潇湘书院615 / 牛仔 / 一颗璀璨的珍珠

分享

   

一颗璀璨的珍珠

2015-09-10  潇湘书院6...

一颗璀璨的珍珠—魅力无穷的完美数

2014-12-25 imath

无论是物质世界,还是精神世界,都离不开数学。最早悟出万物背后都有数的法则在起作用的,是生活在公元前6世纪的古希腊数学家和哲学家毕达哥拉斯;而他及其学派无论在代数上还是几何上都有很多贡献。其中举世闻名的“完美数”(perfect number,又称“完全数”和“完满数”) 就是他们首先发现的。

法国数学家和哲学家笛卡尔曾公开预言:“能找出完美数是不会多的,好比人类一样,要找一个完美人亦非易事。”可见这种数既优美又稀少。

发现完美数

所谓完美数,就是除其本身以外全部因数之和等于本身的数。研究数字的先师毕达哥拉斯发现6的真因数123之和还等于6,他十分感兴趣地说:“6象征着完满的婚姻以及健康和美丽,因为它的部分是完整的,并且其和等于自身。

古希腊哲学家柏拉图在他的《共和国》一书中提出了完美数的概念。不过,有人认为或许印度人和希伯来人早就知道完美数的存在了。有些《圣经》注释家认为628是上帝创造世界时所用的基本数字;他们指出,创造世界花了6天,28天则是月亮绕地球一周的天数。这使得完美数充满了神秘的色彩,所以有些书籍称之为上帝之数

约公元前300年,几何大师欧几里得在他的巨著《几何原本》第九章最后一个命题首次给出了寻找完美数的方法,被誉为欧几里得定理:如果2n1是一个素数,那么自然数2n-1一定是一个完美数。并给出了证明。

公元1世纪,毕达哥拉斯学派成员、古希腊著名数学家尼可马修斯在他的数论专著《算术入门》一书中,正确地给出了6284968128这四个完美数,并且通俗地复述了欧几里得寻找完美数的定理及其证明。他还将自然数划分为三类:富裕数、不足数和完美数,其意义分别是小于、大于和等于所有真因数之和。

千年跨一步

完美数在古希腊诞生后,吸引着众多数学家和数学爱好者像淘金般去寻找。可是,一代又一代人付出了无数的心血,第五个完美数没人找到。

后来,由于欧洲不断进行战争,希腊、罗马科学逐渐衰退,一些优秀的科学家带着他们的成果和智慧纷纷逃往阿拉伯、印度、意大利等国,从此,希腊、罗马文明一蹶不振。

直到1202年才出现一线曙光。意大利的斐波那契,青年时随父游历古代文明的希腊、埃及、阿拉伯等地区,学到了不少数学知识。他才华横溢,回国后潜心研究所搜集的数学,写出了名著《算盘书》,成为13世纪在欧洲传播东方文化和系统将东方数学介绍到西方的第一个人,并且成为西方文艺复兴前夜的数学启明星。斐波那契没有放过完美数的研究,他经过推算宣布找到了一个寻找完美数的有效法则,可惜没有人共鸣,成为过眼烟云。

光阴似箭,1460年,还当人们迷惘之际,有人偶然发现在一位无名氏的手稿中,竟神秘地给出了第五个完美数33550336。这比起第四个完美数8128大了4000多倍。跨度如此之大,在计算落后的古代可想发现者之艰辛了,但是,手稿里没有说明他用什么方法得到的,又没有公布自己的姓名,这更使人迷惑不解了。

发现非一帆风顺

在无名氏成果鼓励下,1519世纪是研究完美数不平凡的日子,其中17世纪出现了小高潮。

16世纪意大利数学家塔塔利亚小时曾被法国入侵者用刀砍伤舌头,落下了口吃的疾患,后来靠自学成为一位著名数学家。他研究发现:当 n 2 n= 3 39的奇数时,2n-1(2n-1)是完美数。

17世纪神数术大师庞格斯在一本洋洋700页的巨著《数的玄学》中,一口气列出了28个所谓完美数,他是在塔塔利亚给出的20个的基础上补充了8个。可惜两人都没有给出证明和运算过程,后人发现其中有许多是错误的。

