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第1讲走进实数世界
1．数轴
规定了原点、正方向、单位长度的直线，叫做数轴．实数和数轴上的点是一一对应的．
2．相反数
(1)实数a的相反数为－a；
(2)a与b互为相反数a＋b＝0；
(3)相反数的几何意义：在数轴上，表示相反数的两个点位于原点的两侧，且到原点的距离相等．
3．倒数
(1)实数a的倒数是，其中a≠0；
(2)a和b互为倒数ab＝1.
4．绝对值
在数轴上表示一个数的点离开原点的距离叫做这个数的绝对值．即一个正数的绝对值等于它本身，0的绝对值是0，负数的绝对值是它的相反数．
即|a|＝
1．按实数的定义分类
实数
2．按正负分类
实数
正确理解实数的分类，特别注意是无理数，不是分数；
1．若x2＝a(a≥0)，则x叫做a的平方根，记作±；正数a的正的平方根叫做算术平方根，记作.
2．平方根有以下性质
(1)正数有两个平方根，它们互为相反数；
(2)0的平方根是0；
(3)负数没有平方根．
3．如果x3＝a，那么x叫做a的立方根，记作.
1．科学记数法
把一个数N表示成a×10n(1≤|a|＜10，n是整数)的形式叫科学记数法．当|N|≥1时，n等于原数N的整数位数减1；当|N|＜1且N≠0时，n是一个负整数，它的绝对值等于原数中左起第一个非零数字前零的个数(含整数位上的零)．
2．近似数与有效数字
一个近似数，四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确到哪一位，这时从左边第一个不为0的数字起，到末位数字为止，所有的数字都叫做这个近似数的有效数字．
(1)(2010·芜湖)－6的绝对值是()
A．6B．－6C．＋D．－
(2)(2010·青岛)下列各数中，相反数等于5的数是()
A．－5B．5C．－D.
(3)(2010·杭州)4的平方根是()
A．2B．±2C．16D．±16
(4)(2010·桂林)在实数5、、、中，无理数是()
A．5B.C.D.
【点拨】做此类题的关键是熟练掌握实数的有关概念．
【解答】(1)A(2)A(3)B(4)C
据统计部门报告，我市去年国民生产总值为238770000000元，那么这个数据用科学记数法表示为()
A．2.3877×1012元B．2.3877×1011元
C．23877×107元D．2387.7×108元
今年某市约有108000名应届初中毕业生参加中考，按四舍五入保留两位有效数字，108000用科学记数法表示为()
A．0.10×106B．1.08×105
C．0.11×106D．1.1×105
【点拨】用科学记数法表示的数必须满足a×10n(1≤|a|＜10，n为整数)的形式；求近似数时注意看清题目要求和单位的换算；查有效数字时，要从左边第1个非零数查起，到精确到的数为止．
【解答】(1)B(2)D
1．下列实数中，是无理数的为(C)
A．3.14B.C.D.
2．－的倒数是(A)
A．－3B．－C.D．3
3．－是的(A)
A．相反数B．倒数
C．绝对值D．算术平方根
4．4的算术平方根是(A)
A．2B．－2C．±2D．4
5．在实数，sin60°，＋1，，()0，－，()－2，3.14159中无理数有(B)
A．2个B．3个C．4个D．5个
6．27的立方根是(A)
A．3B．－3C．9D．－9
7．A为数轴上表示－1的点，将A点沿数轴向左移动2个单位长度到B点，则B点所表示的数为(A)
A．－3B．－2C．1D．1或－3
8．如图，数轴上的点A所表示的数是实数a，则点A到原点O的距离是(B)
A．aB．－aC．±aD．－|a|
9．通过世界各国卫生组织的协作和努力，甲型H1N1流感疫情得到了有效的控制，到目前为止，全球感染人数约为200000人左右，占全球人口的百分比约为0.000031，将数字0.000031用科学记数法表示为(A)
A．3.1×10－5B．3.1×10－6
C．3.1×10－7D．3.1×10－8
10．据报道，5月28日参观2010上海世博会的人数达35.6万，用科学记数法表示35.6万人是(C)
A．3.56×101人B．3.56×104人
C．3.56×105人D．35.6×104人
考点训练1
一、选择题(每小题3分，共60分)
1．(2010·安徽)在－1、0、1、2这四个数中，既不是正数也不是负数的是()
A．－1B．0C．1D．2
【解析】在实数中，0既不是正数也不是负数．
【答案】B
2．(2010·北京)－2的倒数是()
A．－B.C．－2D．2
【解析】a的倒数是(a≠0)，－2的倒数是－.
