黑龙江省首届初中数学教师优秀教案评选参评教案
课题垂径定理
教学目标
知识目标 使学生理解圆是轴对称图形，直径所在的直线是它的对称轴。 能力目标 能较熟练地运用弦、弧、直径之间的特定关系，解决有关问题。 德育目标 使学生理解圆是轴对称图形，直径所在的直线是它的对称轴。 情感目标 能较熟练地运用弦、弧、直径之间的特定关系，解决有关问题。 教学重点 垂径定理及运用 教学难点 垂径定理及其推论的正确区分及运用 学方法 讨论法、探索法 教学手段 实物、微机 请同学们观察几幅图片，看些图形，看他们有什么共同特点？
学生答：这些图形都是轴对称图形。
那么，你还记得我们学过图形中轴对称图形有哪些吗？
每人说出一种即可。
学生答：等腰三角形，等边三角形，矩形，菱形，正方形，等腰三角形，圆。
（圆是不是轴对称图形我们还没有研究过，它不算学过的轴对称图形。） 由直观图形引入，引发学生的学习兴趣。
调动学生的学习积极性，培养学生的学习习惯。 刚才同学提出了圆也是轴对称图形，他的说法对吗？让我们来共同研究一下。
下面同学们拿出你的圆形纸片，按老师的要求来做。
首先把这个圆形纸片沿着任意一条直径对折，然后观察折叠后的两个半圆有何关系？最后得出什么结论
学生答：圆是轴对称图形。
师：那么你知道它的对称轴是什么样的吗？
学生答：它的直径
经过圆心的直线
有同学说是直径，有同学说是经过圆心的直线，谁说的对呢？同学们讨论一下。
学生答：对称轴是直线而直径是线段，所以我们应该说圆的对称轴是经过圆心的直线。
现在我们知道了圆是轴对称图形，直径所在的直线就是它的对称轴。那么看图，CD是⊙O的直径，而AB是垂直CD的弦，在图中，你猜想一下会有那些等量关系。
AE=BE，AD=BC，AC=BC（学生答）
这些等量关系如果用语言来叙述的话，我们可以说成什么？
学生答：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。
这就是我们这一节课所要讲的一个重要定理——垂径定理。
首先我们分析一下这个定理的题设和结论。
题设：垂直于弦的直径。
结论：平分弦和弦所对的弧。（学生完成）
根据题设和结论，
结合图形，我们找出
已知、求证，并进行
证明。
已知：在⊙O中，
CD是直径，AB是弦，
CD⊥AB，垂足为E。
求证：AE=BE，AC=BC，AD=BD，
分析：我们知道等腰三角形是轴对称图形，它的对称轴是底边垂线所在的直线，那么我们如何把等腰三角形和圆联系起来呢？
连结OA，OB后我们可以得到一个等腰三角形，CD所在的直线既是等腰三角形的对称轴又是⊙O的对称轴，那么当把圆沿直径CD折叠时，会发现哪些部分重
学生答：连结OA，OB,并且有OA=OB。
两个半圆重合
2)AE、BE重合
培养学生的观察能力，概括能力，分析能力，从而调动学生学习积极性，使学生主动的获得知识。
通过观察得出结论，并且概括自己的结论，使学生获得成功的喜悦。
培养学生的观察能力和分析能力，以及解决问题的能力。 A点点重合
AC、BC重合
5）AD、BD重
既然AE，BE重合，我们就可以得到AE=BE；
AC，BC重合，我们就可以得到AC=BC；
AD，BD重合，我们就可以得到AD=BD。
我们可以把它分成几个部分，若一条直线满足
1）、垂直于弦2）、过圆心
则可以推出3）、平分弦4）、平分弦所对的劣弧5）、平分弦所对的优弧
看例题
如图，已知在⊙O中，弦AB的长8cm，圆心O到AB的距离为3cm，求⊙O的半径.
分析：要求半径，
那么我们应该怎么办？
学生答：连结OA
问：这时能求出OA或OB吗？O
学生答：不能.AEB
问：那么还应该怎么办呢?
