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| 第三章 3 |
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A组专项基础训练练出高分12345689107－2或2A组专项基础训练练出高分12345679108－13A组专项基础训练练出高分12345678109A组专项基础训练练出高分12345678109A组专项基础训练练出高分12345678109A组专项基础训练练出高分12345678910A组专项基础训练练出高分12345678910A组专项基础训练练出高分12345678910B组专项能力提升练出高分12345B组专项能力提升练出高分23451DB组专项能力提升练出高分13452题型分类·深度剖析题型三生活中的优化问题思维启迪解析答案思维升华题型分类·深度剖析题型三生活中的优化问题思维启迪解析答案思维升华题型分类·深度剖析题型三生活中的优化问题思维启迪解析答案思维升华题型分类·深度剖析题型三生活中的优化问题思维启迪解析答案思维升华题型分类·深度剖析题型分类·深度剖析题型分类·深度剖析题型分类·深度剖析审题路线图系列2二审结论会转换题型分类·深度剖析审题路线图规范解答温馨提醒题型分类·深度剖析审题路线图审题路线图系列2二审结论会转换审题路线图规范解答温馨提醒题型分类·深度剖析审题路线图审题路线图系列2二审结论会转换审题路线图规范解答温馨提醒题型分类·深度剖析审题路线图审题路线图系列2二审结论会转换审题路线图规范解答温馨提醒题型分类·深度剖析审题路线图审题路线图系列2二审结论会转换审题路线图规范解答温馨提醒题型分类·深度剖析审题路线图审题路线图系列2二审结论会转换审题路线图规范解答温馨提醒题型分类·深度剖析审题路线图系列2二审结论会转换审题路线图规范解答温馨提醒1分2分3分题型分类·深度剖析4分审题路线图系列2二审结论会转换审题路线图规范解答温馨提醒5分6分7分题型分类·深度剖析审题路线图系列2二审结论会转换审题路线图规范解答温馨提醒9分题型分类·深度剖析审题路线图系列2二审结论会转换审题路线图规范解答温馨提醒题型分类·深度剖析11分12分审题路线图系列2二审结论会转换审题路线图规范解答温馨提醒题型分类·深度剖析题型分类·深度剖析审题路线图系列2二审结论会转换审题路线图规范解答温馨提醒题型分类·深度剖析题型分类·深度剖析审题路线图系列2二审结论会转换审题路线图规范解答温馨提醒方法与技巧思想方法·感悟提高失误与防范思想方法·感悟提高练出高分A组专项基础训练12345678910A组专项基础训练练出高分23456789101AA组专项基础训练练出高分13456789102BA组专项基础训练练出高分12456789103BA组专项基础训练练出高分12356789104DA组专项基础训练练出高分12346789105A组专项基础训练练出高分12346789105DA组专项基础训练练出高分12345789106A组专项基础训练练出高分123457891064基础知识题型分类思想方法练出高分基础知识题型分类思想方法练出高分基础知识题型分类思想方法练出高分基础知识题型分类思想方法练出高分基础知识题型分类思想方法练出高分§3.3导数的综合应用数学北（理）第三章导数及其应用知识回顾理清教材要点梳理基础知识·自主学习知识回顾理清教材要点梳理基础知识·自主学习解析答案题号34521D(－2,2)基础知识·自主学习D夯实基础突破疑难夯基释疑夯基释疑返回题型分类·深度剖析题型一利用导数证明不等式思维启迪解析思维升华题型分类·深度剖析思维启迪解析思维升华题型一利用导数证明不等式题型分类·深度剖析思维启迪解析思维升华题型一利用导数证明不等式题型分类·深度剖析思维启迪解析思维升华题型一利用导数证明不等式题型分类·深度剖析思维启迪解析思维升华题型一利用导数证明不等式题型分类·深度剖析思维启迪解析思维升华题型一利用导数证明不等式题型分类·深度剖析思维启迪解析思维升华题型一利用导数证明不等式题型分类·深度剖析题型分类·深度剖析题型二利用导数求参数的取值范围思维启迪解析思维升华题型分类·深度剖析思维启迪解析思维升华题型二利用导数求参数的取值范围题型分类·深度剖析思维启迪解析思维升华题型二利用导数求参数的取值范围题型分类·深度剖析思维启迪解析思维升华题型二利用导数求参数的取值范围题型分类·深度剖析思维启迪解析思维升华题型二利用导数求参数的取值范围题型分类·深度剖析思维启迪解析思维升华题型二利用导数求参数的取值范围题型分类·深度剖析思维启迪解析思维升华题型二利用导数求参数的取值范围题型分类·深度剖析思维启迪解析思维升华题型二利用导数求参数的取值范围题型分类·深度剖析题型分类·深度剖析题型分类·深度剖析题型三生活中的优化问题思维启迪解析答案思维升华题型分类·深度剖析题型三生活中的优化问题思维启迪解析答案思维升华题型分类·深度剖析题型三生活中的优化问题思维启迪解析答案思维升华1．利用导数解决生活中的优化问题的一般步骤
(1)分析实际问题中各量之间的关系，列出实际问题的数学模型，写出实际问题中变量之间的函数关系式y＝f(x)；
(2)求函数的导数f′(x)，解方程f′(x)＝0；
(3)比较函数在区间端点和f′(x)＝0的点的函数值的大小，最大(小)者为最大(小)值；
(4)回归实际问题作答．