【答案】A
3．(2010·烟台)－8的立方根是()
A．2B．－2C.D．－
【解析】∵(－2)3＝－8，∴＝－2.
【答案】B
4．(2010·陕西)|－|＝______.()
A．3B．－3C.D．－
【解析】负数的绝对值是它的相反数，|－|＝.
【答案】C
5．(2010·益阳)数轴上的点A到原点的距离是6，则点A表示的数为()
A．6或－6B．6C．－6D．3或－3
【解析】由题意知，点A所表示的数的绝对值是6，所以点A表示的数为±6.
【答案】A
6．(2010·济南)作为历史上第一个正式提出“低碳世博”理念的世博会，上海世博会从一开始就确定以“低碳、和谐、可持续发展的城市”为主题．如今在世博场馆和周边共运行着一千多辆新能源汽车，为目前世界上规模最大的新能源汽车示范运行，预计将减少温室气体排放约28400吨，将28400吨用科学记数法表示为()
A．0.284×105吨B．2.84×104吨
C．28.4×103吨D．284×102吨
【解析】科学记数法的形式是N＝a×10n(1≤|a|＜10，n为整数)，当|N|≥1时，n等于N的整数位数减1，故28400＝2.84×104.
【答案】B
7．(2010·昆明)据2010年5月11日云南省委、省政府召开的通报会通报，全省各级各部门已筹集抗旱救灾救济资金32亿元，32亿元用科学记数法表示为()
A．3.2×108元B．0.32×1010元
C．3.2×109元D．32×108元
【解析】32亿＝32×108＝3.2×10×108＝3.2×109.
【答案】C
8．(2010·毕节)2008北京奥运会火炬传递的路程约13.7万公里，近似数13.7万是精确到()
A．十分位B．十万位C．万位D．千位
【解析】13.7万共有3个有效数字，其中第3个有效数字在千位上．
【答案】D
9．(2010·青岛)由四舍五入法得到的近似数8.8×103，下列说法中正确的是()
A．精确到十分位，有2个有效数字
B．精确到个位，有2个有效数字
C．精确到百位，有2个有效数字
D．精确到千位，有4个有效数字
【解析】对于由科学记数法a×10n表示的近似数，查有效数字的个数时，只需看a，题目中a＝8.8，故有2个有效数字．其中第2个8在百位上，所以精确到百位．
【答案】C
10．(2010·宁德)今年颁布的《国家中长期教育改革和发展规划纲要》中指出，“加大教育投入，提高国家财政性教育经费支出占国内生产总值比例，2012年达到4%”．如果2012年我国国内生产总值为435000亿元，那么2012年国家财政性教育经费支出应为(结果用科学记数法表示)()
A．4.35×105亿元B．1.74×105亿元
C．1.74×104亿元D．174×102亿元
【解析】435000×4%＝17400＝1.74×104.
【答案】C
11．(2009中考变式题)在0、1、－2、－3.5这四个数中，是负整数的是()
A．0B．1C．－2D．－3.5
【解析】整数包括正整数、0、负整数，－3.5属于负分数．
【答案】C
12．(2009中考变式题)古希腊著名的毕达哥拉斯学派把1、3、6、10……这样的数称为“三角形数”，而把1、4、9、16……这样的数称为“正方形数”．从图中可以发现，任何一个大于1的“正方形数”都可以看作两个相邻“三角形数”之和．下列等式中，符合这一规律的是()
A．13＝3＋10B．25＝9＋16
C．36＝15＋21D．49＝18＋31
【解析】因为“三角形数”分别为1、3、6、10、15、21、28……；“正方形数”分别为1、4、9、16、25、36、49……，所以根据条件可得36＝15＋21.
【答案】C
13．(2009中考变式题)下列命题正确的是()
A．9的平方根是3B．任何数都有倒数
C．a的相反数是－aD．若|x|＝3，则x＝3
【解析】9的平方根是±3；0没有倒数；|x|＝3，则x＝±3.
