失误与防范1.求时，一定要注意确定a的大小，应注意利用等式＝|a|，当问题中已知条件不能直接判定a的大小时就要分类讨论．
2.化简二次根式的题目，形式多样，应先化简后求值，应力求把根号去掉．在求算术平方根时，要先用含绝对值的式子表示含字母的式子，保证
求原式的算术平方根有意义，然后再根据题目条件，判断求绝对值的式子的符号．3．一般情况下，我们解题时，总会习惯地把重点放在探求思路
和计算结果上，而忽视了一些不太重要、不直接影响求解过程的附加条件．要特别注意，问题中的条件没有主次之分，都必须认真对待．完成考点
跟踪训练5第5课二次根式及其运算1．二次根式的概念：式子叫做二次根式．2．二次根式的性
质：(1)()2＝；(2)＝|a|＝(3)＝
．(4)＝．要点梳理(a≥0)a(a≥0)a
(a≥0)0(a＝0)－a(a<0)·(a≥0，b≥0)(a≥0，b>0)3．二次根式的运算：(1)二次根
式加减法的实质是合并同类根式；(2)二次根式的乘法：·＝；(3)二次
根式的除法：＝．4．最简二次根式：运算结果中的二次根式，一般都要化成最简二次根
式．最简二次根式，满足两个条件：①被开方数不含分母；②被开方数中不含开得尽方的因数或因式．(a≥0，b≥
0)(a≥0，b>0)1．正确理解二次根式的意义二次根式定义中的“a≥0”是定义的一个重要组成部分，不可以省略，
因为负数没有平方根，所以当a<0时，没有意义．在具体问题中，一旦出现了二次根式，就意味着a≥0，这通常作为一个重要的隐含条件
来应用；被开方数a既可以是具体的数，也可以是单项式或多项式，如：、(ab≥0)、(x≥－3)都是二次
根式．[难点正本疑点清源]2．注意正确的化简及二次根式的混合运算实数的混合运算与有理数混合运算相似，而二次根式的混合
运算则与整式、分式的混合运算有很多相似之处，如：运算顺序都是先算乘方、开方、再算乘除、最后算加减，如有括号，应先算括号里面的；有理
数、整式、分式运算中的运算律(分配律、结合律、交换律等)和所有的乘法公式(平方差公式、完全平方公式)在二次根式中的运算仍然适用．
3．与二次根式相关的求值问题条件二次根式的求值，问题往往与整式、分式综合起来，因此技巧性较强，解题不要急于动手，宜先统筹好
解题的方法与过程．通常是将已知式与求值式化简后，再按照求代数式的方法进行，以简便、准确为目的．1．(2011·泉州)(－2)2
的算术平方根是()A.2B．±2C．－2D.解析：＝＝2.
2．(2011·广安)下列运算正确的是()A．－(－x＋1)＝x＋1B.－＝C.
＝2－D．(a－b)2＝a2－b2解析：因为<2，－2<0，所以＝－(
－2)＝－＋2＝2－.基础自测AC3．(2011·泰安)下列运算正确的是()A.
＝±5B．4－＝1C.÷＝9D.·＝6解析：
×＝＝＝6.4．(2011·杭州)下列各式中，正确的是()A.
＝－3B．－＝－3C.＝±3D.＝±3解析：因为
＝3，所以－＝－3.DB5．(2011·菏泽)实数a在数轴上的位置如图所示，则＋化简后为
()A.7B．－7C．2a－15D．无法确定解析：可知5
0，a－11<0，原式＝＋＝(a－4)＋(11－a)＝7.A题型一二
次根式概念与性质【例1】(1)等式＝成立，则实数k的范围
是()A．k>3或kk>3解析：要使等式成立，必须有∴k>3.题型分类深度剖析D(2)已知a、b
、c是△ABC的三边长，试化简：＋＋＋.
解：原式＝|a＋b＋c|＋|a－b－c|＋|b－c－a|＋|c－a－b|＝(a＋b＋c)＋(b＋c－a)＋(
c＋a－b)＋(a＋b－c)＝2a＋2b＋2c.探究提高1.对于二次根式，它有意义的条件是被开方数非负.
2.注意二次根式性质()2＝a(a≥0)，＝|a|的区别，判断出各式的正负性，再化简．知能迁移1(1)(－
)2的平方根是________，9的算术平方根是________，________是－64的立方根．解析：(－
)2＝2,2的平方根是±；＝3；＝－4.±3－4(2)(2011·烟台)如果
＝1－2a，则()A．a＜B.a≤C．a＞D.a≥解析：由1－2
a≥0，得a≤.B(3)若化简|1－x|－的结果为2x－5，则x的取值范围是________．
解析：∵|1－x|－＝(x－1)－(4－x)＝2x－5，∴|1－x|＝x－1≥0，x≥1，
且＝4－x≥0，x≤4.∴1≤x≤4.1≤x≤4题型二二次根式的运
算【例2】(1)下列运算正确的是()A．2＋4＝6B.＝4C.
÷＝3D.＝－3解析：÷＝＝＝3，选C.
