Gothedistance
训练2经典小题强化练
内容：三角函数、平面向量、解三角形
一、选择题
1．(2013·课标全国Ⅱ改编)设θ为第二象限角，若tan????θ＋π4＝12，则sinθ＋cosθ等于()
A．－105B.105C.255D．－255
答案A
解析∵tan????θ＋π4＝12，∴tanθ＝－13，
即
??
??
?3sinθ＝－cosθ，
sin2θ＋cos2θ＝1，且θ为第二象限角，
解得sinθ＝1010，cosθ＝－31010.
∴sinθ＋cosθ＝－105.
2．在平行四边形ABCD中，AC为一条对角线，AB→＝(2,4)，AC→＝(1,3)，则BD→等于()
A．(－3，－5)B．(3,5)
C．(2,4)D．(－2，－4)
答案A
解析BC→＝AC→－AB→＝(－1，－1)，BD→＝BC→－AB→＝(－3，－5)，故选A.
3．已知向量a＝(2,3)，b＝(－4,7)，则a在b方向上的投影为()
A.13B.135C.65D.655
答案D
解析依题意得，向量a在b方向上的投影为a·b|b|＝2×?－4?＋3×7?－4?2＋72＝655，故选D.
4．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c.若a2－b2＝3bc，sinC＝23sinB，
则A等于()
A．30°B．60°C．120°D．150°
答案A
解析根据正弦定理及sinC＝23sinB得c＝23b.
因为cosA＝b
2＋c2－a2
2bc＝
c2－?a2－b2?
2bc＝
c2－3bc
2bc＝
3
2，
所以A＝30°.
5．已知A、B、C是圆O：x2＋y2＝1上三点，OA→＋OB→＝OC→，则AB→·OA→等于()
A.32B．－32C．－32D.12
答案C
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解析∵OA→＋OB→＝OC→，
∴OA→2＋OB→2＋2OA→·OB→＝OC→2，
∴OA→·OB→＝－12，
∴AB→·OA→＝(OB→－OA→)·OA→＝OA→·OB→－OA→2＝－32.
6．(2012·浙江)把函数y＝cos2x＋1的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不
变)，然后向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到的图象是()
答案A
解析变换后的三角函数为y＝cos(x＋1)，结合四个选项可得A正确．
7．在△ABC中，若AB→2＝AB→·AC→＋BA→·BC→＋CA→·CB→，则△ABC是()
A．等边三角形B．锐角三角形
C．钝角三角形D．直角三角形
答案D
解析∵AB→2＝AB→·AC→＋BA→·BC→＋CA→·CB→，
AB→2－AB→·AC→＝BA→·BC→＋CA→·CB→，
即AB→·CB→＝BA→·BC→＋CA→·CB→，
∴CA→·CB→＝0，
∴∠C＝90°，即△ABC是直角三角形．
8．当x＝π4时，函数f(x)＝Asin(x＋φ)(A>0)取得最小值，则函数y＝f????3π4－x是()
A．奇函数且图象关于点????π2，0对称
B．偶函数且图象关于点(π，0)对称
C．奇函数且图象关于直线x＝π2对称
D．偶函数且图象关于点????π2，0对称
答案C
解析由题意得，sin????π4＋φ＝－1，
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∴φ可取－3π4.
∴f????3π4－x＝Asin????3π4－x－3π4＝－Asinx，
∴选C.
9．已知函数f(x)＝(cos2xcosx＋sin2xsinx)sinx，x∈R，则f(x)是()
A．最小正周期为π的奇函数
B．最小正周期为π的偶函数
C．最小正周期为π2的奇函数
D．最小正周期为π2的偶函数
答案A
解析f(x)＝12sin2xcos2x＋sin2x????1－cos2x2
＝12sin2xcos2x－12sin2xcos2x＋12sin2x
＝12sin2x，
故f(x)的最小正周期为π，又是奇函数．
10．若函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<π2)在一个周期内的图象如图所示，M，N分别是
这段图象的最高点与最低点，且OM→·ON→＝0，则A·ω等于()
A.π6B.7π12
C.76πD.73π
答案C
解析由题中图象知T4＝π3－π12＝π4，
∴T＝π，∴ω＝2.
又知M????π12，A，N????712π，－A，
由OM→·ON→＝0，得7π
2
122＝A
2，
∴A＝712π，∴A·ω＝76π.
故选C.
11．若方程sin2x＋2sinx＋a＝0有解，则实数a的取值范围是()
A．[－3,1]B．(－∞，1]
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C．[1，＋∞)D．[－1,1]
答案A
解析令f(x)＝sin2x＋2sinx，则f(x)的值域是[－1,3]，因为方程sin2x＋2sinx＋a＝0一
定有解，所以－1≤－a≤3，∴－3≤a≤1.
12．动点A(x，y)在圆x2＋y2＝1上绕坐标原点沿逆时针方向匀速旋转，12秒旋转一周．已
知时间t＝0时，点A的坐标是????12，32，则当0≤t≤12时，动点A的纵坐标y关于t(单
位：秒)的函数的单调递增区间是
()
A．[0,1]B．[1,7]
C．[7,12]D．[0,1]和[7,12]
答案D
解析∵T＝12，∴ω＝π6，
又∵t＝0时，y＝32，∴φ＝π3，∴y＝sin????π6t＋π3，
令2kπ－π2≤π6t＋π3≤2kπ＋π2，
即12k－5≤t≤12k＋1，k∈Z时，y递增．
∵0≤t≤12，
∴函数y的单调递增区间是[0,1]和[7,12]．
二、填空题
13．已知函数f(x)＝
??
??
?2cosπ3x，x≤2000，
x－12，x>2000，
则f[f(2012)]＝________.
答案－1
解析∵2012>2000，
∴f[f(2012)]＝f(2000)．
∴f(2000)＝2cos2000π3＝2cos2π3＝－1.
14．在边长为1的正三角形ABC中，设BC→＝2BD→，CA→＝3CE→，则AD→·BE→＝________.
答案－14
解析设BC→＝a，AB→＝b，则AD→＝AB→＋BD→＝b＋12a，
BE→＝BC→＋CE→＝BC→＋13CA→＝23a－13b，
且a·b＝cos120°＝－12，
所以AD→·BE→＝????b＋12a·????23a－13b
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＝13a2－13b2＋12a·b＝－14.
15．如图，在△ABC中，D是边AC上的点，且AB＝AD,2AB＝3BD，BC＝2BD，则sinC
的值为______．
答案66
解析设AB＝a，则AD＝a，BD＝2a3，BC＝2BD＝4a3，
cosA＝AB
2＋AD2－BD2
2AB·AD＝
2a2－43a2
2a2＝
1
3，
∴sinA＝1－cos2A＝223.
由正弦定理知sinC＝ABBC·sinA＝34×223＝66.
16．已知函数f(x)＝sin????2x＋3π2(x∈R)，给出下面四个命题：
①函数f(x)的最小正周期为π；②函数f(x)是偶函数；③函数f(x)的图象关于直线x＝π4对
称；④函数f(x)在区间????0，π2上是增函数．
其中正确的命题是________．
答案①②④
解析函数f(x)＝sin????2x＋3π2＝－cos2x，则其最小正周期为π，故①正确；由①易知函
数f(x)是偶函数，②正确；由f(x)＝－cos2x的图象可知，函数f(x)的图象关于直线x＝π4
不对称，③错误；由f(x)的图象易知函数f(x)在????0，π2上是增函数，故④正确．
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