Gothedistance
第七章立体几何
第1讲空间几何体的三视图、直观图、表面积与体积
一．知识梳理
1．空间几何体的结构特征
几何体底面侧面
多面体
棱柱互相平行
都是四边形，且相邻两个侧面的公
共边都平行且相等
棱锥是多边形都是有一个公共顶点的三角形
棱台
棱锥被平行于底面的平面所截，截面与底面之间的部分，
其上下底面是相似多边形
几何体旋转图形旋转轴
旋转体
圆柱矩形任意一边所在的直线
圆锥直角三角形一条直角边所在的直线
圆台直角梯形垂直于底边的腰所在的直线
球半圆直径所在的直线
2．三视图与直观图
（1）三视图：
①三视图：空间几何体在正投影下在投影面上留下的轮廓线．三视图包括
正视图、侧视图和俯视图．
②画法：长对正，高平齐，宽相等，即正俯一样长，正侧一样高，侧俯一
样宽．看不到的线画虚线．
（2）直观图：斜二测画法：
①原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直，直观图中''x轴与''y轴的夹角为45
（或135），''z轴与''x轴和''y轴所在平面垂直．
②原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍平行于坐标轴．平行于x轴
和z轴的线段在直观图中保持长度不变，平行于y轴的线段长度在直观图中变
为原来的一半．
3．柱、锥、台和球的表面积与体积
（1）圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式：
圆柱圆锥圆台
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侧面展开图
侧面积公式2Srl??圆柱侧Srl??圆锥侧''+Srrl??圆台侧（）
（2）柱、锥、台和球的表面积与体积：
名称
几何体
表面积体积
柱体（棱柱与圆柱）2SSS??表侧底VSh?
锥体（棱锥与圆锥）SSS??表侧底13VSh?
台体（棱台与圆台）SSSS???下表侧上1()3VSSSSh???
下下上上
球24SR??343VR??
二．要点整合
1．辨明三个易误点
（1）台体可以看成是由锥体截得的，但一定强调截面与底面平行．
（2）注意空间几何体的不同放置对三视图的影响．
（3）求组合体的表面积时，要注意几何体重叠部分的处理．
2．斜二测画法中的“三变”与“三不变”
①三变：坐标轴的夹角改变，与y轴平行的线段的长度变为原来的一半，
图形改变．
②三不变：平行性不变，与,xz轴平行的线段的长度不变，相对位置不变．
三．典例精析
1．空间几何体的结构特征
判断与空间几何体结构特征有关命题的方法
（1）紧扣结构特征是判断的关键，依据结构特征构建几何模型，变换模
型中的线面关系，然后判定．
（2）要说明一个命题是错误的，只要举出一个反例即可．
【例题1】
（1）下列说法正确的是（）
.A有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形的多面体是棱柱
.B四棱锥的四个侧面都可以是直角三角形
.C有两个面互相平行，其余各面都是梯形的多面体是棱台
.D棱台的各侧棱延长后不一定交于一点
（2）给出下列命题：①在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的
连线是圆柱的母线；②有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱
锥面；③直角三角形绕其任意一边所在直线旋转一周所形成的几何体都是圆锥；
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④棱台的上下底面可以不相似，但棱长一定相等．其中正确的命题的个数是
（）
.0A.1B.2C.3D
【变式1】
（1）下列说法中正确的是（）
.A棱柱的侧面中，至少有两个面互相平行
.B棱柱中两个互相平行的平面一定是棱柱的底面
.C棱柱中一条侧棱的长叫棱柱的高
.D棱柱的侧面是平行四边形，它的底面一定不是平行四边形
（2）给出下列四个命题：①有两个侧面是矩形的棱柱是直棱柱；②侧面都是
等腰三角形的棱柱是正棱锥；③侧面都是矩形的直四棱柱是长方体；④若有两
个侧面垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱．其中错误命题的序号是．
2．空间几何体的三视图与直观图
（1）由实物图画三视图，需注意“长对正，高平齐，宽相等”的原则．
（2）由三视图还原实物图：
【例题2】
（1）（2015山东济宁）点,MN分别是正方体1111ABCDABCD?的棱11AB，
11AD的中点，用过点,,AMN和点1,,DNC的两个截面截去正方体的两个角
后得到的几何体如图1所示，则该几何体的正视图、侧视图、俯视图依次为图2
中的（）
.A①②③.B②③④.C①③④.D②④③
（2）（2014课标Ⅰ）如图，网格纸的各小格都是正方形，粗实线画出的是一个
几何体的三视图，则这个几何体是（）
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.A三棱锥.B三棱柱.C四棱锥.D四棱柱
（3）（2013湖南）已知棱长为1的正方体的俯视图是一个面积为1的正方形，
则该正方形的主视图的面积不可能等于（）
.1A.2B21.2C?21.2D?
