9．注重养成良好的解题习惯试题杭州休博会期间，嘉年华游乐场投资150万元引进一项大型游乐设施．若不计维修保养费用，预计开放后每月可创收3
3万元．而该游乐场开放后，从第1个月到第x个月的维修保养费用累计为y(万元)，且y＝ax2＋bx.若将创收扣除投资和维修保养费用称
为游乐场的纯收益g(万元)，g也是关于x的二次函数．(1)若维修保养费用第1个月为2万元，第2个月为4万元，求y关于x的
解析式；(2)求纯收益g关于x的解析式；(3)问设施开放几个月后，游乐场的纯收益达到最大？几个月后，能收回投资
？易错警示学生答案展示解：(1)由题意，得x＝1，y＝2；x＝2，y＝4，代入y＝ax2＋bx中
，有解得故y＝2x.(
2)纯收益g＝33x－150－2x＝31x－150.(3)由g＝31x－150，可知x越大，g越大，则纯收益无最
大值；要收回成本，即g>0，∵x＝4时，g＝－26<0；x＝5时，g＝5>0，
∴5个月后，能收回投资．a＋b＝2,4a＋2b＝4,a＝0,b＝2,剖析这种解法中没有认真读题、审
题，忽略题中“累计”二字，误以为x＝2时y＝4，而应该是“x＝2时，y＝2＋4＝6”，这个理解的失误，导致后面的两问虽然思路正确，
但由于x的关系式出错，(2)、(3)问都错了．正解(1)由题意，得x＝1时，y＝2；x＝2时，y＝2＋4＝6，代
入y＝ax2＋bx中，有解得故y＝x2＋x.(
2)纯收益g＝33x－150－(x2＋x)＝－x2＋32x－150.(3)∵g＝－x2＋32x－150＝－(x－16)2＋106
，∴x＝16时，g有最大值，即设施开放16个月后游乐场的纯收益最大．由二次函数的增减性可知，当
0＝－(6－16)2＋106＝6>0，所以6个月后，能收回成本．2＝a＋b,6＝4a＋2b,a＝1,b＝1
,批阅笔记在建立函数关系解实际问题时，要想建立正确的函数关系，必须养成良好的解题习惯，审题的粗枝大叶让本属于自己的
分数失之交臂．要养成良好的解题习惯，从每天的课内、外练习做起，不断提升自己的审题和解题的正确率．方法与技巧1.解决
实际问题时的基本思路：①理解问题；②分析问题中的变量和常量；③用函数表达式表示出它们之间的关系；④利用函数的有关性质进行求解；⑤检
验结果的合理性，对问题加以拓展等．2.实际问题中函数解析式的求法：设x为自变量，y为x的函数，在求解析式时，一般与列
方程解应用题一样先列出关于x、y的二元方程，再用含x的代数式表示y，最后还要写出自变量x的取值范围．思想方法感悟提高3.中
考常见题型(1)选择题——关键：读懂函数图象，学会联系实际；(2)综合题——关键：运用数形结合思想；(3)求运动过程中的函数
解析式——关键：以静制动．失误与防范1．函数问题是初中阶段较为复杂的问题之一，找出题中的内在联系，如与方程、不等式的
联系、与几何图形的联系等，采取较为灵活的解题策略，运用数形结合的思想去解决问题．解这类综合题，不但要具备良好的知识素养，而且还要有
健康的心理，不管题目如何复杂，信息量如何大，要首先在全局上，对于整道题要敢于求解、敢于求胜．其次，在局部上，对所给的每个信息点都要
作认真解剖，深入探究，甚至不放过任何蛛丝马迹，为解决问题创造条件，再次，要有百折不挠的意志，当一些题目百思不得其解时，只要坚持探究
，往往就可以打开局面．解综合题本身就是对知识和耐力的综合考验，只有不断地培养锻炼，才能成为探究的强者．2．认真审题，注意
问题中的关键字词．如：某旅社有100张床位，每床每晚收费10元时，客床可全部租出．若每床每晚收费提高2元，则会减少10张
床位租出，以此种提高2元的方法变化下去，为了投资少而获利大，每床每晚应提高
()A．4元或6元B．4元C．6元D．8元错解：设该旅社每床每晚提
高x元，旅社获利y元，则有y＝(10＋x)＝－5x2十50x＋1000
＝－5(x－5)2＋1125.即x＝5时，旅社获利最大，但x为偶数，考虑二次函数的对称性，故x＝4或6
.选A.上述解题过程中没有注意到题中关键字眼“投资少而获利大”．从经济实惠的角度考虑，x应取6元，即在床位租出少而获得最大利润
，旅社每床每晚提高4元或6元时，从房价收费来说获利相同，但提高4元，表明房价低，此时租房数较多，相应的服务性支出就会大一些，结合实
际予以权衡，每床提高6元较合适．正解是C.完成考点跟踪训练15第15课函数的应用1．函数的应用主要涉及到经济决策、市
