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数学史的大事件——勾股定理的发展简史

2015-09-07  潇湘书院6...

勾股定理是毕达哥拉斯定理的中国称谓,中国是发现、研究和运用勾股定理最古老的国家之一。勾股定理为初等几何学中的一个基本定理,我国古称直角边为“勾”与“股”,斜边为“弦”或“径”,因而将这条定理称为“勾股定理'。勾股定理定义为:直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。

勾股定理是余弦定理的一个特例,约有400种证明方法,是数学定理中证明方法最多的定理之一。“勾三股四弦五”是勾股定理最基本的公式。这个定理有十分悠久的历史,两千多年来,人们对勾股定理的证明颇感兴趣。

1 发展简史

勾股定理是中国古代天文观测实践中立竿测影的重大发现,在中国古代数学、天文历法和工程运用极其广泛,影响深远。因此,中国是发现和研究勾股定理最古老的国家之一。

周髀算经》记载了勾股定理的公式与证明。三国时代的赵爽对《周髀算经》内的勾股定理作出了详细注释,又给出了另外一个证明。中国古代数学家称直角三角形为勾股形,因中国古代把直角三角形中较短的直角边叫做勾,较长的直角边叫做股,斜边叫做弦,因而更普遍地则称为勾股定理。《周髀算经》中记录商高(约公元前1120年)同周公的一段对话。书上记载:“…故折矩,勾广三,股修四,经隅五。既方之,外半其一矩,环而共盘,得成三四五。两矩共长二十有(通“又”)五,是谓积矩。所以又被称为商高定理。

关于勾股定理运用记载,最早见于大禹治水:“陆行乘车,水行乘船,泥行乘橇,山行乘檋。左准绳,右规矩,载四时,以开九州,通九道,陂九泽,度九山。”其中的规和矩就是运用勾股定理的实用工具之一。

此外,《周髀》上还说:“故禹之所以治天下者,此数之所由生也”。意思是大禹除了把勾股定理应用于治水工程中,还把其中的原理延伸至国家建章立制的政治高度。

在公元前76世纪一中国学者陈子,曾经给出过任意直角三角形的三边关系即“以日下为勾,日高为股,勾、股各乘并开方除之得斜至日。

在陈子后一二百年,希腊的著名数学家毕达哥拉斯发现了这个定理,因此世界上许多国家都称勾股定理为“毕达哥拉斯定理'。但没有任何证据表明毕达哥拉斯证明了勾股定理。传说中为了庆祝这一定理的发现,毕达哥拉斯学派杀了一百头牛酬谢供奉神灵,因此这个定理又有人叫做“百牛定理”。此说荒诞不经,毕达哥拉斯派以素食主义而闻名。

1945年,人们在研究古巴比伦人留下的一块数学泥板时,发现上面竟刻有15组能构成直角三角形三边的数,其年代远在商高之前。所以,古巴比伦成为最早研究勾股定理的文明古国之一。

除了中国,许多民族都发现了这个事实,而且巴比伦、埃及、中国、印度等的发现都有真凭实据,有案可查。希腊科学只是公元前近一二百年才有更深入的研究。埃及称为埃及三角形,古埃及人用这样的方法画直角勾股定理,称其为“几何学的基石”,而且在高等数学和其他学科中也有着极为广泛的应用。正因为这样,世界上几个文明古国都已发现并且进行了广泛深入的研究,因此有许多名称。

2 证明方法简要介绍

勾股定理的证明方法十分丰富,有400多种。古往今来,下至平民百姓,上至帝王总统,都愿意探讨和研究它的证明。其中较为有名的有中国的“青朱出入图”、古印度的“无字证明”、著名画家达·芬奇的证法、赵爽弦图、毕氏证法、“总统证法”等。


加菲尔德证法


图示直角梯形是由2个直角边分别为ab,斜边为c的直角三角形和1个直角边为c的等腰直角三角形拼成,因为三个直角三角形的面积等于直角梯形的面积,所以列出等式c2/2+2×ab/2=a+b)×(b+a/2,化简为a2+b2=c2

这种证明法由于应用了梯形面积公式和三角形面积公式,从而使证明更加简洁。它在数学史上被传为佳话。


毕达哥拉斯证法


图示正方形是由1个边长为a的正方形和1个边长为b的正方形以及4个直角边分别为ab,斜边为c的直角三角形拼成的。右边的正方形是由1个边长为c的正方形和4个直角边分别为ab,斜边为c的直角三角形拼成的。因为这两个正方形的面积相等(边长都是a+b),所以可以列出等式ab+a2+b2+ab=ab/2×4+c2,化简得a2+b2=c2

在西方,人们认为是毕达哥拉斯最早发现并证明这一定理的,但遗憾的是,他的证明方法已经失传,这是传说中的证明方法,这种证明方法简单、直观、易懂。


赵爽弦图证法


第一种方法:边长为c的正方形可以看作是由4个直角边分别为ab,斜边为c的直角三角形围在外面形成的。因为边长为c的正方形面积加上4个直角三角形的面积等于外围正方形的面积,所以可以列出等式4×(ab/2)+(b-a)2= c2,化简得a2+b2=c2

第二种方法:边长为c的正方形可以看作是由4个直角边分别为ab,斜边为c 的直角三角形拼接形成的(虚线表示),中间缺出一个边长为(b-a)的正方形“小洞”。因为边长为c的正方形面积等于4个直角三角形的面积加上正方形“小洞”的面积,所以可以列出等式c2=(b-a)2+4×ab/2,化简得a2+b2=c2

这种证明方法很简明,很直观,它表现了中国古代数学家赵爽高超的证题思想和对数学的钻研精神,是中华民族的骄傲。


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