Gothedistance
第六节简单的三角恒等变换
[知识能否忆起]
半角公式(不要求记忆)
1．用cosα表示sin2α2，cos2α2，tan2α2.
sin2α2＝1－cosα2；cos2α2＝1＋cosα2；tan2α2＝1－cosα1＋cosα.
2．用cosα表示sinα2，cosα2，tanα2.
sinα2＝±1－cosα2；cosα2＝±1＋cosα2；
tanα2＝±1－cosα1＋cosα.
3．用sinα，cosα表示tanα2.
tanα2＝sinα1＋cosα＝1－cosαsinα.
[小题能否全取]
1．(教材习题改编)已知cosα＝13，α∈(π，2π)，则cosα2等于()
A.63B．－63
C.33D．－33
解析：选B∵cosα＝13，α∈(π，2π)，∴α2∈????π2，π，
∴cosα2＝－1＋cosα2＝－
1＋13
2＝－
6
3.
2．已知函数f(x)＝cos2????π4＋x－cos2????π4－x，则f????π12等于()
Gothedistance
A.12B．－12
C.32D．－32
解析：选Bf(x)＝cos2????π4＋x－sin2????x＋π4＝－sin2x，∴f????π12＝－sinπ6＝－12.
3．已知tanα＝12，则cos2α＋sin2α＋1cos2α等于()
A．3B．6
C．12D.32
解析：选Acos2α＋sin2α＋1cos2α＝2cos
2α＋2sinα·cosα
cos2α
＝2＋2tanα＝3.
4.sin20°cos20°cos50°＝________.
解析：sin20°cos20°cos50°＝
1
2sin40°
cos50°＝
1
2sin40°
sin40°＝
1
2.
答案：12
5．若1＋tanα1－tanα＝2013，则1cos2α＋tan2α＝________.
解析：1cos2α＋tan2α＝1＋sin2αcos2α＝?cosα＋sinα?
2
cos2α－sin2α
＝cosα＋sinαcosα－sinα＝1＋tanα1－tanα＝2013.
答案：2013
三角恒等变换的常见形式
三角恒等变换中常见的三种形式：一是化简；二是求值；三是三角恒等式的证明．
(1)三角函数的化简常见的方法有切化弦、利用诱导公式、同角三角函数关系式及
和、差、倍角公式进行转化求解．
(2)三角函数求值分为给值求值(条件求值)与给角求值，对条件求值问题要充分利
用条件进行转化求解．
(3)三角恒等式的证明，要看左右两侧函数名、角之间的关系，不同名则化同名，
不同角则化同角，利用公式求解变形即可．
Gothedistance
三角函数式的化简
典题导入
[例1]化简
2cos4x－2cos2x＋12
2tan????π4－xsin2????π4＋x
.
[自主解答]原式＝
－2sin2xcos2x＋12
2sin????π4－xcos2????π4－x
cos????π4－x
＝
1
2?1－sin
22x?
2sin????π4－xcos????π4－x
＝
1
2cos
22x
sin????π2－2x
＝12cos2x.
由题悟法
三角函数式的化简要遵循“三看”原则
(1)一看“角”，这是最重要的一环，通过看角之间的差别与联系，把角进行合理的拆
分，从而正确使用公式；
(2)二看“函数名称”，看函数名称之间的差异，从而确定使用的公式，常见的有“切
化弦”；
(3)三看“结构特征”，分析结构特征，可以帮助我们找到变形的方向，如“遇到分式
要通分”等．
以题试法
1．化简
?
?
?
?
?
?1
tanα2
－tanα2·
????1＋tanα·tan
α
2.
解：法一：原式＝
??
?
??
?cosα2
sinα2
－
sinα2
cosα2
·
??
?
??
?
1＋sinαcosα·
sinα2
cosα2
Gothedistance
＝
cos2α2－sin2α2
sinα2·cosα2
·
cosαcosα2＋sinαsinα2
cosαcosα2
＝2cosαsinα·
cos????α－α2
cosαcosα2
＝2cosαsinα·
cosα2
cosαcosα2
＝2sinα.
法二：原式＝
1－tan2α2
tanα2
·
??
?
??
?
1＋
sinαsinα2
cosαcosα2
＝2tanα·
cosαcosα2＋sinαsinα2
cosαcosα2
＝2cosαsinα·
cosα2
cosα·cosα2
＝2sinα.
三角函数式的求值
典题导入
[例2](1)(2012·重庆高考)sin47°－sin17°cos30°cos17°＝()
A．－32B．－12
C.12D.32.
(2)已知α、β为锐角，sinα＝35，cos()α＋β＝－45，则2α＋β＝________.