（4）如图，矩形''''''''OABC是水平放置的一个平面图形的直观图，其中
''''6OAcm?，''''2OCcm?，则原图形是（）
.A正方形.B矩形.C菱形.D一般的平行四边形
【变式2】
（1）（2015河南郑州）一个锥体的正视图和侧视图如图所示，下面选项中，不
可能是该锥体的俯视图的是（）
（2）（2013四川）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的直观图可以是
（）
（3）（2014课标Ⅰ）如图，网格纸的小正方形的边长为1，粗实线画出的是某
多面体的三视图，则在该多面体中，最长的棱的长度为（）
.62A.6B.42C.4D
（4）已知平面ABC的直观图''''''ABC是边长为a的正三角形，则原ABC的
面积为．
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3．空间几何体的表面积与体积
（1）求空间表面积的策略
①多面体：关键是找出其特征几何图形，如棱柱中的矩形，棱锥中的直角
三角形，棱台中的直角梯形等，它们是联系高与斜高、边长等几何元素的桥梁.
②旋转体：圆柱、圆锥、圆台的侧面是曲面，计算面积时需将曲面展为平
面计算．
（2）求空间几何体体积的策略
①公式法：若所给的几何体为柱体、锥体、台体，则直接利用公式求解．
②割补法：把不能直接计算体积的空间几何体分割或补形，转化为可计算
体积的几何体．
③还原法：求以三视图为背景的几何体的体积，应先根据三视图还原得到
直观图，然后再求解．
【例题3】
（1）（2015吉林长春）某几何体的三视图如图所示，则它的表面积是（）
15.22A???125.22B???.2(15)C???25.22D???
（2）（2014浙江）某几何体的三视图（单位：cm），则此几何体的表面积是
（）
2.90Acm2.129Bcm2.132Ccm2.138Dcm
（3）（2014辽宁）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）
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.82A??.8B??.82C??.84D??
（4）（2014天津）一个几何体的三视图如图所示（单位：m），则该几何体的
体积为3m
（5）（2014课标Ⅱ）正三棱柱111ABCABC?的底面边长为2，测棱长为3，
D为BC中点，则三棱锥111ABDC?的体积为（）
.3A3.2B.1C3.2D
【变式3】
（1）一个空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）
.48A.32817B?.48817C?.80D
（2）（2014安徽）一个多面体的三视图如图所示，则该多面体的表面积是（）
.213A?.183B?.21C.18D
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（3）（2015山西太原）一个几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几
何体的体积为（）
3.(32)4Acm??3.(32)2Bcm??3.(41)4Ccm??3.(41)2Dcm??
（4）已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）
8.3A?.3B?10.3C?.6D?
（5）如图，已知,EF分别是棱长为a的正方体1111ABCDABCD?的棱1AA，
1CC的中点，则四棱锥11CBEDF?的体积为．
（6）（2013江苏）如图，在三棱柱111ABCABC?中，,,DEF分别是AB，
1,ACAA的中点．设三棱锥FADE?的体积为1V，三棱柱111ABCABC?的体
积为2V，则12:VV?．
4．球的组合体
与球相关的切、接结论
（1）正方体的棱长为a，球的半径为R：①正方体的外接球，32aR?；
②正方体的内切球，2aR?；③球与正方体的各棱相切，22aR?．
（2）长方体的同一顶点的三条棱长分别为,,abc，外接球半径为R，则
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2222Rabc???.
