最佳解所得之總價，item表示最後一個放至背包的水果，假設有負重量 1～8的背包8個，並對每個背包求其最佳解。

逐步將水果放入背包中，並求該階段的最佳解：

• 放入李子

背包負重	1	2	3	4	5	6	7	8
value	０	０	０	4500	4500	4500	4500	9000
item	－	－	－	０	０	０	０	０

• 放入蘋果

背包負重	1	2	3	4	5	6	7	8
value	０	０	０	4500	5700	5700	5700	9000
item	－	－	－	０	1	1	1	０

• 放入橘子

背包負重	1	2	3	4	5	6	7	8
value	０	2250	2250	4500	5700	6750	7950	9000
item	－	2	2	０	1	2	2	０

• 放入草莓

背包負重	1	2	3	4	5	6	7	8
value	1100	2250	3350	4500	5700	6800	7950	9050
item	3	2	3	０	1	3	2	3

• 放入甜瓜

背包負重	1	2	3	4	5	6	7	8
value	1100	2250	3350	4500	5700	6800	7950	9050
item	3	2	3	０	1	3	2	3

由最後一個表格，可以得知在背包負重8公斤時，最多可以裝入9050元的水果，而最後一個裝入的 水果是3號，也就是草莓，裝入了草莓，背包只能再放入7公斤（8-1）的水果，所以必須看背包負重7公斤時的最佳解，最後一個放入的是2號，也就 是橘子，現在背包剩下負重量5公斤（7-2），所以看負重5公斤的最佳解，最後放入的是1號，也就是蘋果，此時背包負重量剩下0公斤（5-5），無法 再放入水果，所以求出最佳解為放入草莓、橘子與蘋果，而總價為9050元。

JAVA代码解答：

class Fruit {
    private String name;
    private int size;
    private int price;
    
    public Fruit(String name, int size, int price) {
        this.name = name;
        this.size = size;
        this.price = price;
    }
    
    public String getName() {
        return name;
    }

    public int getPrice() {
        return price;
    }

    public int getSize() {
        return size;
    }
}

public class Knapsack {
    public static void main(String[] args) {
        final int MAX = 8;
        final int MIN = 1;
        int[] item = new int[MAX+1]; 
        int[] value = new int[MAX+1];  

        Fruit fruits[] = {
                new Fruit("李子", 4, 4500), 
                new Fruit("蘋果", 5, 5700), 
                new Fruit("橘子", 2, 2250), 
                new Fruit("草莓", 1, 1100), 
                new Fruit("甜瓜", 6, 6700)}; 

        for(int i = 0; i < fruits.length; i++) { 
            for(int s = fruits[i].getSize(); s <= MAX; s++) { 
                int p = s - fruits[i].getSize(); 
                int newvalue = value[p] + 
                                   fruits[i].getPrice(); 
                if(newvalue > value[s]) {// 找到階段最佳解 
                    value[s] = newvalue; 
                    item[s] = i; 
                } 
            } 
        } 

        System.out.println("物品\t價格"); 
        for(int i = MAX; 
            i >= MIN; 
            i = i - fruits[item[i]].getSize()) { 
            System.out.println(fruits[item[i]].getName()+ 
                    "\t" + fruits[item[i]].getPrice()); 
        } 

        System.out.println("合計\t" + value[MAX]);  
    }
}