(2)计算：－＋－2.解：原式＝2－＋－＝.C
(3)计算：－×解：原式＝－××＝－××15×＝－6
.探究提高1.二次根式化简，依据＝·(a≥0，b≥0)，＝(a≥0，b＞0)，前者
将被开方数变形为有m2(m为正整数)因式，后者分子、分母同时乘一个适当的数使分母变形为m2(m为正整数)的形式，即可将
其移到根号外.2.二次根式加减，即化简之后合并同类二次根式．3．二次根式乘除结果要化简为最简二次根式．知能迁移
2(1)(2011·潍坊)下面计算正确的是()A．3＋＝3B.÷＝3C.
·＝D.＝－2解析：÷＝＝3.B(2)如图，数轴上A、B两点
表示的数分别为－1和，点B关于点A的对称点为C，则点C所表示的数为()A．－2－
B．－1－C．－2＋D．1＋解析：∵A、B两点表示的数分别是－1和，∴O
A＝|－1|＝1，OB＝||＝，AB＝1＋＝AC，∴OC＝AC＋OA＝(1＋)＋1＝2＋.
∴点C所表示的数为－(2＋)＝－2－，选A.A题型三二次根式混合运算【例3】计算：(1)
(3－1)(1＋3)－(2－1)2；(2)(－3)2010·(＋3)2010.
解题示范——规范步骤，该得的分，一分不丢！解：(1)原式＝(3)2－1－[(2)2－4＋1]
＝18－1－8＋4－1[2分]＝8＋4
[4分](2)原式＝[(－3)(＋3)]2010
[2分]＝[()2－32]2010＝(10－9)2
010＝1[4分]探究提高1.二次根式混合运算，把若干个知识点综合在一起，计算时要认
真仔细.2.可以适当改变运算顺序，使运算简便．知能迁移3(1)－－()0解：原式＝3－3
－1＝－1(2)(－3)2－＋()－1；解：原式＝9－2＋2＝9(3)已知
的整数部分为a，小数部分为b，求a2－b2的值．解：∵3<<4，∴的整数部分a＝
3，小数部分b＝－3.∴a2－b2＝32－(－3)2＝9－(10－6＋
9)＝－10＋6.题型四二次根式运算中的技巧【例4】(1)已知x＝2－，y＝2＋，
求：x2＋xy＋y2的值；(2)已知x＋＝－3，求x－的值．解：(1)∵x＝2－，y＝2＋
，∴x＋y＝(2－)＋(2＋)＝4，xy＝(2－)×(2＋
)＝1，∴x2＋xy＋y2＝(x＋y)2－xy＝42－1＝15.(2)
∵＝－4＝(－3)2－4＝5，∴x－＝±.(x－)2(
x＋)2探究提高1.x2＋xy＋y2是一个对称式，可先求出基本对称式x＋y＝4，xy＝1，然后将x2＋xy＋
y2转化为(x＋y)2－xy，整体代入即可.2.注意到(x－)2＝(x＋)2－4，可得(x－)2＝5，x－
＝±.知能迁移4(1)若y＝＋＋x3，则10x＋2y的平方根为________；
解析：(1)∵∴∴x＝2，y＝23＝8，∴±
＝±＝±＝±6.±6(2)已知a＝3＋2，b＝3－2
，求a2b－ab2的值；解：∵a－b＝(3＋2)－(3－2)＝4，ab＝
(3＋2)(3－2)＝－11，∴a2b－ab2＝ab(a－b)＝(－11)×4＝－44.(
3)已知x＝，y＝，求的值；解：∵x＝＝(－1)2＝3－2
，y＝＝(＋1)2＝3＋2，∴x＋y＝6，x－y＝－4，
xy＝1.原式＝＝＝＝－.2－12＋1
2＋1－122－12＋12－12＋1(4)(2011·内江)已知|6－3m|＋(n
－5)2＝3m－6－，则m－n＝_______.解析：由|6－3m|＋(n－5)2＝3m－
6－，得|6－3m|＋(n－5)2＋＝3m－6，|6－3m|＋(n－5
)2＋|n|·＝3m－6，∴m－3＝0且n－5＝0，∴m＝3，n＝5，m－n＝3－5＝－2.
－2答题规范2．注意二次根式运算中隐含条件考题再现已知：a＝，求－的值．
学生作答解：原式＝－＝a－1－＝a－1－.
∴当a＝时，原式＝－1－(2＋)＝－1－2.规
范解答解：∵a＝<1，∴a－1<0.∴＝＝|a－1|＝1－a
.∴原式＝－＝a－1＋.∴当a＝时，
原式＝－1＋(2＋)＝3.老师忠告(1)题目中的隐含条件为a＝<1，所以＝＝|a－1|＝1－a，而不是a－1；(2)注意挖掘题目中的隐含条件，是解决数学问题的关键之一，上题中的隐含条件a＝＝＝|a－1|＝1－a是进行二次根式化简的依据，同学们应注重分析能力的培养，提高解题的正确性.思想方法感悟提高方法技巧1.二次根式相加减，必须先化成最简二次根式，才能有效地合并同类二次根式；二次根式乘除，不必化简为最简二次根式，因为有时在乘除中可直接约分为最简二次根式或有理式，即使没有约分的情况，一般来说，只需把积(商)进行一次化简(因为结果须是最简二次根式)，当然较先化最简二次根式一次，又把积(商)再化简一次较为简单．2.混合运算时，要根据实际情况，灵活确定运算顺序，可适当改变运算的顺序，使运算简便． |
|