1．已知y＝f(x)是奇函数，当x∈(0,2)时，f(x)＝lnx－ax(a>)，当x∈(－2,0)时，f(x)的最小值为1，则a等于()
A．B．C．D．1
2．不等式问题
(1)证明不等式时，可构造函数，将问题转化为函数的极值或最值问题．
(2)求解不等式恒成立问题时，可以考虑将参数分离出来，将参数范围问题转化为研究新函数的值域问题．
f(a)
(1)√(2)√(3)×(4)×(5)×(6)×
A错，因为极大值未必是最大值．
B错，因为函数y＝f(x)与函数y＝f(－x)的图像关于y轴对称，－x0应是f(－x)的极大值点．
【例1】已知定义在正实数集上的函数f(x)＝x2＋2ax，g(x)＝3a2lnx＋b，其中a>0.设两曲线y＝f(x)，y＝g(x)有公共点，且在该点处的切线相同．
(1)用a表示b，并求b的最大值；
(2)求证：f(x)≥g(x)(x>0)．
(1)设公共点为(x0，y0)，则f(x0)＝g(x0)且f′(x0)＝g′(x0)可得a，b的关系；
(1)解设两曲线的公共点为(x0，y0)，
f′(x)＝x＋2a，g′(x)＝，
利用导数证明不等式的步骤
(1)构造新函数，并求其单调区间；
跟踪训练1当0x＋.
证明设f(x)＝tanx－，
(2)判断区间端点函数值与0的关系；
(3)判断定义域内函数值与0的大小关系，证不等式．
【例2】已知函数f(x)＝(a∈R)，g(x)＝.
(1)求f(x)的单调区间与极值；
(2)若函数f(x)的图像与函数g(x)的图像在区间(0，e2]上有公共点，求实数a的取值范围．
(1)解f′(x)＝0，根据函数值的变化得到单调区间、极值；
解(1)函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，
f′(x)＝.
函数零点或函数图像交点问题的求解，一般利用导数研究函数的单调性、极值等性质，并借助函数图像，根据零点或图像的交点情况，建立含参数的方程(或不等式)组求解，实现形与数的和谐统一．
跟踪训练2已知函数f(x)＝x3－3ax－1，a≠0.
(1)求f(x)的单调区间；
(2)若f(x)在x＝－1处取得极值，直线y＝m与y＝f(x)的图像有三个不同的交点，求m的取值范围．
解(1)f′(x)＝3x2－3a＝3(x2－a)，
【例3】某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y(单位：千克)与销售价格x(单位：元/千克)满足关系式y＝＋10(x－6)2，其中3
(1)求a的值；
(2)若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格x的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大．
(1)由x＝5时y＝11求a；
答当销售价格为4元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大．
跟踪训练3某创业投资公司拟投资开发某种新能源产品，估计能获得10万元～1000万元的投资收益．现准备制订一个对科研课题组的奖励方案：奖金y(万元)随投资收益x(万元)的增加而增加，且资金不超过9万元，同时奖金不超过投资收益的20%.
(1)若建立函数f(x)模型制订奖励方案，试用数学语言表述公司对奖励函数f(x)模型的基本要求；
(2)现有两个奖励函数模型：
①y＝＋2；
②y＝4lgx－3.
试分析这两个函数模型是否符合公司要求？
典例：(12分)已知函数f(x)＝x2＋alnx.
(1)若a＝－1，求函数f(x)的极值，并指出是极大值还是极小值；
(2)若a＝1，求函数f(x)在[1，e]上的最大值和最小值；
(3)若a＝1，求证：在区间[1，＋∞)上，函数f(x)的图像在函数g(x)＝x3的图像的下方．
1．利用导数解决含有参数的单调性问题是将问题转化为不等式恒成立问题，要注意分类讨论和数形结合思想的应用．
2．在实际问题中，如果函数在区间内只有一个极值点，那么只要根据实际意义判定是最大值还是最小值即可，不必再与端点的函数值比较．
1．函数f(x)在某个区间内单调递增，则f′(x)≥0而不是f′(x)>0(f′(x)＝0在有限个点处取到)．
2．利用导数解决实际生活中的优化问题，要注意问题的实际意义．
10．统计表明，某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量y(升)关于行驶速度x(千米/小时)的函数解析式可以表示为y＝x3－x＋8(0
(1)当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地要耗油多少升？
(2)当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少为多少升？
1．在R上可导的函数f(x)的图像如图所示，则关于x的不等式x·f′(x)<0的解集为()
A．(－∞，－1)∪(0,1)
B．(－1,0)∪(1，＋∞)
C．(－2，－1)∪(1,2)
D．(－∞，－2)∪(2，＋∞)
2．已知函数f(x)的定义域为R，其导函数f′(x)的
图像如图所示，则对于任意x1，x2∈R(x1≠x2)，下列结论正确的是()
①f(x)<0恒成立；
②(x1－x2)·[f(x1)－f(x2)]<0；
③(x1－x2)·[f(x1)－f(x2)]>0；
④f()>；
⑤f()<.