场经济等方面的应用．2．利用函数知识解应用题的一般步骤：(1)设定实际问题中的变量；(2)建立变
量与变量之间的函数关系，如：一次函数，二次函数或其他复合而成的函数式；(3)确定自变量的取值范围，保证自变量具有实
际意义；(4)利用函数的性质解决问题；(5)写出答案．3．利用函数并与方程(组)、不等式(组)联
系在一起解决实际生活中的利率、利润、租金、生产方案的设计问题．要点梳理1．理解实际问题与函数的关系，建立函数模型函数
是刻画现实世界运动变化和变量相依关系的重要数学模型之一，它有着广泛的应用，国情国策、生产生活、环保生态、商场经营、经济核算、规划策
略等许多问题都与函数有关．用函数的知识解决实际问题要注意对问题的审读和理解，恰当地分析、整合信息，将已知条件转化为相应的数学关系式
．用函数的知识解决实际问题的关键是将实际问题中的数量关系抽象、转化为数学问题，建立函数模型，进而运用函数的有关性质，求出问题的答案
．[难点正本疑点清源]2．认真审题，提高分析问题、解决问题的能力用函数的知识解决实际问题，除了可能涉及函数的有关知
识外，有时还会涉及方程、不等式、几何等知识，这些知识相互联系融为一体，需要一定的阅读理解能力、收集处理信息的能力，以及观察、归纳、
探索、发现、推理从而解决问题的能力．1．(2011·南充)小明乘车从南充到成都，行车的平均速度v(km/h)和行车时间t(h)之
间的函数图象是()解析：设南充到成都的路程为s(km)，则v＝(s>0)．函数图象是双曲线分布于第一象限的
一个分支．基础自测B2．(2011·鸡西)若A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)是反比例函数y＝图象
上的点，且x1＜x2＜0＜x3，则y1、y2、y3的大小关系正确的是()A．y3＞y1＞y2B
．y1＞y2＞y3C．y2＞y1＞y3D．y3＞y2＞y1解析：因为x3>0，则y3>0，
又x10>y1>y2.A3．A、B、C三种物质的质量与体积的关系如图所示(ρ表示物质的
密度)，由图可知()A．ρA>ρB>ρC，且ρC>ρ水B．ρA>ρB>ρC，且ρA>ρ水C
．ρA<ρB<ρC，且ρC>ρ水D．ρA<ρB<ρC，且ρA>ρ水解析：∵密度ρ＝＝，
由图象可知ρA>ρB>ρC，又ρA＝，这里0.51000，即ρA>ρ水
所以应选B.B4．(2011·河北)一小球被抛出后，距离地面的高度h(米)和飞行时间t(秒)满足下面的函数关系式：h＝－5(t
－1)2＋6，则小球距离地面的最大高度是()A．1米B．5米C．6米D
．7米解析：由关系式h＝－5(t－1)2＋6得，当t＝1时，h有最大值6.C5．(2010·荷泽)某种气球内充满了一定
质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压P(kPa)是气球体积V的反比例函数，其图象如图所示，当气球内的气压大于120kPa时
，气球将爆炸，为了安全，气球的体积应该()A．不小于m3B．小于m3
C．不小于m3D．小于m3解析：设P＝，则k＝60×1.6＝96，
P＝.当P＝120时，V＝，当P≤120时，V≥.C题型分类
深度剖析A型板材块数B型板材块数裁法一12裁法二2m裁法三0n题型一一次函数相关应用题【例1】某公司
装修需用A型板材240块、B型板材180块，A型板材规格是60cm×30cm，B型板材规格是40cm×30cm.现只能购得
规格是150cm×30cm的标准板材．一张标准板材尽可能多地裁出A型、B型板材，共有下列三种裁法：(图是裁法一的裁剪示意图)
设所购的标准板材全部裁完，其中按裁法一裁x张、按裁法二裁y张、按裁法三裁z张，且所裁出的A、B两种型号的板材刚好够用．(1)上表
中，m＝________，n＝________；(2)分别求出y与x和z与x的函数关系式；解：由题意得x＋2y＝2
40,2x＋3z＝180，∴y＝120－x，z＝60－x.03(3)若用Q表示所购标准板材
的张数，求Q与x的函数关系式，并指出当x取何值时Q最小，此时按三种裁法各裁标准板材多少张？解：由题意得Q＝x＋y＋z＝x＋
＋＝180－x.∴
解得x≤90.(注：事实上0≤x≤90且x是6的整数倍).由一次函数的性质可知，当x＝90时，Q最小，此时按三
种裁法分别裁90张、75张、0张．120－x≥0，60－x≥0，探究提高审清题意，找到等量