1603年,数学家克特迪历尽艰辛,终于证明了无名氏手稿中第五个完美数是正确的,同时他还正确地发现了第六个和第七个完美数216(217-1)218(219-1),但他又错误地认为222(223-1)228229-1)和236237-1)也是完美数。这三个数后来被大数学家费尔马和欧拉否定了。

1644年,法国神甫兼大数学家梅森指出,庞格斯给出的28完美数中,只有8个是正确的,即当n23571317 19 31时,2n-1(2n-1)是完美数,同时又增加了 n67127257

在未证明的情况下他武断地说:当 n ≤ 257时,只有这 11个完美数。这就是著名的梅森猜测

梅森猜测吸引了许多人的研究,哥德巴赫认为是对的;微积分发现者之一的德国莱布尼兹也认为是对的。他们低估了完美数的难度。

1730年,被称为世界四大数学家雄狮之一的欧拉,时年23岁,正值风华茂盛。他出手不凡,给出了一个出色的定理:每一个偶完美数都是形如2n-1(2n-1)的自然数,其中n是素数,2n-1也是素数,并给出了他一直没有发表的证明。这是欧几里得定理的逆定理。有了欧几里得与欧拉两个互逆定理,公式2n-1(2n-1)成为判断一个偶数是不是完美数的充要条件了。

欧拉研究梅森猜测后指出:我冒险断言:每一个小于50的素数,甚至小于100的素数使2n-1(2n-1)是完美数的仅有n2357131719314147,我从一个优美的定理出发得到了这些结果,我自信它们具有真实性。

1772年,欧拉因过度拼命研究双目已经失明了,但他仍未停止研究,他在致瑞士数学家丹尼尔的一封信中说:我已经心算证明n31时,230(231-1)是第8个完美数。同时,他发现他过去认为n=41n47时是完美数是错误的。

欧拉定理和他发现的第8个完美数的方法,使完美数的研究发生了深刻变化,可是,人们仍不能彻底解决梅森猜测

1876年,法国数学家鲁卡斯创立了一种检验素数的新方法,证明n127时确实是一个完美数,这使梅森猜测之一变成事实,鲁卡斯的新方法给研究完美数者带来生机,同时也动摇了梅森猜测。因数学家借助他的方法发现猜测中n67       n 257时不是完美数。

在以后1883——1931年的48年间,数学家发现梅森猜测 n≤257范围内漏掉了 n 61   89 107时的三个完美数。至此,人们前仆后继,不断另辟新路径,创造新方法,用笔算纸录,耗时二千多年,共找到 12个完美数,即                       n= 2, 3,5,7,13,17,19,31,61,89,107,127时,2n-1(2n-1)是完美数。

笛卡尔曾公开预言:能找出完美数是不会多的,好比人类一样,要找一个完全人亦非易事。历史证实了他的预言。

1952年开始,人们借助高性能计算机发现完美数,至1985年才找到18个,多么可怜!

等待揭穿之谜

随着社会的发展,人们发现黄金分割在自然和社会中有着极其广泛的应用。

迄今为止,发现的30个完美数,统统都是偶数,于是,数学家提出猜测:存不存在奇数完美数。

163311月,法国数学家笛卡尔给梅森一封信中,首次开创奇数完美数的研究,他认为每一奇完美数必具有PQ2的形式,其中P是素数,并声称不久他会找到,可不仅直到他死时未能找到,而且至今,没有任何一个数学家发现一个奇完美数。它成为世界数论又一大难题。

虽然,谁也不知道它们是否存在,但经过一代又一代数学家研究计算,有一点是明确的。那就是如果存在一个奇完美数的话,那么它一定是非常大的。

有多大呢?远的不说,当代大数学家奥尔检查过1018以下自然数,没有一个奇完美数;1967年,塔克曼宣布,如果奇完美数存在,它必须大于1036,这是一个37位数;1972年,有人证明它必大于10501982年,有人证明,它必须大于10120……这种难于捉摸的奇完美数也许可能有,但它实在太大,以至超出了人们能够用计算机计算的范围了。

对奇完美数是否存在,产生如此多的估计,也是数学界的一大奇闻!