[自主解答](1)原式＝sin?30°＋17°?－sin17°cos30°cos17°
＝sin30°cos17°＋cos30°sin17°－sin17°cos30°cos17°
＝sin30°cos17°cos17°＝sin30°＝12.
(2)∵sinα＝35，α∈????0，π2，
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∴cosα＝45，
∵cos(α＋β)＝－45，α＋β∈(0，π)，
∴sin(α＋β)＝35，
∴sin(2α＋β)＝sin[α＋(α＋β)]＝sinαcos(α＋β)＋cosαsin(α＋β)＝35×????－45＋45×35＝0.
又2α＋β∈????0，3π2.
∴2α＋β＝π.
[答案](1)C(2)π
由题悟法
三角函数求值有三类
(1)“给角求值”：一般所给出的角都是非特殊角，从表面上来看是很难的，但仔细观
察非特殊角与特殊角总有一定关系，解题时，要利用观察得到的关系，结合公式转化为特殊
角并且消除非特殊角的三角函数而得解．
(2)“给值求值”：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题
关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系．
(3)“给值求角”：实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的范围，
确定角．
以题试法
2．(2012·广州一测)已知函数f(x)＝tan????3x＋π4.
(1)求f????π9的值；
(2)设α∈????π，3π2，若f????α3＋π4＝2，求cos????α－π4的值．
解：(1)f????π9＝tan????π3＋π4＝
tanπ3＋tanπ4
1－tanπ3tanπ4
＝3＋11－3＝－2－3.
(2)因为f????α3＋π4＝tan????α＋3π4＋π4＝tan(α＋π)＝tanα＝2，
所以sinαcosα＝2，即sinα＝2cosα.①
又sin2α＋cos2α＝1，②
由①②解得cos2α＝15.
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因为α∈????π，3π2，所以cosα＝－55，sinα＝－255.
所以cos????α－π4＝cosαcosπ4＋sinαsinπ4＝－55×22＋????－255×22＝－31010.
三角恒等变换的综合应用
典题导入
[例3](2011·四川高考)已知函数f(x)＝sin????x＋7π4＋cos????x－3π4，x∈R.
(1)求f(x)的最小正周期和最小值；
(2)已知cos(β－α)＝45，cos(β＋α)＝－45，0＜α＜β≤π2，求证：[f(β)]2－2＝0.
[自主解答](1)∵f(x)＝sin????x＋7π4－2π＋cos????x－π4－π2
＝sin????x－π4＋sin????x－π4＝2sin????x－π4，
∴T＝2π，f(x)的最小值为－2.
(2)证明：由已知得cosβcosα＋sinβsinα＝45，
cosβcosα－sinβsinα＝－45.
两式相加得2cosβcosα＝0.
∵0＜α＜β≤π2，∴β＝π2.∴[f(β)]2－2＝4sin2π4－2＝0.
在本例条件不变情况下，求函数f(x)的零点的集合．
解：由(1)知f(x)＝2sin????x－π4，
∴sin????x－π4＝0，∴x－π4＝kπ(k∈Z)，
∴x＝kπ＋π4(k∈Z)．
故函数f(x)的零点的集合为??????x??x＝kπ＋π4，k∈Z.
由题悟法
三角变换的综合应用主要是将三角变换与三角函数的性质相结合，通过变换把函数化为
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y＝Asin(ωx＋φ)的形式再研究性质，解题时注意观察角、名、结构等特征，注意利用整体思
想解决相关问题．
以题试法
3．已知函数f(x)＝2cosxcos????x－π6－3sin2x＋sinxcosx.
(1)求f(x)的最小正周期；
(2)当α∈[0，π]时，若f(α)＝1，求α的值．
解：(1)因为f(x)＝2cosxcos????x－π6－3sin2x＋sinxcosx
＝3cos2x＋sinxcosx－3sin2x＋sinxcosx
＝3cos2x＋sin2x＝2sin????2x＋π3，
所以最小正周期T＝π.
(2)由f(α)＝1，得2sin????2α＋π3＝1，
又α∈[0，π]，所以2α＋π3∈????π3，7π3，
所以2α＋π3＝5π6或2α＋π3＝13π6，
故α＝π4或α＝11π12.
1．在△ABC中，tanB＝－2，tanC＝13，则A等于()
A.π4B.3π4
C.π3D.π6
解析：选AtanA＝tan[π－(B＋C)]
＝－tan(B＋C)＝－tanB＋tanC1－tanBtanC＝－
－2＋13
1－?－2?×13
＝1.故A＝π4.
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2.sin?180°＋2α?1＋cos2α·cos
2α
cos?90°＋α?等于()
A．－sinαB．－cosα
C．sinαD．cosα
解析：选D原式＝?－sin2α?·cos
2α
?1＋cos2α?·?－sinα?