关系，可写出两个函数关系式，然后求出用含x的代数式表示Q，利用x的取值范围确定Q的最小值．知能迁移1(2010·吉林)一列长为
120米的火车匀速行驶，经过一条长为160米的隧道，从车头驶入隧道入口到车尾离开隧道出口共用14秒，设车头驶入隧道入口x秒时，火车
在隧道内的长度为y米．(1)求火车行驶的速度；(2)当0≤x≤14时，求y与x的函数关系式；
(3)在给出的平面直角坐标系中画出y与x的函数图象．解：(1)解法一：设火车行驶的速度为v米/秒．根据题意
，得14v＝120＋160，解得v＝20.解法二：(120＋160)÷14＝20.答：火车行驶的速度为20米/
秒．(2)①当0≤x≤6，y＝20x；②当6≤x≤8时，y＝120；③解法一：当8120－(20x－160)＝－20x＋280；解法二：当8(3)第一天第二天第三天第四天第五天第六天第七天第八天售价x(元/千克)4002502402
00150125120销售量y(千克)304048608096100题型二反比例函数相关应用题【例2
】水产公司有一种海产品共2104千克，为寻求合适的销售价格，进行了8天试销，试销情况如下：观察表中数据，发现可
以用反比例函数刻画这种海产品的每天销售量y(千克)与销售价格x(元/千克)之间的关系，现假定在这批海产品的销售中，每天的销售量y(
千克)与销售价格x(元/千克)之间都满足这一关系．(1)写出这个反比例函数的解析式，并补全表格；(2)在试销8天后，公司决定将
这种海产品的销售价格定为150元/千克，并且每天都按这个价格销售，那么余下的这些海产品预计要用多少天可以全部售出？解：(1
)函数解析式为y＝，表格空白处：300,50.(2)2014－(30＋40＋48＋50＋60＋
80＋96＋100)＝1600，即8天试销后，余下的海产品还有1600千克．当x＝150时，
＝80.1600÷80＝20(天)，所以余下的这些海产品预计再用20天可以全部售出．探究提高
问题中已经给出了基本数量关系，由此可确定函数关系式．利用函数关系解题时，要理解已知数的意义，弄清已知数对应的是自变量还是函数值
，正确代入．知能迁移2人的视觉机能受运动速度的影响很大，行驶中的司机在驾驶室内观察前方物体时是动态的，车速增加，视野变窄，当车
速为50km/h时，视野为80度．如果视野f(度)是车速v(km/h)的反比例函数，求f、v之间的关系式，并计算当车速为100
km/h时视野的度数．解：f、v之间的关系式f＝.当v＝100时，f＝
＝40.答：当车速为100km/h时，视野的度数为40度．题型三二次函数相关应用题【例3】如图，某公
路隧道横截面为抛物线，其最大高度为6米，底部宽度OM为12米．现以O点为原点，OM所在直线为x轴建立直角坐标系
．(1)直接写出点M及抛物线顶点P的坐标；(2)求这条抛物线的解析式；(3)若要搭建一个矩形“支撑架
”AD－DC－CB，使C、D点在抛物线上，A、B点在地面OM上，则这个“支撑架”总长的最大值是多少？解：(1)M点的
坐标为(12,0)，顶点P的坐标为(6,6)．(2)设抛物线为y＝a(x－6)2＋6，∵抛物线y＝a(x－6)
2＋6经过点(0,0)．∴0＝a(0－6)2＋6,36a＝－6，a＝－.∴抛物线解析式为：y＝－
(x－6)2＋6＝－x2＋2x.(3)设A(m,0)，则B(12－m,0)，C(12－m,－m2＋2m)，
D(m,－m2＋2m)．∴“支撑架”总长AD＋DC＋CB＝
＋(12－2m)＋＝－m2＋2m＋12＝－(m－3)2＋15.∵a＝
－<0.∴当m＝3时，AD＋DC＋CB有最大值为15米．探究提高根据图形特点，建立恰当的平面直角坐
标系，将实际问题转化为数学问题．建立平面直角坐标系时，要尽量将图形放置于特殊位置，这样便于解题．知能迁移3如图，足球场上守门员
在O处开出一高球，球从离地面1米的A处飞出(A在y轴上)，运动员乙在距O点6米的B处发现球在自己头的正上方达到最高点M，距地面约4
米高，球落地后又一次弹起．据实验测算，足球在草坪上弹起后的抛物线与原来的抛物线形状相同，最大高度减少到原来最大高度的一半．
(1)求足球开始飞出到第一次落地时，该抛物线的表达式；(2)足球第一次落地点C距守门员多少米？(取4＝7)
(3)运动员乙要抢到第二个落点D，他应再向前跑多少米？(取2＝5)解：(1)设第一次落地时
，抛物线的表达式为y＝a(x－6)2＋4，由已知得，x＝0时，y＝1，∴1＝36a＋4，a＝－.