关于完美数还有许多待揭之谜,比如:完美数之间有什么关系?完美数是有限还是无穷多个?存在不存在奇完美数?

人们还发现完美数的一个奇妙现象,把一个完美数的各位数字加起来得到一个数,再把这个数的各位数字加起来,又得到一个数,一直这样做下去,结果一定是 1。例如,对于 282810 101;对于496有, 496191+910101等等。这一现象,对除6外的所有完美数是否成立?

以上这些难题,与其它数学难题一样,有待人们去攻克。尽管我们现在还看不到完美数的实际用处,但它反映了自然数的某些基本规律。探索自然规律,揭开科学上的未知之谜,正是科学追求的目标。 

梅森素数大搜索

在梅森素数的基础研究方面,法国数学家鲁卡斯和美国数学家雷默都做出了重要贡献;以他们命名的“鲁卡斯-雷默方法”是目前已知的检测梅森素数素性的最佳方法。此外,中国数学家和语言学家周海中给出了梅森素数分布的精确表达式,为人们寻找梅森素数提供了方便;这一研究成果被国际上命名为“周氏猜测”。

为了激励人们寻找梅森素数,设在美国的电子新领域基金会(EFF)曾向全世界宣布了为通过一个名为“因特网梅森素数大搜索”(GIMPS)项目来寻找梅森素数而设立的奖金。它规定向第一个找到超过1000万位数的个人或机构颁发10万美元。后面的奖金依次为:超过1亿位数,15万美元;超过10亿位数,25万美元。当然,绝大多数研究者参与该项目并不是为了金钱,而是出于兴趣、荣誉感和探索精神。

美国加州大学洛杉矶分校的计算机专家史密斯通过参加GIMPS项目,于2008年8月23日找到了迄今已知的最大梅森素数2^43112609-1;该数也是目前已知的最大素数。这个素数有12978189位;如果用普通字号(4号)将它连续打下来,其长度可超过50公里!人类也因此发现了迄今已知的最大偶完美数——2^43112608(2^43112609-1)。史密斯的成就被著名的《时代》杂志评为“2008年度50项最佳发明”之一。前不久,他获得了EFF颁布的10万美元大奖。

目前,世界上有180多个国家和地区超过25万人参加了GIMPS项目,并动用了近50万台计算机联网来寻找新的梅森素数。该项目采取网格计算方式,利用大量普通计算机的闲置计算资源来获得相当于超级计算机的运算能力。著名的《自然》杂志说:GIMPS项目不仅会进一步激发人们对梅森素数寻找的热情,而且会引起人们对网格技术应用研究的高度重视。

梅森素数在当代具有重大的理论意义和丰富的实用价值。它是发现已知最大偶完美数的唯一途径;其探究推动了“数学皇后”——数论的研究,促进了计算技术、密码技术、网格技术、程序设计技术的发展以及快速傅立叶变换的应用;另外它还可用来测试计算机硬件运算是否正确。由于梅森素数的探究需要多种学科和技术的支持,所以许多科学家认为:梅森素数的研究成果,在一定程度上反映了一个国家的科技水平。

完美数这颗数学宝库中的璀璨明珠正以其独特魅力,吸引着更多的有志者去探寻和研究。



关于 imath这里是大学数学的第二课堂。致力于传播数学知识和数学文化,涉及到数学新闻、数学知识的由来、数学家的故事、数学思想方法、数学趣事、数学与各学科的联系等。感谢您的关注!“衣带渐宽终不悔, 为伊消得人憔悴。”"你若不离不弃,我便点灯相依!"


 点击下方阅读原文查看更多
↓↓↓


    本站是提供个人知识管理的网络存储空间,所有内容均由用户发布,不代表本站观点。请注意甄别内容中的联系方式、诱导购买等信息,谨防诈骗。如发现有害或侵权内容,请点击一键举报。

    0条评论

    发表

    请遵守用户 评论公约

    类似文章 更多
    喜欢该文的人也喜欢 更多

    ×
    ×

    ¥.00

    微信或支付宝扫码支付:

    开通即同意《个图VIP服务协议》

    全部>>