A．①③B．①③④C．②④D．②⑤
5．已知函数f(x)＝2lnx－ax＋a(a∈R)．
(1)讨论f(x)的单调性；
(2)若f(x)≤0恒成立，证明：当0
由题意知f(x0)＝g(x0)，f′(x0)＝g′(x0)，
即
则f′(x)＝－1－x2＝tan2x－x2＝(tanx－x)(tanx＋x)．
因为0
(2)构造函数F(x)＝f(x)－g(x)，通过F(x)的单调性和函数值的变化研究f(x)、g(x)的交点情况．
令f′(x)＝0，得x＝e1－a，
当x∈(0，e1－a)时，f′(x)>0，f(x)是增函数；
当a<0时，对x∈R，有f′(x)>0，
(2)建立商场每日销售该商品所获利润和售价x的函数关系，利用导数求最值．
解(1)因为x＝5时，y＝11，
(2)由(1)可知，该商品每日的销售量y＝＋10(x－6)2.
(1)导数法是求解函数单调性、极值、最值、参数等问题的有效方法，应用导数求单调区间关键是求解不等式的解集；最值问题关键在于比较极值与端点函数值的大小；参数问题涉及的有
4．若函数f(x)＝(a>0)在[1，＋∞)上的最大值为，则a的值为()
A．B．C．＋1D．－1
5．某公司生产某种产品，固定成本为20000元，每生产一单位产品，成本增加100元，已知总营业收入R与年产量x的年关系是R＝R(x)＝则总利润最大时，每年生产的产量是()
A．100 B．150C．200D．300
6．设函数f(x)＝kx3－3x＋1(x∈R)，若对于任意x∈[－1,1]，都有f(x)≥0成立，则实数k的值为________．
7．已知函数y＝x3－3x＋c的图像与x轴恰有两个公共点，则c＝________.
(2)构造函数F(x)＝f(x)－g(x)，求F(x)的最值．
即有b＝a2＋2a2－3a2lna＝a2－3a2lna.
令h(t)＝t2－3t2lnt(t>0)，则h′(t)＝2t(1－3lnt)．
于是当t(1－3lnt)>0，即00；
当t(1－3lnt)<0，即t>e时，h′(t)<0.
故h(t)在(0，e)上为增函数，在(e，＋∞)上为减函数，
于是h(t)在(0，＋∞)上的最大值为h(e)＝e，
即b的最大值为e.
(2)证明设F(x)＝f(x)－g(x)＝x2＋2ax－3a2lnx－b(x>0)，
则F′(x)＝x＋2a－＝(x>0)．
故F(x)在(0，a)上为减函数，在(a，＋∞)上为增函数．
所以f′(x)>0，
即x∈时，f(x)为增函数．
当x∈(e1－a，＋∞)时，f′(x)<0，f(x)是减函数．
所以函数f(x)的单调递增区间为(0，e1－a]，
单调递减区间为[e1－a，＋∞)，
极大值为f(x)极大值＝f(e1－a)＝ea－1，无极小值．
(2)令F(x)＝f(x)－g(x)＝，
则F′(x)＝.
令F′(x)＝0，得x＝e2－a；令F′(x)>0，得x
令F′(x)<0，得x>e2－a，
故函数F(x)在区间(0，e2－a]上是增函数，
在区间[e2－a，＋∞)上是减函数．
①当e2－a0时，
当e1－a0，
∴当a<0时，f(x)的单调增区间为(－∞，＋∞)．
当a>0时，由f′(x)>0，
所以商场每日销售该商品所获得的利润
f(x)＝(x－3)[＋10(x－6)2]
＝2＋10(x－3)(x－6)2,3
从而，f′(x)＝10[(x－6)2＋2(x－3)(x－6)]
＝30(x－4)(x－6)．
于是，当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x (3,4) 4 (4,6) f′(x) ＋ 0 － f(x) 单调递增 极大值42 单调递减
由上表可得，x＝4是函数f(x)在区间(3,6)内的极大值点，也是最大值点．
所以，当x＝4时，函数f(x)取得最大值，且最大值等于42.
当x>1时，F′(x)<0，
即f(x)
因此，当a＝1时，在区间[1，＋)上，函数f(x)的图像在函数g(x)图像的下方．
2．已知函数f(x)＝x2＋mx＋lnx是单调递增函数，则m的取值范围是()
A．m>－2B．m≥－2
C．m<2D．m≤2
又P′(x)＝
令P′(x)＝0，得x＝300，易知x＝300时，总利润P(x)最大．
8．已知函数f(x)＝－x3＋ax2－4在x＝2处取得极值，若m、n∈[－1,1]，则f(m)＋f′(n)的最小值是________．
9．设a为实数，函数f(x)＝ex－2x＋2a，x∈R.