（3）正四面体的外接球与内切球的半径之比为3:1．
【例题4】
（1）（2015河北唐山）如图，直三棱柱111ABCABC?的六个顶点都在半径为1
的半球面上，ABAC?，侧面11BCCB是半球底面圆的内接正方形，则侧面
11ABBA的面积是（）
.2A.1B.2C2.2D
（2）（2012课标全国）已知三棱锥SABC?的所有顶点都在球O的球面上，
ABC是边长为1的正三角形，SC为球O的直径，且2SC?，则此棱锥的体
积为（）
2.6A3.6B2.3C2.2D
（3）已知正三棱锥PABC?，点,,,PABC都在半径为3的球面上，若
,,PAPBPC两两互相垂直，则球心到截面ABC的距离为．
【变式4】
（1）（2013福建）已知某多面体内接于球构成简单组合体，若该组合体的正视
图、侧视图、俯视图均如图所示，且图中的四边形的边长为2的正方形，则该
球的表面积是．
（2）（2015吉林长春）若一个正四面体的表面积为1S，其内切球的表面积为2S，
则1
2
SS?．
（3）（2013辽宁）已知直三棱柱111ABCABC?的6个顶点都在球O的球面上，
若13,4,,12ABACABACAA????，则球O的半径为（）
317.2A.210B13.2C.310D
（4）（2013课标Ⅰ）如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高
8cm，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水
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深为6cm，若不计容器厚度，则球的体积为（）
3500.3Acm?3866.3Bcm?31372.3Ccm?32048.3Dcm?
四．针对训练
.A组基础训练
1．（2015山东青岛）将长方体截去一个四棱锥后，得到的几何体的直观图如图
所示，则该几何体的俯视图为（）
2．给出下列几个命题：①各侧面都是全等四边形的棱柱一定是正棱柱；②对
角面是全等矩形的六面体一定是长方体；③长方体一定是正四棱柱．其中正确
的命题个数是（）
.0A.1B.2C.3D
3．（2015安徽合肥）某空间几何体的三视图如图，则该几何体的表面积为（）
.1242A?.1882B?.28C.2082D?
4．（2014广东广州）一个球的表面积为1S，它的内接正方体的表面积为2S，
则1
2
SS的值等于（）
2.A?6.B?.6C?.2D?
5．（2015云南昆明）如图，三棱锥VABC?的底面为正三角形，侧面VAC与
底面垂直，且VAVC?，已知其正视图的面积为23，则其侧视图的面积为（）
3.2A3.3B3.4C3.6D
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6．（2015湖北荆州）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）
2.3A?.B?4.3C?.2D?
7．已知某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的各个侧面图形中，是
直角三角形的有个．
8．（2014山东）一个六棱锥的体积为23，其底面是边长为2的正六边形，
侧棱长都相等，则六棱锥的侧面积为．
9．（2014北京）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥最长棱的棱长为．
10．（2014江苏）设甲乙两个圆柱的底面积分别为12,SS，体积分别为12,VV，
且1
2
94SS?，则1
2
VV的值为．
11．（2015浙江杭州）如图，在四边形ABCD中，90,135DACADC????，
5AB?，22,2CDAD??，求四边形ABCD绕AD旋转一周所组成几何
体的表面积和体积．
12．一个几何体的三视图如图所示，已知正视图是底边长为1的平行四边形，
侧视图是一个长为3、宽为1的矩形，俯视图为两个边长为1的正方形拼成的
矩形．
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（Ⅰ）求该几何体的体积V；
（Ⅱ）求该几何体的表面积S．
.B组能力提升
1．（2014大纲全国）正四棱锥的顶点都在同一个球面上，若该四棱锥的高为4，
底面边长为2，则该球的表面积为（）
81.4A?.16B?.9C?27.4D?
2．在四棱锥EABCD?中，底面ABCD为梯形，,23,ABCDABCDM?∥
为AE的中点，设EABCD?的体积为V，则三棱锥MEBC?的体积为（）
2.5AV1.3BV2.3CV3.10DV
3．如图，在多面体ABCDEF中，已知ABCD是边长为1的正方形，且ADE，
BCF均为正三角形，,2EFABEF?∥，则该多面体的体积为（）
2.3A3.3B4.3C3.2D
4．（2010课标Ⅰ）已知半径为2的球面上有,,,ABCD四点，若2ABCD??，
则四面体ABCD的体积的最大值为（）
23.3A43.3B.23C83.3D
5．如图，正方体1111ABCDABCD?的棱长为1，线段11BD上有两个动点,EF，
且1EF?，则四面体AEFB?的体积等于．
6．（2013课标Ⅰ）已知H是球O的直径AB上一点，:1:2AHHB?，AB?
平面?，H为垂足，?截球O所得截面的面积为?，则球O的面积为．
7．如图，在三棱锥DABC?中，已知,2,6BCADBCAD???，ABBD??
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10ACCD??，则三棱锥DABC?的体积的最大值为．
8．如图，在平行四边形ABCD中，2,BCBDCD??，四边形ADEF为正
方形，平面ADEF?平面ABCD．记,()CDxVx?表示四棱锥FABCD?的
体积．
（Ⅰ）求()Vx的表达式；
（Ⅱ）求()Vx的最大值．
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