Gothedistance
第九节函数与方程
[知识能否忆起]
1．函数的零点
(1)定义：
对于函数y＝f(x)(x∈D)，把使f(x)＝0成立的实数x叫做函数y＝f(x)(x∈D)的零点．
(2)函数的零点与相应方程的根、函数的图象与x轴交点间的关系：
方程f(x)＝0有实数根?函数y＝f(x)的图象与x轴有交点?函数y＝f(x)有零点．
(3)函数零点的判定(零点存在性定理)：
如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)<0，那
么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方
程f(x)＝0的根．
2．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象与零点的关系
Δ＞0Δ＝0Δ＜0
二次函数y＝ax2＋bx
＋c(a＞0)的图象
与x轴的交点(x1,0)，(x2,0)(x1,0)无交点
零点个数两个一个零个
3.二分法
对于在区间[a，b]上连续不断且f(a)·f(b)<0的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零
点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做
二分法．
[小题能否全取]
1．(教材习题改编)下列图象表示的函数中能用二分法求零点的是()
答案：C
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2．若函数f(x)＝ax＋b有一个零点是2，那么函数g(x)＝bx2－ax的零点是()
A．0,2B．0，12
C．0，－12D．2，－12
解析：选C∵2a＋b＝0，∴g(x)＝－2ax2－ax＝－ax(2x＋1)．
∴零点为0和－12.
3．(教材习题改编)根据表格中的数据，可以判定方程ex－x－2＝0的一个根所在的区间
为()
x－10123
ex0.3712.727.3920.09
x＋212345
A.(－1,0)B．(0,1)
C．(1,2)D．(2,3)
解析：选C设函数f(x)＝ex－x－2，从表中可以看出f(1)·f(2)<0，因此方程ex－x－2＝
0的一个根所在的区间为(1,2)．
4．用二分法求函数y＝f(x)在区间(2,4)上的近似解，验证f(2)·f(4)<0，给定精确度ε＝0.01，
取区间(2,4)的中点x1＝2＋42＝3，计算得f(2)·f(x1)<0，则此时零点x0∈________(填区间)．
解析：由f(2)·f(3)<0可知x0∈(2,3)．
答案：(2,3)
5．已知函数f(x)＝x2＋x＋a在区间(0,1)上有零点，则实数a的取值范围是________．
解析：∵函数f(x)＝x2＋x＋a在(0,1)上有零点．
∴f(0)f(1)<0.即a(a＋2)<0，解得－2
答案：(－2,0)
1.函数的零点不是点：
函数y＝f(x)的零点就是方程f(x)＝0的实数根，也就是函数y＝f(x)的图象与x轴交
点的横坐标，所以函数的零点是一个数，而不是一个点．在写函数零点时，所写的一定是一
个数字，而不是一个坐标．
2．对函数零点存在的判断中，必须强调：
(1)f(x)在[a，b]上连续；
(2)f(a)·f(b)<0；
(3)在(a，b)内存在零点．
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这是零点存在的一个充分条件，但不必要．
3．对于定义域内连续不断的函数，其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号．
确定函数零点所在的区间
典题导入
[例1](2012·唐山统考)设f(x)＝ex＋x－4，则函数f(x)的零点位于区间()
A．(－1,0)B．(0,1)
C．(1,2)D．(2,3)
[自主解答]∵f(x)＝ex＋x－4，∴f′(x)＝ex＋1>0.∴函数f(x)在R上单调递增．f(－1)
＝e－1＋(－1)－4＝－5＋e－1<0，f(0)＝－3<0，f(1)＝e＋1－4＝e－3<0，f(2)＝e2＋2－4＝e2
－2>0，f(1)f(2)<0，故零点x0∈(1,2)．
[答案]C
由题悟法
利用函数零点的存在性定理判断零点所在的区间时，首先看函数y＝f(x)在区间[a，b]
上的图象是否连续不断，再看是否有f(a)·f(b)<0.若有，则函数y＝f(x)在区间(a，b)内必有零
点．
以题试法
1．(2013·衡水模拟)设函数y＝x3与y＝????12x－2的图象交点为(x0，y0)，则x0所在的区间是
()
A．(0,1)B．(1,2)
C．(2,3)D．(3,4)
解析：选B设函数f(x)＝x3－????12x－2，f(1)·f(2)<0，且f(x)为单调函数，则x0∈(1,2)．
判断函数零点个数
典题导入
[例2](1)(2012·北京高考)函数f(x)＝x12－????12x的零点的个数为()
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A．0B．1
C．2D．3
(2)(2012·北京东城区模拟)已知函数f(x)＝
??
??