(1)求f(x)的单调区间与极值；
(2)求证：当a>ln2－1且x>0时，ex>x2－2ax＋1.
3．已知f(x)＝xex，g(x)＝－(x＋1)2＋a，若存在x1，x2∈R，使得f(x2)≤g(x1)成立，则实数a的取值范围是___________．
4．已知f(x)＝ax－lnx，x∈(0，e]，g(x)＝，其中e是自然常数，a∈R.
(1)讨论a＝1时，函数f(x)的单调性和极值；
(2)求证：在(1)的条件下，f(x)>g(x)＋；
(3)是否存在正实数a，使f(x)的最小值是3？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由．
由图像，易知当0
若F(x)max＝F(e2)＝≥0，即－1≤a≤0时，
函数f(x)的图像与函数g(x)的图像在区间(0，e2]上只有1个公共点；
在求实际问题中的最大值或最小值时，一般先设自变量、因变量、建立函数关系式，并确定其定义域，利用求函数最值的方法求解，注意结果应与实际情况相符合．用导数求解实际问题中的最大(小)值，如果函数在区间内只有一个极值点，那么根据实际意义该极值点就是最值点．
求f(x)在[1，e]上的单调性
↓(转化为求函数值)
↓(构造函数进行转化)
F(x)＝f(x)－g(x)
↓(将图的上、下关系转化为数量关系)
当x∈(1，＋∞)时，函数f(x)单调递增，
(1)解由于函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，
所以f(x)在x＝1处取得极小值为.
(2)解当a＝1时，易知函数f(x)在[1，e]上为增函数，
(3)证明设F(x)＝f(x)－g(x)＝x2＋lnx－x3，
故f(x)在区间[1，＋∞)上是减函数，
最值恒成立的问题、单调性的逆向应用等，求解时注意分类讨论思想的应用．
(2)对于一些复杂问题，要善于将问题转化，转化成能用熟知的导数研究问题．
解析由f(x)的图像知，当x<－1或x>1时，f′(x)>0；
当－1
∴x·f′(x)<0的解集是(－∞，－1)∪(0,1)．
解析依题意知，x>0，f′(x)＝，
令g(x)＝2x2＋mx＋1，x∈(0，＋∞)，
当－≤0时，g(0)＝1>0恒成立，∴m≥0成立，
当－>0时，则Δ＝m2－8≤0，∴－2≤m<0，
综上，m的取值范围是m≥－2.
解析∵f′(x)＝3x2＋2ax＋(a＋6)，
由已知可得f′(x)＝0有两个不相等的实根．
∴Δ＝4a2－4×3(a＋6)>0，即a2－3a－18>0.
解析f′(x)＝＝，
当x>时，f′(x)<0，f(x)单调递减，
当－0，f(x)单调递增，
当x＝时，令f(x)＝＝，＝<1，不合题意．
∴f(x)max＝f(1)＝＝，a＝－1，故选D.
解析由题意得，总成本函数为C＝C(x)＝20000＋100x，
总利润P(x)＝
解析若x＝0，则不论k取何值，f(x)≥0都成立；
当x>0，即x∈(0,1]时，
f(x)＝kx3－3x＋1≥0可化为k≥－.
设g(x)＝－，则g′(x)＝，
解析设f(x)＝x3－3x＋c，对f(x)求导可得，
f′(x)＝3x2－3，
令f′(x)＝0，可得x＝±1，
易知f(x)在(－∞，－1)，(1，＋∞)上单调递增，在(－1,1)上单调递减．
若f(1)＝1－3＋c＝0，可得c＝2；
解析对函数f(x)求导得f′(x)＝－3x2＋2ax，
由函数f(x)在x＝2处取得极值知f′(2)＝0，
即－3×4＋2a×2＝0，∴a＝3.
由此可得f(x)＝－x3＋3x2－4，f′(x)＝－3x2＋6x，
易知f(x)在(－1,0)上单调递减，在(0,1)上单调递增，
∴当m∈[－1,1]时，f(m)min＝f(0)＝－4.
(1)解由f(x)＝ex－2x＋2a，x∈R知f′(x)＝ex－2，x∈R.
于是当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
令f′(x)＝0，得x＝ln2.
解析∵f(x)是奇函数，∴f(x)在(0,2)上的最大值为－1.
当x∈(0,2)时，f′(x)＝－a，令f′(x)＝0得x＝，
又a>，∴0<<2.
解析f′(x)＝ex＋xex＝ex(1＋x)
当x>－1时，f′(x)>0，函数f(x)单调递增；
当x<－1时，f′(x)<0，函数f(x)单调递减．
所以函数f(x)的最小值为f(－1)＝－.
[－，＋∞)
(1)解f′(x)＝，x>0.
若a≤0，f′(x)>0，f(x)在(0，＋∞)上单调递增；
若a>0，当x∈(0，)时，f′(x)>0，f(x)单调递增；
所以＋10＝11，a＝2.