∴抛物线的表达式为y＝－(x－6)2＋4.(2)令y＝0，则－(x－6)2＋4＝0.
∴(x－6)2＝48，x1＝4＋6≈13，x2＝－4＋6<0(舍去)，∴足球第一次落地距守门员约13米
．(3)∵OC＝13，∴C点坐标为(13,0)．设球落地后又一次弹起的抛物线的表达式为y＝－(x－k)2＋
2.∴0＝－(13－k)2＋2，解之得k1＝13＋2≈18，k2＝13－2<
13(舍去)．∴y＝－(x－18)2＋2.令y＝0，得－(x－18)2＋2＝0.
解之得x1＝18＋2≈23，x2＝18－2(舍去)，∴BD＝23－6＝17.答：
运动员乙应再向前跑17米．【例4】我市某工艺厂为配合伦敦奥运，设计了一款成本为20元/件的工艺品投入市场进行试销，得到如下数据
：(1)把上表中x、y的各组对应值作为点的坐标，在右面的平面直角坐标系中描出相应的点，猜想y与x的函数
关系，并求出函数关系式；销售单价x(元/件)……30405060……每天销售量y(件)……500400
300200……(2)当销售单价定为多少时，工艺厂试销该工艺品每天获得的利润最大？最大利润是多少？(利润＝销售总价－成本总价
)；(3)当地物价部门规定，该工艺品销售单价最高不能超过45元/件，那么销售单价定为多少时，工艺厂试销该工艺品每天获得的利润最大
？解题示范——规范步骤，该得的分，一分不丢！解：(1)画图，由图可猜想y是x的一次函数，设y＝kx＋b，∵
图象过(30,500)，(40,400)这两点，∴解得∴
y＝－10x＋800.
[5分]500＝30k＋b,400＝40k＋b,k＝－10,b＝800,(2)设该工艺厂试销工艺品每天获得的利
润是W元．∴W＝(x－20)(－10x＋800)＝－10x2＋1000x－16000＝－1
0(x－50)2＋9000.当x＝50时，W有最大值9000.∴当销售单价定为50元/件时，工艺厂每天获得
的利润最大，最大利润9000元．[
10分](3)对于W＝－10(x－50)2＋9000，当x≤45时，W值随x的增大而增大，∴当
销售单价定为45元/件时，工艺厂每天获得的利润最大．
[12分]探究提高建立合适的函数模
型，利用已知条件求出函数解析式，根据函数性质解答问题．知能迁移4(2011·盐城)利民商店经销甲、乙两种商品.现有如下信息
：请根据以上信息，解答下列问题：(1)甲、乙两种商品的进货单价各多少元？(2)该商店平均每天卖出甲商品500件和乙商品300件．经调查发现，甲、乙两种商品零售单价分别每降0.1元，这两种商品每天可各多销售100件．为了使每天获取更大的利润，商店决定把甲、乙两种商品的零售单价都下降m元.在不考虑其他因素的条件下，当m定为多少时，才能使商店每天销售甲、乙两种商品获取的利润最大？每天的最大利润是多少？解：(1)设甲商品的进货单价是x元，乙商品的进货单价是y元．根据题意，得解得答：甲商品的进货单价是2元，乙商品的进货单价是3元．(2)设商店每天销售甲、乙两种商品获取的利润为s元，则s＝(1－m)(500＋100×)＋(5－3－m)(300＋100×)，即s＝－2000m2＋2200m＋1100＝－2000(m－0.55)2＋1705.∴当m＝0.55时，s有最大值，最大值为1705.答：当m定为0.55时，才能使商店每天销售甲、乙两种商品获取的利润最大，每天的最大利润是1705元．x＋y＝5,3(x＋1)＋2(2y－1)＝19,x＝2,y＝3, |
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