＝2sinα·cosα·cos
2α
2cos2α·sinα＝cosα.
3．(2013·深圳调研)已知直线l:xtanα－y－3tanβ＝0的斜率为2，在y轴上的截距为1，
则tan(α＋β)＝()
A．－73B.73
C.57D．1
解析：选D依题意得，tanα＝2，－3tanβ＝1，
即tanβ＝－13，tan(α＋β)＝tanα＋tanβ1－tanαtanβ＝
2－13
1＋23
＝1.
4．(2012·山东高考)若θ∈????π4，π2，sin2θ＝378，则sinθ＝()
A.35B.45
C.74D.34
解析：选D因为θ∈????π4，π2，所以2θ∈????π2，π，
所以cos2θ<0，所以cos2θ＝－1－sin22θ＝－18.
又cos2θ＝1－2sin2θ＝－18，所以sin2θ＝916，
所以sinθ＝34.
5．(2012·河北质检)计算
tan????π4＋α·cos2α
2cos2????π4－α
的值为()
A．－2B．2
C．－1D．1
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解析：选D
tan????π4＋α·cos2α
2cos2????π4－α
＝
sin????π4＋α·cos2α
2sin2????π4＋αcos????π4＋α
＝cos2α
2sin????π4＋αcos????π4＋α
＝cos2α
sin2????π4＋α
＝cos2α
sin????π2＋2α
＝cos2αcos2α＝1.
6．定义运算??????abcd＝ad－bc.若cosα＝17，??????sinαsinβcosαcosβ＝3314，0<β<α<π2，则β等于
()
A.π12B.π6
C.π4D.π3
解析：选D依题意有sinαcosβ－cosαsinβ
＝sin(α－β)＝3314，
又0<β<α<π2，∴0<α－β<π2，
故cos(α－β)＝1－sin2?α－β?＝1314，
而cosα＝17，∴sinα＝437，
于是sinβ＝sin[α－(α－β)]
＝sinαcos(α－β)－cosαsin(α－β)
＝437×1314－17×3314＝32.
故β＝π3.
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7．若tan????π4－θ＝3，则cos2θ1＋sin2θ＝________.
解析：∵tan????π4－θ＝1－tanθ1＋tanθ＝3，
∴tanθ＝－12.
∴cos2θ1＋sin2θ＝cos
2θ－sin2θ
sin2θ＋2sinθcosθ＋cos2θ
＝1－tan
2θ
tan2θ＋2tanθ＋1＝
1－14
1
4－1＋1
＝3.
答案：3
8．若锐角α、β满足(1＋3tanα)(1＋3tanβ)＝4，则α＋β＝________.
解析：由(1＋3tanα)(1＋3tanβ)＝4，
可得tanα＋tanβ1－tanαtanβ＝3，即tan(α＋β)＝3.
又α＋β∈(0，π)，所以α＋β＝π3.
答案：π3
9．计算：cos10°＋3sin10°1－cos80°＝________.
解析：cos10°＋3sin10°1－cos80°
＝2?sin30°cos10°＋cos30°sin10°?2sin240°
＝2sin40°2sin40°＝2.
答案：2
10．已知函数f(x)＝sinx＋cosx，f′(x)是f(x)的导函数．
(1)求f′(x)及函数y＝f′(x)的最小正周期；
(2)当x∈????0，π2时，求函数F(x)＝f(x)f′(x)＋f2(x)的值域．
解：(1)由题意可知，f′(x)＝cosx－sinx＝－2·sin????x－π4，
所以y＝f′(x)的最小正周期为T＝2π.
(2)F(x)＝cos2x－sin2x＋1＋2sinxcosx
Gothedistance
＝1＋sin2x＋cos2x
＝1＋2sin????2x＋π4.
∵x∈????0，π2，∴2x＋π4∈????π4，5π4，
∴sin????2x＋π4∈????－22，1.
∴函数F(x)的值域为[0,1＋2]．
11．已知0<α<π2<β<π，tanα2＝12，cos(β－α)＝210.
(1)求sinα的值；
(2)求β的值．
解：(1)∵tanα2＝12，
∴tanα＝
2tanα2
1－tan2α2
＝
2×12
1－????122
＝43，
由
??
??
?sinαcosα＝43，
sin2α＋cos2α＝1，
解得sinα＝45????sinα＝－45舍去.
(2)由(1)知cosα＝1－sin2α
＝1－????452＝35，
又0<α<π2<β<π，∴β－α∈(0，π)，
而cos(β－α)＝210，
∴sin(β－α)＝1－cos2?β－α?＝1－????2102＝7210，
于是sinβ＝sin[α＋(β－α)]
＝sinαcos(β－α)＋cosαsin(β－α)
＝45×210＋35×7210＝22.