C错，函数y＝f(x)与函数y＝－f(x)的图像关于x轴对称，x0应为－f(x)的极小值点．
D对，函数y＝f(x)与y＝－f(－x)的图像关于原点对称，－x0应为y＝－f(－x)的极小值点．
由x0＋2a＝，得x0＝a或x0＝－3a(舍去)．
于是F(x)在(0，＋∞)上的最小值是F(a)＝F(x0)＝f(x0)－g(x0)＝0.
故当x>0时，有f(x)－g(x)≥0，
即当x>0时，f(x)≥g(x)．
所以x∈时，f(x)>f(0)．
而f(0)＝0，所以f(x)>0，即tanx－>0.
故tanx>x＋.
函数F(x)在区间(0，e2－a]上是增函数，
在区间[e2－a，e2]上是减函数，F(x)max＝F(e2－a)＝ea－2.
又F(e1－a)＝0，F(e2)＝>0，
此时函数f(x)的图像与函数g(x)的图像在区间(0，e2]上有1个公共点．
②当e2－a≥e2，即a≤0时，F(x)在区间(0，e2]上是增函数，
F(x)max＝F(e2)＝.
若F(x)max＝F(e2)＝<0，即a<－1时，
函数f(x)的图像与函数g(x)的图像在区间(0，e2]上没有公共点．
综上，满足条件的实数a的取值范围是[－1，＋∞)．
解得x<－或x>.
由f′(x)<0，解得－
∴当a>0时，f(x)的单调增区间为(－∞，－)，(，＋∞)，单调减区间为(－，)．
(2)∵f(x)在x＝－1处取得极值，
∴f′(－1)＝3×(－1)2－3a＝0，
∴a＝1.
∴f(x)＝x3－3x－1，f′(x)＝3x2－3，
由f′(x)＝0，解得x1＝－1，x2＝1.
由(1)中f(x)的单调性可知，f(x)在x＝－1处取得极大值f(－1)＝1，
在x＝1处取得极小值f(1)＝－3.
∵直线y＝m与函数y＝f(x)的图像有三个不同的交点，结合如图所示f(x)的图像可知：
实数m的取值范围是(－3,1)．
解(1)设奖励函数模型为y＝f(x)，
所以[]max＝＋>.
设g(x)＝4lgx－3－，则g′(x)＝－.
则公司对函数模型的基本要求是
当x∈[10,1000]时，f(x)是增函数，f(x)≤9恒成立，
f(x)≤恒成立．
(2)①对于函数模型f(x)＝＋2，
当x∈[10,1000]时，f(x)是增函数，
则f(x)max＝f(1000)＝＋2＝<9.
所以f(x)≤9恒成立．
因为函数＝＋在[10,1000]上是减函数，
从而＝＋≤不恒成立，即f(x)≤不恒成立．
故该函数模型不符合公司要求．
②对于函数模型f(x)＝4lgx－3，
当x∈[10,1000]时，f(x)是增函数，
则f(x)max＝f(1000)＝4lg1000－3＝9.
所以f(x)≤9恒成立．
当x≥10时，g′(x)＝－≤<0，
所以g(x)在[10,1000]上是减函数，
从而g(x)≤g(10)＝－1<0.
所以4lgx－3－<0，即4lgx－3<，
所以f(x)≤恒成立．
故该函数模型符合公司要求．
求f(x)的极值
(从结论出发向条件转化注意隐含条件——定义域)
求f′(x)＝0的解，即f(x)的极值点
↓(转化为求函数值)
将极值点代入f(x)求对应的极大、极小值
↓(转化为研究单调性)
求证F(x)<0在[1，＋∞)上恒成立．
↓研究函数F(x)在[1，＋∞)上的单调性．
当a＝－1时，f′(x)＝x－＝，
令f′(x)＝0得x＝1或x＝－1(舍去)，
当x∈(0,1)时，函数f(x)单调递减，
∴f(x)min＝f(1)＝，f(x)max＝f(e)＝e2＋1.
则F′(x)＝x＋－2x2＝，
又F(1)＝－<0，
∴在区间[1，＋∞)上，F(x)<0恒成立．
∴a>6或a<－3.
所以g(x)在区间(0，]上单调递增，
在区间[，1]上单调递减，
因此g(x)max＝g()＝4，从而k≥4；
当x<0即x∈[－1,0)时，
f(x)＝kx3－3x＋1≥0可化为k≤－，
g(x)＝－在区间[－1,0)上单调递增，
因此g(x)min＝g(－1)＝4，从而k≤4，综上k＝4.
若f(－1)＝－1＋3＋c＝0，可得c＝－2.
又∵f′(x)＝－3x2＋6x的图像开口向下，
且对称轴为x＝1，∴当n∈[－1,1]时，
f′(n)min＝f′(－1)＝－9.
