B组专项能力提升练出高分234561B组专项能力提升练出高分2345612B组专项能力提升练出高分234561B组专项能力提升练出高分234561B组专项能力提升练出高分234561B组专项能力提升练出高分234561B组专项能力提升练出高分234561B组专项能力提升练出高分234561B组专项能力提升练出高分234561题型分类·深度剖析题型三思维启迪解析思维升华正态分布的应用题型分类·深度剖析题型分类·深度剖析答题模板系列10离散型随机变量的均值与方差问题题型分类·深度剖析思维启迪规范解答答题模板温馨提醒题型分类·深度剖析思维启迪规范解答答题模板温馨提醒答题模板系列10离散型随机变量的均值与方差问题题型分类·深度剖析3分6分8分10分12分思维启迪规范解答答题模板温馨提醒答题模板系列10离散型随机变量的均值与方差问题题型分类·深度剖析思维启迪规范解答答题模板温馨提醒答题模板系列10离散型随机变量的均值与方差问题题型分类·深度剖析思维启迪规范解答答题模板温馨提醒答题模板系列10离散型随机变量的均值与方差问题方法与技巧思想方法·感悟提高方法与技巧思想方法·感悟提高方法与技巧思想方法·感悟提高失误与防范思想方法·感悟提高练出高分A组专项基础训练12345678910A组专项基础训练练出高分12345678910CA组专项基础训练练出高分12345678910CA组专项基础训练练出高分12345678910BA组专项基础训练练出高分12345678910BA组专项基础训练练出高分12345678910CA组专项基础训练练出高分123456789100.10.60.3A组专项基础训练练出高分12345678910A组专项基础训练练出高分1234567891013A组专项基础训练练出高分12345678910A组专项基础训练练出高分12345678910A组专项基础训练练出高分12345678910A组专项基础训练练出高分12345678910A组专项基础训练练出高分12345678910A组专项基础训练练出高分12345678910B组专项能力提升练出高分234561B组专项能力提升练出高分234561B组专项能力提升练出高分234561DB组专项能力提升练出高分234561B组专项能力提升练出高分234561基础知识题型分类思想方法练出高分基础知识题型分类思想方法练出高分基础知识题型分类思想方法练出高分基础知识题型分类思想方法练出高分基础知识题型分类思想方法练出高分§12.6离散型随机变量的均值与方差、正态分布数学北（理）第十二章概率、随机变量及其分布基础知识·自主学习知识回顾理清教材要点梳理平均偏离程度基础知识·自主学习知识回顾理清教材要点梳理npnp(1－p)68.3%95.4%99.7%解析答案题号34521B基础知识·自主学习B夯实基础突破疑难夯基释疑夯基释疑返回题型一离散型随机变量的均值、方差题型分类·深度剖析题型一离散型随机变量的均值、方差题型分类·深度剖析题型一离散型随机变量的均值、方差题型分类·深度剖析题型一离散型随机变量的均值、方差题型分类·深度剖析题型分类·深度剖析题型一离散型随机变量的均值、方差题型分类·深度剖析题型分类·深度剖析题型分类·深度剖析题型二二项分布的均值、方差思维启迪解析思维升华题型分类·深度剖析题型二二项分布的均值、方差思维启迪解析思维升华题型分类·深度剖析题型二二项分布的均值、方差思维启迪解析思维升华题型分类·深度剖析题型二二项分布的均值、方差思维启迪解析思维升华题型分类·深度剖析题型二二项分布的均值、方差思维启迪解析思维升华题型分类·深度剖析题型二二项分布的均值、方差思维启迪解析思维升华题型分类·深度剖析题型二二项分布的均值、方差思维启迪解析思维升华题型分类·深度剖析题型分类·深度剖析题型分类·深度剖析题型三正态分布的应用思维启迪解析思维升华题型分类·深度剖析题型三思维启迪解析思维升华正态分布的应用题型分类·深度剖析题型三思维启迪解析思维升华正态分布的应用题型分类·深度剖析题型三思维启迪解析思维升华正态分布的应用题型分类·深度剖析题型三思维启迪解析思维升华正态分布的应用(2)记ξ表示该训练基地得到的训练经费，则ξ的所有可能值为0,3000,6000,9000,12000.