【答案】C
14．(2009中考变式题)下列各组数中，互为相反数的是()
A．|－5|与－B．－5与
C．|－5|与D．|－5|与－
【解析】互为相反数的两数之和为0，|－5|＝5，－＝－|－5|＝5.
【答案】D
15．(2009中考变式题)有下列说法：①有理数和数轴上的点一一对应；②不带根号的数一定是有理数；③负数没有立方根；④－是19的平方根，其中正确的有()
A．0个B．1个C．2个D．3个
【解析】①实数和数轴上的点一一对应，故①错；②π是无理数，故②错；③－1的立方根是－1，故③错；只有④正确．
【答案】B
16．(2011中考预测题)|－3|的相反数是()
A．3B．－3C.D．－
【解析】注意先计算|－3|＝3，再求3的相反数是－3.
【答案】B
17．(2011中考预测题)的算术平方根是()
A．4B．±4C．2D．±2
【解析】＝4，而4的算术平方根是2.
【答案】C
18．(2011中考预测题)实数，0，sin30°，，(－)0，，cos30°中，无理数的个数有()
A．1个B．2个C．3个D．4个
【解析】无理数有、、cos30°，共3个，注意cos30°＝.
【答案】C
19．(2011中考预测题)德州市2009年实现生产总值(GDP)1545亿元，用科学记数法表示应是(结果保留2个有效数字)()
A．1.54×108元B．1.545×1011元
C．1.55×1010元D．1.55×1011元
【解析】1545亿元＝1545×108元≈1.55×103×108元＝1.55×1011元．
【答案】D
20．(2011中考预测题)2010年6月5日上海世博园入园参观人数约为470000人，将这个数用科学记数法表示为4.7×10n，那么n的值为()
A．3B．4C．5D．6
【解析】470000＝4.7×105，n＝5，n等于原数470000的整数位数减1.
【答案】C
二、填空题(每小题3分，共15分)
21．(2010·连云港)在数轴上表示－的点到原点的距离为____________．
【解析】|－|＝.
【答案】
22．(2010·河南)若将三个数－、、表示在数轴上，其中能被如图所示的墨迹覆盖的数是____________．
【解析】－<0，>3，而0<1<<3.
【答案】
23．(2009中考变式题)绝对值是9的数是__________．
【解析】互为相反数的两个数的绝对值相等，|±9|＝9.
【答案】±9
24．(2010·怀化)有一组数列：2，－3,2，－3,2，－3,2，－3，……，根据这个规律，那么第2010个数是__________．
【解析】由题意知，第奇数个数为2，第偶数个数为－3，因为2010为偶数，故第2010个数为－3.
【答案】－3
25．(2011中考预测题)观察下列图形：
它们是按一定规律排列的，依照此规律，第20个图形共有________个★.
【解析】第n个图形共有(1＋3n)个，当n＝20时，1＋3n＝1＋3×20＝61.
【答案】61
三、解答题(共25分)
26．(5分)(2009中考变式题)在2009年6月的日历中(如图)，任意圈出一竖列上相邻的三个数，设中间的一个数为a，则用含a的代数式表示这三个数(从小到大排列)，分别是什么？
【答案】a－7，a，a＋7
27．(10分)(2009中考变式题)现将连续自然数1至2009按图中的方式排成一个长方形阵列，用一个正方形框出16个数．
(1)图中框出的这16个数的和是多少？
(2)在图中，要使一个正方形框出的16个数之和等于2000，请求出该正方形框出的16个数中最小数和最大数．
解：(1)10＋11＋12＋13＋…＋32＋33＋34＝352
(2)设最小数为x，由题意得，16x＋192＝2000，解得x＝113，所以113＋24＝137，即最小数为113，最大数为137.
28．(10分)(2011中考预测题)观察下列等式
＝1－，＝－，＝－，将以上三个等式两边分别相加得：＋＋＝1－＋－＋－＝1－＝.
(1)猜想并写出：＝________；
(2)直接写出下列各式的计算结果：
①＋＋＋…＋＝________；
②＋＋＋…＋＝________.
解：(1)－(2)①(提示：原式＝1－＋－＋…＋－＝1－＝)
②(提示：原式＝1－＋－＋…＋－＝1－＝)
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