故f(m)＋f′(n)的最小值为－13.
x (－∞，ln2) ln2 (ln2，＋∞) f′(x) － 0 ＋ f(x) 单调递减 2(1－ln2＋a) 单调递增
故f(x)的单调递减区间是(－∞，ln2)，
单调递增区间是(ln2，＋∞)，
f(x)在x＝ln2处取得极小值，
极小值为f(ln2)＝eln2－2ln2＋2a＝2(1－ln2＋a)．
(2)证明设g(x)＝ex－x2＋2ax－1，x∈R，
于是g′(x)＝ex－2x＋2a，x∈R.
由(1)知当a>ln2－1时，
g′(x)取最小值为g′(ln2)＝2(1－ln2＋a)>0.
于是对任意x∈R，都有g′(x)>0，
所以g(x)在R内单调递增．
于是当a>ln2－1时，对任意x∈(0，＋∞)，
都有g(x)>g(0)．
而g(0)＝0，从而对任意x∈(0，＋∞)，都有g(x)>0.
即ex－x2＋2ax－1>0，故ex>x2－2ax＋1.
解(1)当x＝40时，汽车从甲地到乙地行驶了小时，共耗油×(×403－×40＋8)＝17.5(升)．
因此，当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，
从甲地到乙地要耗油17.5升．
(2)当速度为x千米/小时时汽车从甲地到乙地行驶了小时，
设耗油量为h(x)升，
依题意得h(x)＝(x3－x＋8)·
＝x2＋－(0
h′(x)＝－＝(0
令h′(x)＝0，得x＝80.
当x∈(0,80)时，h′(x)<0，h(x)是减函数；
当x∈(80,120)时，h′(x)>0，h(x)是增函数，
∴当x＝80时，h(x)取得极小值h(80)＝11.25.
易知h(80)是h(x)在(0,120]上的最小值．
故当汽车以80千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少，为11.25升．
当x<时，f′(x)>0，f(x)在(0，)上单调递增；
当x>时，f′(x)<0，f(x)在(，2)上单调递减，
∴f(x)max＝f()＝ln－a·＝－1，解得a＝1.
解析由函数f(x)的导函数的图像可得，函数f(x)是减函数，且随着自变量的增大，导函数越来越大，即函数f(x)图像上的点向右运动时，该点的切线的斜率为负，且值越来越大，由此可作出函数f(x)的草图如图所示，
由图示可得<0且f()<，由此可得结论中仅②⑤正确，故应选D.
答案D
而函数g(x)的最大值为a，则由题意，
可得－≤a即a≥－.
(1)解∵f(x)＝x－lnx，f′(x)＝1－＝，
∴当0
当10时，此时f(x)单调递增．
∴f(x)的极小值为f(1)＝1.
(2)证明∵f(x)的极小值为1，即f(x)在(0，e]上的最小值为1，∴[f(x)]min＝1.
又g′(x)＝，
∴当00，g(x)在(0，e]上单调递增．
∴[g(x)]max＝g(e)＝<，
∴[f(x)]min－[g(x)]max>，
∴在(1)的条件下，f(x)>g(x)＋.
(3)解假设存在正实数a使f(x)＝ax－lnx(x∈(0，e])有最小值3，
则f′(x)＝a－＝.
①当0<
在(，e]上单调递增，
[f(x)]min＝f()＝1＋lna＝3，a＝e2，满足条件；
②当≥e时，f(x)在(0，e]上单调递减，
[f(x)]min＝f(e)＝ae－1＝3，
a＝(舍去)，所以，此时f(x)无最小值．
综上，存在实数a＝e2，使得当x∈(0，e]时f(x)有最小值3.
当x∈(，＋∞)时，f′(x)<0，f(x)单调递减．
(2)证明由(1)知，若a≤0，f(x)在(0，＋∞)上单调递增，
又f(1)＝0，故f(x)≤0不恒成立．
若a>2，当x∈(，1)时，f(x)单调递减，
f(x)>f(1)＝0，不合题意，
若0f(1)＝0，不合题意，
若a＝2，f(x)在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，f(x)≤f(1)＝0符合题意．
故a＝2，且lnx≤x－1(当且仅当x＝1时取“＝”)．
当0
<2(－1)－2(x2－x1)＝2(－1)(x2－x1)，
所以<2(－1)．
【例1】已知定义在正实数集上的函数f(x)＝x2＋2ax，g(x)＝3a2lnx＋b，其中a>0.设两曲线y＝f(x)，y＝g(x)有公共点，且在该点处的切线相同．
(1)用a表示b，并求b的最大值；
(2)求证：f(x)≥g(x)(x>0)．
【例1】已知定义在正实数集上的函数f(x)＝x2＋2ax，g(x)＝3a2lnx＋b，其中a>0.设两曲线y＝f(x)，y＝g(x)有公共点，且在该点处的切线相同．
(1)用a表示b，并求b的最大值；
(2)求证：f(x)≥g(x)(x>0)．
【例1】已知定义在正实数集上的函数f(x)＝x2＋2ax，g(x)＝3a2lnx＋b，其中a>0.设两曲线y＝f(x)，y＝g(x)有公共点，且在该点处的切线相同．
(1)用a表示b，并求b的最大值；
(2)求证：f(x)≥g(x)(x>0)．
【例1】已知定义在正实数集上的函数f(x)＝x2＋2ax，g(x)＝3a2lnx＋b，其中a>0.设两曲线y＝f(x)，y＝g(x)有公共点，且在该点处的切线相同．
(1)用a表示b，并求b的最大值；
(2)求证：f(x)≥g(x)(x>0)．
【例1】已知定义在正实数集上的函数f(x)＝x2＋2ax，g(x)＝3a2lnx＋b，其中a>0.设两曲线y＝f(x)，y＝g(x)有公共点，且在该点处的切线相同．
(1)用a表示b，并求b的最大值；
(2)求证：f(x)≥g(x)(x>0)．
【例1】已知定义在正实数集上的函数f(x)＝x2＋2ax，g(x)＝3a2lnx＋b，其中a>0.设两曲线y＝f(x)，y＝g(x)有公共点，且在该点处的切线相同．
(1)用a表示b，并求b的最大值；
(2)求证：f(x)≥g(x)(x>0)．
【例2】已知函数f(x)＝(a∈R)，g(x)＝.
