Gothedistance
不会学会，会的做对.没有艰辛，便无所获.
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课题：直接证明和间接证明
教学目标：
1.掌握并灵活运用比较法证明简单的不等式，掌握综合法与分析法，会利用综合法和分析
法证明不等式.2.了解用反证法、换元法、放缩法等方法证明简单的不等式．
教学重点：
灵活作差比较法、作商比较法证明不等式，能合理进行作差（作商）后的变形、配凑，会
灵活应用综合法、分析法解决不等式的证明问题.
教材复习
比较法证明不等式的基本步骤：
??
????
????
??
??
配方法
分解法
作差（商）变形判断通分法
放缩法
有理化
综合法：就是从题设条件和已经证明的基本不等式出发，不断用必要条件替换前面的不
等式，直至推出要证明的结论，可简称为“由因导果”，在使用分析法证明不等
式时，要注意基本不等式的应用。
分析法：就是从所要证明的不等式出发，不断地利用充分条件替换前面的不等式，直至
找到题设条件或已经证明的基本不等式。可简称为“执果索因”，在使用分析法
证明不等式时，习惯上用“?”或“?”表达。
反证法的一般步骤：反设——推理——导出矛盾（得出结论）；
换元法：一般由代数式的整体换元、三角换元，换元时要注意等价性；
常用的换元有三角换元有：
已知222ayx??，可设??sin,cosayax??；
已知122??yx，可设??sin,cosryrx??(10??r)；
放缩法：“放”和“缩”的方向与“放”和“缩”的量的大小是由题目分析、多次尝试得出,
要注意放缩的适度。常用的方法是：
①添加或舍去一些项，如：aa??12，nnn??)1(，22131
242aa????????????????
②将分子或分母放大（或缩小）
③真分数的性质：“若0ab??，0m?，则aambbm???
④利用基本不等式，如：
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4lg16lg15lg)25lg3lg(5lg3log2??????；
⑤利用函数的单调性
⑥利用函数的有界性：如：sinx≤1??xR?；2xx?≥14??xR?；20x???xR?
⑦利用常用结论：
Ⅰ、??12221
1kkkkkkk??????????,1kNk??
，
??122211kkkkkkk??????????,1kNk??
Ⅱ、
kkkkk111)1(112?????
；
111)1(112?????kkkkk
（程度大）
Ⅲ、)
1111(21)1)(1(111122?????????kkkkkk
；（程度小）
⑧绝对值不等式：ab?≤ab?≤ab?；
典例分析：
考点一用综合法证明不等式
问题1．??1已知0,0,0abc???，且互不相等，1abc?，
求证：111abcabc?????
(1)(1)2nnnn????
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考点二用分析法证明不等式
问题2．设0,0,2abcab????，求证：22ccabaccab??????．
问题3．已知0a?，0b?，且ab?，求证：abab
ba???
（且请分别
用比较法、综合法、分析法证明，用尽可能多的方法）
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考点三用反证法证明不等式
问题4．已知332xy??，求证：xy?≤2．
考点四用放缩法证明不等式
问题5．求证：
223111112212nnn???????????(n
≥2)
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课后作业：
1.已知：222121naaa????，222121nxxx????，nN?
求证:1122nnaxaxax???≤1．
2.下列三个式子22ac?，22ba?，22(,,)cbabcR??中
.A至少有一式小于1?.B都小于1?.C都大于等于1?，.D至少有一式大于等于1?
3.若a≥3,求证：321??????aaaa．
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4.已知221xy??，求证：21a??≤yax?≤21a?
5.若,,abcR??，1abc???,求证：??1abc??≤3；??2111(1)(1)(1)abc???≥8
6.求证：1?≤211xxx???≤13
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7.求证：2221111223n?????
8.||1||abab???≤||||1||1||ab???
9.已知ABC△的三边长为a、b、c，若1a、1b、1c成等差数列.求证：B不可能是钝角.
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10.求证：1112121223nnn?????????????nN?.
11.设1abc???，2221abc???，abc??，求证：103c???．
12.已知1≤22xy?≤2，求证：12≤22xxyy??≤3.
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13.设0,0,,111xyxyxyABxyxy??????????，则,AB的大小关系是
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