（启发：看题圆心O到AB的距离为3cm那么这个距离在图中如何体现呢？）
学生答：过O作OE(AB，垂足为E，则OE=3cm
师：由垂径定理可知：OE垂直于弦AB，并且过圆心O，我们可得
AE=BE、AC=BC、AD=BD（学生答）
对于弧相等在这道题中我们可以不用考虑，接下来我们就可以利用AE=BE求OA了。
解（学生答）：连结OA，过O作OE(AB，垂足为E，则OE=3cm，AE=BE
(AB=8cm，
(AE=4cm
在Rt(AOE中，有
OA===5（cm）
(O的半径为5m
讲完例1后，我们考虑一下：半径、圆心的弦的距离及弦长三者有何关系？
r2=d2+（）2
根据此公式，在l，r，d三个量中，知道任何两个量就可以求出第三个量。
练习：在半径为50mm的O中，有长50mm的弦AB，计算，
1)点O与AB的距离
2)(AOB的度数
学生答出结果（1）25mm（2）600
利用刚讲过的半径、弦及圆心到弦的距离三者关系，可以知道
OE====
有简单一点的及计算方法吗？
OE=====25
显然后一种算法要比前一种简单的多，在练习和作业中，我们要尽量用后一种算法。
下面我们来学习例2
例2已知：如图，在以⊙O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于CD两点。
求证：AC=BD
讨论一下，如何作?
学生答：连结
OA、OB、OC、ODO
证△AOC≌△BOD.
∵OC=OD，OA=OBACEDB
∴∠OCD=∠ODC，
∠OAD=∠OBC
∴∠AOC=∠BOD
∴△AOC≌△BOD
∴AC=BD
有没有更简单的方法？
证明（学生板演）：过O作OE⊥AB，垂足E，则
AE=BE，CE=DE
∴AE—CE=BE-DE
即AC=BD
注意：在圆中，解弦的有关问题时，常常需要作“垂直于弦的直径”作为辅助线，实际上，往往只须从圆心作一条与弦垂直的线段。
练习：已知在⊙O中，AB、CD为互相垂直的两条弦，OD⊥AB，OE⊥AC，D，E为垂足。
你想象一下，会有什么样的结论？
学生答：ADOE为矩形
那么，如何来证明呢？
学生口答：∵OD⊥AB，OE⊥AC，AC⊥AB
∴∠EAD=∠ADO=∠AEO=90°
∴ADOE为矩形。
师：如果已知AC=AB，又会有什么结论呢？
学生答：ADOE为正方形
那么，如何来证明呢？
学生口答：在刚才的证明中加上
∵AC=AB
∴AE=AD
∴ADOE为正方形。
1300多年前，我国隋代建造的赵州石拱桥的桥拱是圆弧形，它的跨度（弧所对的弦长）为37.4米，拱高（弧的中点到弦的距离，也叫拱形高）为7.2米，求桥拱的半径（精确到0.1米）
解：AB表示桥拱，AB的圆心为O，半径为R米。
经过圆心O作弦AB的垂线OD，D为垂足，与AB相交于点C，根据垂径定理，D是AB的中点，C是AB的中点，CD就是拱高。由题设
AB=37.4，CD=7.2
AD=AB=37.4=18.7
OD=OC-DC=R-7.2
在Rt△OAD中，由勾股定理，得
OA2=AD2+OD2
即R2=18.72+（R-7.2）2
解这个方程，得27.9（米）
答：赵州石拱桥的桥拱半径为 27.9米。
练习：在直径为650mm的圆形油槽内装入一些油后，截面如图所示。若油面宽AB=600mm，求油的最大深度。
学生板演：得200mm。
这节课我们就讲到这里，下面请一位同学总结我们这节课学习了哪些内容？
圆是轴对称图形
垂径定理
垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。
如果我们把这5个条件的位置换一下，就是说
如果把2）、3）作为题设能不能得出1）、4）、5）
如果把1）、3）作为题设能不能得出2）、4）、5）
如果把2）、4）作为题设能不能得出1）、3）、5）
如果把2）、5）作为题设能不能得出1）、3）、4）
这就是我们的预习作业。
作业：P84页12、13、15、16
使学生牢固掌握定理并能灵活运用。
总结规律，培养学生的归纳总结能力。
培养学生的灵活运用能力。
多角度解决问题，给学生以想象的空间。
一题多解发挥学生的创造能力，和创造思维。
总结规律，使学生把知识归入体系。
发散思维，开阔学生的想象空间，从而培养学生的创造能力，和创造思维。
通过实际问题的结决，使学生会用所学的知识解决日常生活中的有关问题，从而使数学真正的为我们所用。
通过小结，使学生掌握本节的知识点，把所学的知识纳入已有的知识体系。
通过预习作业，使学生养成良好的学习习惯。
Aaa
C
O
AEB
D
O
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