(1)求f(x)的单调区间与极值；
(2)若函数f(x)的图像与函数g(x)的图像在区间(0，e2]上有公共点，求实数a的取值范围．
【例2】已知函数f(x)＝(a∈R)，g(x)＝.
(1)求f(x)的单调区间与极值；
(2)若函数f(x)的图像与函数g(x)的图像在区间(0，e2]上有公共点，求实数a的取值范围．
【例2】已知函数f(x)＝(a∈R)，g(x)＝.
(1)求f(x)的单调区间与极值；
(2)若函数f(x)的图像与函数g(x)的图像在区间(0，e2]上有公共点，求实数a的取值范围．
【例2】已知函数f(x)＝(a∈R)，g(x)＝.
(1)求f(x)的单调区间与极值；
(2)若函数f(x)的图像与函数g(x)的图像在区间(0，e2]上有公共点，求实数a的取值范围．
【例2】已知函数f(x)＝(a∈R)，g(x)＝.
(1)求f(x)的单调区间与极值；
(2)若函数f(x)的图像与函数g(x)的图像在区间(0，e2]上有公共点，求实数a的取值范围．
【例2】已知函数f(x)＝(a∈R)，g(x)＝.
(1)求f(x)的单调区间与极值；
(2)若函数f(x)的图像与函数g(x)的图像在区间(0，e2]上有公共点，求实数a的取值范围．
【例2】已知函数f(x)＝(a∈R)，g(x)＝.
(1)求f(x)的单调区间与极值；
(2)若函数f(x)的图像与函数g(x)的图像在区间(0，e2]上有公共点，求实数a的取值范围．
跟踪训练2已知函数f(x)＝x3－3ax－1，a≠0.
(1)求f(x)的单调区间；
(2)若f(x)在x＝－1处取得极值，直线y＝m与y＝f(x)的图像有三个不同的交点，求m的取值范围．
【例3】某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y(单位：千克)与销售价格x(单位：元/千克)满足关系式y＝＋10(x－6)2，其中3
(1)求a的值；
(2)若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格x的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大．
【例3】某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y(单位：千克)与销售价格x(单位：元/千克)满足关系式y＝＋10(x－6)2，其中3
(1)求a的值；
(2)若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格x的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大．
【例3】某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y(单位：千克)与销售价格x(单位：元/千克)满足关系式y＝＋10(x－6)2，其中3
(1)求a的值；
(2)若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格x的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大．
【例3】某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y(单位：千克)与销售价格x(单位：元/千克)满足关系式y＝＋10(x－6)2，其中3
(1)求a的值；
(2)若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格x的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大．
【例3】某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y(单位：千克)与销售价格x(单位：元/千克)满足关系式y＝＋10(x－6)2，其中3
(1)求a的值；
(2)若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格x的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大．
【例3】某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y(单位：千克)与销售价格x(单位：元/千克)满足关系式y＝＋10(x－6)2，其中3
(1)求a的值；
(2)若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格x的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大．
典例：(12分)已知函数f(x)＝x2＋alnx.
(1)若a＝－1，求函数f(x)的极值，并指出是极大值还是极小值；
(2)若a＝1，求函数f(x)在[1，e]上的最大值和最小值；
(3)若a＝1，求证：在区间[1，＋∞)上，函数f(x)的图像在函数g(x)＝x3的图像的下方．
典例：(12分)已知函数f(x)＝x2＋alnx.
(1)若a＝－1，求函数f(x)的极值，并指出是极大值还是极小值；
(2)若a＝1，求函数f(x)在[1，e]上的最大值和最小值；
(3)若a＝1，求证：在区间[1，＋∞)上，函数f(x)的图像在函数g(x)＝x3的图像的下方．
典例：(12分)已知函数f(x)＝x2＋alnx.