?x＋1，x≤0，
log2x，x>0，则函数y＝f(f(x))＋1的零点个
数是()
A．4B．3
C．2D．1
[自主解答](1)在同一平面直角坐标系内作出y1＝x12与y2＝
????
1
2
x的图象如图所示，易知，两函数图象只有一个交点，因此函
数f(x)＝x12－????12x只有1个零点．
(2)由f(f(x))＋1＝0可得f(f(x))＝－1，
又由f(－2)＝f????12＝－1.
可得f(x)＝－2或f(x)＝12.
若f(x)＝－2，则x＝－3或x＝14；
若f(x)＝12，则x＝－12或x＝2，
综上可得函数y＝f(f(x))＋1有4个零点．
[答案](1)B(2)A
由题悟法
判断函数零点个数的常用方法
(1)解方程法：令f(x)＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．
(2)零点存在性定理法：利用定理不仅要判断函数在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且
f(a)·f(b)<0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性、周期性、对称性)才能确定函
数有多少个零点．
(3)数形结合法：转化为两个函数的图象的交点个数问题．先画出两个函数的图象，看
其交点的个数，其中交点的个数，就是函数零点的个数．
以题试法
2．(2012·湖北高考)函数f(x)＝xcosx2在区间[0,4]上的零点个数为()
A．4B．5
C．6D．7
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解析：选C令xcosx2＝0，则x＝0，或x2＝kπ＋π2，又x∈[0,4]，因此xk＝kπ＋π2(k
＝0,1,2,3,4)，共有6个零点．
函数零点的应用
典题导入
[例3](2011·辽宁高考改编)已知函数f(x)＝ex－x＋a有零点，则a的取值范围是
________．
[自主解答]∵f(x)＝ex－x＋a，
∴f′(x)＝ex－1.令f′(x)＝0，得x＝0.
当x<0时，f′(x)<0，函数f(x)在(－∞，0)上是减函数；
当x>0时，f′(x)>0，函数f(x)在(0，＋∞)上是增函数．
故f(x)min＝f(0)＝1＋a.
若函数f(x)有零点，则f(x)min≤0，
即1＋a≤0，得a≤－1.
[答案](－∞，－1]
若函数变为f(x)＝lnx－2x＋a，其他条件不变，求a的取值范围．
解：∵f(x)＝lnx－2x＋a，∴f′(x)＝1x－2.
令f′(x)＝0，得x＝12.
当0
当x>12时，f′(x)<0，∴f(x)为减函数．
∴f(x)max＝f????12＝ln12－1＋a.
若f(x)有零点，则f(x)max≥0，即ln12－1＋a≥0.
解得a≥1－ln12，a的取值范围为[)1＋ln2，＋∞.
由题悟法
已知函数有零点(方程有根)求参数取值常用的方法
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(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围．
(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决．
(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后
数形结合求解．
以题试法
3．已知函数f(x)满足f(x＋1)＝f(x－1)，且f(x)是偶函数，当x∈[0,1]时，f(x)＝x，若在
区间[－1,3]上函数g(x)＝f(x)－kx－k有4个零点，则实数k的取值范围是______．
解析：由f(x＋1)＝f(x－1)得，f(x＋2)＝f(x)，则f(x)是周期为2的函数．∵f(x)是偶函数，
当x∈[0,1]时，f(x)＝x，∴当x∈[－1,0]时，f(x)＝－x，易得当x∈[1,2]时，f(x)＝－x＋2，当
x∈[2,3]时，f(x)＝x－2.
在区间[－1,3]上函数g(x)＝f(x)－kx－k有4个零点，即函数y＝f(x)与y＝kx＋k的图象
在区间[－1,3]上有4个不同的交点．作出函数y＝f(x)与y＝kx＋k的图象如图所示，结合图
形易知，k∈????0，14.
答案：????0，14
1．已知函数f(x)＝
??
??
?2x－1，x≤1，
1＋log2x，x>1，则函数f(x)的零点为()
A.12，0B．－2,0
C.12D．0
解析：选D当x≤1时，由f(x)＝2x－1＝0，解得x＝0；当x>1时，由f(x)＝1＋log2x
＝0，解得x＝12，又因为x>1，所以此时方程无解．综上函数f(x)的零点只有0.