又β∈????π2，π，∴β＝3π4.
12．已知sin(2α＋β)＝3sinβ，设tanα＝x，tanβ＝y，记y＝f(x)．
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(1)求证：tan(α＋β)＝2tanα；
(2)求f(x)的解析式．
解：(1)证明：由sin(2α＋β)＝3sinβ，
得sin[(α＋β)＋α]＝3sin[(α＋β)－α]，
即sin(α＋β)cosα＋cos(α＋β)sinα＝3sin(α＋β)cosα－3cos(α＋β)sinα，
∴sin(α＋β)cosα＝2cos(α＋β)sinα.
∴tan(α＋β)＝2tanα.
(2)由(1)得tanα＋tanβ1－tanαtanβ＝2tanα，即x＋y1－xy＝2x，
∴y＝x1＋2x2，即f(x)＝x1＋2x2.
1．(2012·郑州质检)已知曲线y＝2sin????x＋π4cos????π4－x与直线y＝12相交，若在y轴右侧的
交点自左向右依次记为P1，P2，P3，…，则|15PP|等于()
A．πB．2π
C．3πD．4π
解析：选B注意到y＝2sin????x＋π4cos????π4－x＝2sin2????x＋π4＝1－cos2????x＋π4＝1＋sin2x，
又函数y＝1＋sin2x的最小正周期是2π2＝π，结合函数y＝1＋sin2x的图象(如图所示)可知，
|15PP|＝2π.
2.3－sin70°2－cos210°等于()
A.12B.22
C．2D.32
解析：选C3－sin70°2－cos210°＝3－cos20°2－cos210°
＝3－?2cos
210°－1?
2－cos210°＝
2?2－cos210°?
2－cos210°＝2.
Gothedistance
3．(2012·江西重点高中模拟)已知函数f(x)＝sin????2x＋π3＋sin????2x－π3＋3cos2x－m，若
f(x)的最大值为1.
(1)求m的值，并求f(x)的单调递增区间；
(2)在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若f(B)＝3－1，且3a＝b＋c，
试判断三角形的形状．
解：(1)f(x)＝2sin2x·cosπ3＋3cos2x－m＝sin2x＋3cos2x－m＝2sin????2x＋π3－m.
又f(x)max＝2－m，所以2－m＝1，得m＝1.
由－π2＋2kπ≤2x＋π3≤π2＋2kπ(k∈Z)
得到kπ－5π12≤x≤kπ＋π12(k∈Z)，
所以f(x)的单调递增区间为????kπ－5π12，kπ＋π12(k∈Z)．
(2)由f(B)＝3－1，得2sin????2B＋π3－1＝3－1，
所以B＝π6.
又3a＝b＋c，则3sinA＝sinB＋sinC，
3sinA＝12＋sin????5π6－A，即sin????A－π6＝12，
所以A＝π3，C＝π2，故△ABC为直角三角形．
1．求证：tanα＋1
tan????π4＋α2
＝1cosα.
证明：左边＝sinαcosα＋
cos????π4＋α2
sin????π4＋α2
＝
sinαsin????π4＋α2＋cosαcos????π4＋α2
cosαsin????π4＋α2
＝
cos????π4＋α2－α
cosαsin????π4＋α2
Gothedistance
＝
cos????π4－α2
cosαsin????π4＋α2
＝
sin????π4＋α2
cosαsin????π4＋α2
＝1cosα＝右边．
故原式得证．
2．已知f(x)＝????1＋1tanxsin2x－2sin????x＋π4·sin????x－π4.
(1)若tanα＝2，求f(α)的值；
(2)若x∈????π12，π2，求f(x)的取值范围．
解：(1)f(x)＝(sin2x＋sinxcosx)＋2sin????x＋π4·cos????x＋π4
＝1－cos2x2＋12sin2x＋sin????2x＋π2
＝12＋12(sin2x－cos2x)＋cos2x
＝12(sin2x＋cos2x)＋12.
由tanα＝2，
得sin2α＝2sinαcosαsin2α＋cos2α＝2tanαtan2α＋1＝45.
cos2α＝cos
2α－sin2α
sin2α＋cos2α＝
1－tan2α
1＋tan2α＝－
3
5.
所以f(α)＝12(sin2α＋cos2α)＋12＝35.
(2)由(1)得f(x)＝12(sin2x＋cos2x)＋12
＝22sin????2x＋π4＋12.
由x∈????π12，π2，得5π12≤2x＋π4≤54π.
故－22≤sin????2x＋π4≤1，则0≤f(x)≤2＋12，
所以f(x)的取值范围是??????0，2＋12.
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