(1)若a＝－1，求函数f(x)的极值，并指出是极大值还是极小值；
(2)若a＝1，求函数f(x)在[1，e]上的最大值和最小值；
(3)若a＝1，求证：在区间[1，＋∞)上，函数f(x)的图像在函数g(x)＝x3的图像的下方．
典例：(12分)已知函数f(x)＝x2＋alnx.
(1)若a＝－1，求函数f(x)的极值，并指出是极大值还是极小值；
(2)若a＝1，求函数f(x)在[1，e]上的最大值和最小值；
(3)若a＝1，求证：在区间[1，＋∞)上，函数f(x)的图像在函数g(x)＝x3的图像的下方．
典例：(12分)已知函数f(x)＝x2＋alnx.
(1)若a＝－1，求函数f(x)的极值，并指出是极大值还是极小值；
(2)若a＝1，求函数f(x)在[1，e]上的最大值和最小值；
(3)若a＝1，求证：在区间[1，＋∞)上，函数f(x)的图像在函数g(x)＝x3的图像的下方．
典例：(12分)已知函数f(x)＝x2＋alnx.
(1)若a＝－1，求函数f(x)的极值，并指出是极大值还是极小值；
(2)若a＝1，求函数f(x)在[1，e]上的最大值和最小值；
(3)若a＝1，求证：在区间[1，＋∞)上，函数f(x)的图像在函数g(x)＝x3的图像的下方．
典例：(12分)已知函数f(x)＝x2＋alnx.
(1)若a＝－1，求函数f(x)的极值，并指出是极大值还是极小值；
(2)若a＝1，求函数f(x)在[1，e]上的最大值和最小值；
(3)若a＝1，求证：在区间[1，＋∞)上，函数f(x)的图像在函数g(x)＝x3的图像的下方．
典例：(12分)已知函数f(x)＝x2＋alnx.
(1)若a＝－1，求函数f(x)的极值，并指出是极大值还是极小值；
(2)若a＝1，求函数f(x)在[1，e]上的最大值和最小值；
(3)若a＝1，求证：在区间[1，＋∞)上，函数f(x)的图像在函数g(x)＝x3的图像的下方．
典例：(12分)已知函数f(x)＝x2＋alnx.
(1)若a＝－1，求函数f(x)的极值，并指出是极大值还是极小值；
(2)若a＝1，求函数f(x)在[1，e]上的最大值和最小值；
(3)若a＝1，求证：在区间[1，＋∞)上，函数f(x)的图像在函数g(x)＝x3的图像的下方．
典例：(12分)已知函数f(x)＝x2＋alnx.
(1)若a＝－1，求函数f(x)的极值，并指出是极大值还是极小值；
(2)若a＝1，求函数f(x)在[1，e]上的最大值和最小值；
(3)若a＝1，求证：在区间[1，＋∞)上，函数f(x)的图像在函数g(x)＝x3的图像的下方．
典例：(12分)已知函数f(x)＝x2＋alnx.
(1)若a＝－1，求函数f(x)的极值，并指出是极大值还是极小值；
(2)若a＝1，求函数f(x)在[1，e]上的最大值和最小值；
(3)若a＝1，求证：在区间[1，＋∞)上，函数f(x)的图像在函数g(x)＝x3的图像的下方．
典例：(12分)已知函数f(x)＝x2＋alnx.
(1)若a＝－1，求函数f(x)的极值，并指出是极大值还是极小值；
(2)若a＝1，求函数f(x)在[1，e]上的最大值和最小值；
(3)若a＝1，求证：在区间[1，＋∞)上，函数f(x)的图像在函数g(x)＝x3的图像的下方．
3．已知函数f(x)＝x3＋ax2＋(a＋6)x＋1有极大值和极小值，则实数a的取值范围是()
A．(－1,2)B．(－∞，－3)∪(6，＋∞)
C．(－3,6)D．(－∞，－1)∪(2，＋∞)
5．某公司生产某种产品，固定成本为20000元，每生产一单位产品，成本增加100元，已知总营业收入R与年产量x的年关系是R＝R(x)＝则总利润最大时，每年生产的产量是()
A．100 B．150C．200D．300
6．设函数f(x)＝kx3－3x＋1(x∈R)，若对于任意x∈[－1,1]，都有f(x)≥0成立，则实数k的值为________．
9．设a为实数，函数f(x)＝ex－2x＋2a，x∈R.
(1)求f(x)的单调区间与极值；
(2)求证：当a>ln2－1且x>0时，ex>x2－2ax＋1.
9．设a为实数，函数f(x)＝ex－2x＋2a，x∈R.
(1)求f(x)的单调区间与极值；
(2)求证：当a>ln2－1且x>0时，ex>x2－2ax＋1.
5．已知函数f(x)＝2lnx－ax＋a(a∈R)．
(1)讨论f(x)的单调性；
(2)若f(x)≤0恒成立，证明：当0
5．已知函数f(x)＝2lnx－ax＋a(a∈R)．
(1)讨论f(x)的单调性；
(2)若f(x)≤0恒成立，证明：当0
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