2．设f(x)＝x3＋bx＋c是[－1,1]上的增函数，且f????－12·f????12<0，则方程f(x)＝0在[－1,1]
内()
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A．可能有3个实数根B．可能有2个实数根
C．有唯一的实数根D．没有实数根
解析：选C由f(x)在[－1,1]上是增函数，且f????－12·f????12<0，知f(x)在????－12，12上有唯一
零点，所以方程f(x)＝0在[－1,1]上有唯一实数根．
3．(2012·长沙模拟)已知函数f(x)的图象是连续不断的，x、f(x)的对应关系如下表：
x123456
f(x)136.1315.552－3.9210.88－52.488－232.064
则函数f(x)存在零点的区间有()
A．区间[1,2]和[2,3]
B．区间[2,3]和[3,4]
C．区间[2,3]、[3,4]和[4,5]
D．区间[3,4]、[4,5]和[5,6]
解析：选C因为f(2)>0，f(3)<0，f(4)>0，f(5)<0，所以在区间[2,3]，[3,4]，[4,5]内有零
点．
4．(2013·北京西城二模)执行如图所示的程序框图，若输入如下四个函数：
①y＝2x；②y＝－2x；③f(x)＝x＋x－1；④f(x)＝x－x－1.
则输出函数的序号为()
A．①B．②
C．③D．④
解析：选D由图可知输出结果为存在零点的函数，因2x>0，所以y＝2x没有零点，同
样y＝－2x也没有零点；f(x)＝x＋x－1，当x>0时，f(x)≥2，当x<0时，f(x)≤－2，故f(x)没
有零点；令f(x)＝x－x－1＝0得x＝±1，故选D.
5．(2012·北京朝阳统考)函数f(x)＝2x－2x－a的一个零点在区间(1,2)内，则实数a的取
值范围是()
A．(1,3)B．(1,2)
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C．(0,3)D．(0,2)
解析：选C由条件可知f(1)f(2)<0，即(2－2－a)(4－1－a)<0，即a(a－3)<0，解之得
0
6．(2013·哈师大模拟)若定义在R上的函数f(x)满足f(x＋2)＝f(x)，且x∈[－1,1]时，f(x)
＝1－x2，函数g(x)＝
??
??
?lgx，x>0，0，x＝0，
－1x，x<0，
则函数h(x)＝f(x)－g(x)在区间[－5,5]内的零点个数是
()
A．5B．7
C．8D．10
解析：选C依题意得，函数f(x)是以2为周期的函数，在同一坐标系下画出函数y＝f(x)
与函数y＝g(x)的图象，结合图象得，当x∈[－5,5]时，它们的图象的公共点共有8个，即函
数h(x)＝f(x)－g(x)在区间[－5,5]内的零点个数是8.
7．用二分法研究函数f(x)＝x3＋3x－1的零点时，第一次经计算f(0)<0，f(0.5)>0可得其
中一个零点x0∈______，第二次应计算________．
解析：因为f(x)＝x3＋3x－1是R上的连续函数，且f(0)<0，f(0.5)>0，则f(x)在x∈(0,0.5)
上存在零点，且第二次验证时需验证f(0.25)的符号．
答案：(0,0.5)f(0.25)
8．若函数f(x)＝ax－x－a(a>0且a≠1)有两个零点，则实数a的取值范围是________．
解析：函数f(x)的零点个数就是函数y＝ax与函数y＝x＋a的图象交点的个数，易知当
a>1时，两图象有两个交点；当0
答案：(1，＋∞)
9．(2013·南通质检)已知函数f(x)＝x2＋(1－k)x－k的一个零点在(2,3)内，则实数k的取
值范围是________．
解析：因为Δ＝(1－k)2＋4k＝(1＋k)2≥0对一切k∈R恒成立，又k＝－1时，f(x)的零点
x＝－1?(2,3)，故要使函数f(x)＝x2＋(1－k)x－k的一个零点在(2,3)内，则必有f(2)·f(3)<0，即
2
答案：(2,3)
10．已知函数f(x)＝x3－x2＋x2＋14.
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证明：存在x0∈????0，12，使f(x0)＝x0.
证明：令g(x)＝f(x)－x.
∵g(0)＝14，g????12＝f????12－12＝－18，
∴g(0)·g????12<0.
又函数g(x)在????0，12上连续，
∴存在x0∈????0，12，使g(x0)＝0，即f(x0)＝x0.
11．关于x的二次方程x2＋(m－1)x＋1＝0在区间[0,2]上有解，求实数m的取值范围．
解：设f(x)＝x2＋(m－1)x＋1，x∈[0,2]，
①若f(x)＝0在区间[0,2]上有一解，
∵f(0)＝1>0，则应有f(2)<0，
又∵f(2)＝22＋(m－1)×2＋1，∴m<－32.
②若f(x)＝0在区间[0,2]上有两解，则
??
??
?Δ≥0，
0<－m－12<2，
f?2?≥0，
∴
??
??
??m－1?2－4≥0，
－3
4＋?m－1?×2＋1≥0.
∴
??
??
?m≥3或m≤－1，－3
m≥－32.
∴－32≤m≤－1.
由①②可知m的取值范围(－∞，－1]．
12．若函数f(x)＝ax2－x－1有且仅有一个零点，求实数a的取值范围．
解：(1)当a＝0时，函数f(x)＝－x－1为一次函数，则－1是函数的零点，即函数仅有
一个零点．
(2)当a≠0时，函数f(x)＝ax2－x－1为二次函数，并且仅有一个零点，则一元二次方程
ax2－x－1＝0有两个相等实根．则Δ＝1＋4a＝0，解得a＝－14.综上，当a＝0或a＝－14时，
函数仅有一个零点．
1．(2012·“江南十校”联考)已知关于x的方程|x2－6x|＝a(a>0)的解集为P，则P中所
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有元素的和可能是()
A．3,6,9B．6,9,12
C．9,12,15D．6,12,15
解析：选B如图，函数y＝|x2－6x|的图象关于直线x＝3对称，将直
线y＝a从下往上移动可知：P中所有元素的和可能是6,9,12.
2．已知函数f(x)＝
??
??
?x－2，x>0，
－x2＋bx＋c，x≤0满足f(0)＝1，且f(0)＋2f(－
1)＝0，那么函数g(x)＝f(x)＋x的零点个数为________．
解析：∵f(0)＝1，∴c＝1.又∵f(0)＋2f(－1)＝0，∴f(－1)＝－1－b＋1＝－12，得b＝12.
∴当x>0时，g(x)＝2x－2＝0有唯一解x＝1；当x≤0时，g(x)＝－x2＋32x＋1，令g(x)＝0，
得x＝2(舍去)或x＝－12，即g(x)＝0有唯一解．综上可知，g(x)＝f(x)＋x有2个零点．
答案：2
3．已知二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c.
(1)若a>b>c，且f(1)＝0，试证明f(x)必有两个零点；
(2)若对x1，x2∈R，且x1
明必有一个实根属于(x1，x2)．
证明：(1)∵f(1)＝0，∴a＋b＋c＝0，又∵a>b>c，∴a>0，c<0，即ac<0.
又∵Δ＝b2－4ac≥－4ac>0，∴方程ax2＋bx＋c＝0有两个不等实根，∴函数f(x)有两个
零点．
(2)令g(x)＝f(x)－12[f(x1)＋f(x2)]，则g(x1)＝f(x1)－12[f(x1)＋f(x2)]＝f?x1?－f?x2?2，
g(x2)＝f(x2)－12[f(x1)＋f(x2)]＝f?x2?－f?x1?2，
∴g(x1)·g(x2)＝f?x1?－f?x2?2·f?x2?－f?x1?2＝
－14[f(x1)－f(x2)]2.
∵f(x1)≠f(x2)，∴g(x1)·g(x2)<0.
∴g(x)＝0在(x1，x2)内必有一实根．
即f(x)＝12[f(x1)＋f(x2)]在(x1，x2)内必有一实根．
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1．对于定义域为D的函数f(x)，若存在区间M＝[a，b]?D(a
M}＝M，则称区间M为函数f(x)的“等值区间”．给出下列四个函数：
①f(x)＝2x；②f(x)＝x3；③f(x)＝sinx；④f(x)＝log2x＋1.
则存在“等值区间”的函数是________．(把正确的序号都填上)
解析：问题等价于方程f(x)＝x在函数的定义域内是否存在至少两个不相等的实根，由
于2x>x，故函数f(x)＝2x不存在等值区间；由于x3＝x有三个不相等的实根x1＝－1，x2＝0，
x3＝1，故函数f(x)＝x3存在三个等值区间[－1,0]，[0,1]，[－1,1]；由于sinx＝x只有唯一的
实根x＝0，结合函数图象，可知函数f(x)＝sinx不存在等值区间；由于log2x＋1＝x有实根
x1＝1，x2＝2，故函数f(x)＝log2x＋1存在等值区间[1,2]．
答案：②④
2．m为何值时，f(x)＝x2＋2mx＋3m＋4.
(1)有且仅有一个零点；
(2)有两个零点且均比－1大．
解：(1)若函数f(x)＝x2＋2mx＋3m＋4有且仅有一个零点，
则等价于Δ＝4m2－4(3m＋4)＝0，
即m2－3m－4＝0，
解得m＝4或m＝－1.
(2)设两零点分别为x1，x2，且x1>－1，x2>－1，x1≠x2.
则x1＋x2＝－2m，x1·x2＝3m＋4，
故只需
??
??
?Δ＝4m2－4?3m＋4?>0，
?x1＋1?＋?x2＋1?>0，
?x1＋1??x2＋1?>0
?
??
??
?m2－3m－4>0，
－2m＋2>0，
3m＋4＋?－2m?＋1>0
?
??
??
?m<－1或m>4，
m<1，
m>－5.
故m的取值范围是{m|－5
|
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