1．在没有准确判断分布列模型之前不能乱套公式．
0.7
(1)√(2)√(3)√(4)√
【例在某次大型考试中，某班同学的成绩服从正态分布N(80,52)，现已知该班同学中成绩在80～85分的有17人．试计算该班成绩在90分以上的同学有多少人．
跟踪训练1袋中有20个大小相同的球，其中记上0号的有10个，记上n号的有n个(n＝1,2,3,4)．现从袋中任取一球，ξ表示所取球的标号．
(1)求ξ的分布列、期望和方差；
(2)若η＝aξ＋b，Eη＝1，Dη＝11，试求a，b的值．
解(1)ξ的分布列为
ξ 0 1 2 3 4 P
1．均值与方差的常用性质．掌握下述有关性质，会给解题带来方便：
(1)E(aξ＋b)＝aEξ＋b；E(ξ＋η)＝Eξ＋Eη；D(aξ＋b)＝a2Dξ；
(2)若ξ～B(n，p)，则Eξ＝np，Dξ＝np(1－p)．
【例(2012·四川)某居民小区有两个相互独立的安全防范系统(简称系统)A和B，系统A和系统B在任意时刻发生故障的概率分别为和p.
(1)若在任意时刻至少有一个系统不发生故障的概率为，求p的值；
(2)设系统A在3次相互独立的检测中不发生故障的次数为随机变量ξ，求ξ的分布列及数学期望Eξ.
利用对立事件的概率公式表示(1)中概率可求p.
解(1)设“至少有一个系统不发生故障”为事件C，那么
求随机变量X的期望与方差时，可首先分析X是否服从二项分布，如果X～B(n，p)，则用公式EX＝np；DX＝np(1－p)求解，可大大减少计算量．
本题主要考查正态分布及其应用，解题关键是要记住正态总体取值在区间(μ－σ，μ＋σ)，(μ－2σ，μ＋2σ)，(μ－3σ，μ＋3σ)内的概率值，将所给问题转化到上述区间内解决，同时要注意对称性的运用和数形结合思想的应用．
解依题意，由80～85分的同学的人数和所占百分比求出该班同学的总数，再求90分以上同学的人数．
2．对于应用问题，必须对实际问题进行具体分析，一般要将问题中的随机变量设出来，再进行分析，求出随机变量的分布列，然后按定义计算出随机变量的均值、方差．
1．离散型随机变量的均值与方差
若离散型随机变量X的分布列为P(X＝ai)＝pi(i＝1,2，…)．
(1)均值
EX＝??????????????????????????????????????????，EX刻画的是?????????????????????????????????????????????．
(2)方差
DX＝??????????????????????为随机变量X的方差，它刻画了随机变量X与其均值EX的??????????????????????????????????．
2．二项分布的均值、方差
若X～B(n，p)，则EX＝???????，DX＝??????????????????．
3．正态分布
(1)X～N(μ，σ2)，表示X服从参数为??????????????????的正态分布．
(2)正态分布密度函数的性质
①函数图像关于????????????????????????对称；
②????????????????????????????????????决定图像的“胖”“瘦”；
③P(μ－σ
P(μ－2σ
P(μ－3σ
【例(2013·浙江)设袋子中装有a个红球，b个黄球，c个蓝球，且规定：取出一个红球得1分，取出一个黄球得2分，取出一个蓝球得3分．
(1)当a＝3，b＝2，c＝1时，从该袋子中任取(有放回，且每球取到的机会均等)2个球，记随机变量ξ为取出此2球所得分数之和，求ξ的分布列；
(2)从该袋子中任取(每球取到的机会均等)1个球，记随机变量η为取出此球所得分数．若Eη＝，Dη＝，求a∶b∶c.
∵成绩服从正态分布N(80,52)，
跟踪训练3在某次数学考试中，考生的成绩ξ服从正态分布，即ξ～N(100,100)，已知满分为150分．
(1)试求考试成绩ξ位于区间(80,120)内的概率；
(2)若这次考试共有2000名考生参加，试估计这次考试及格(不小于90分)的人数．
解(1)设A通过体能、射击、反应分别记为事件M、N、P，
解方法一(1)由已知得，小明中奖的概率为，小红中奖的概率为，且两人中奖与否互不影响．
∵μ＝2，由正态分布的定义知其图像关于直线x＝2对称，
于是＝2，∴c＝2.
1－P()＝1－·p＝，解得p＝.
跟踪训练2假设某班级教室共有4扇窗户，在每天上午第三节课上课预备铃声响起时，每扇窗户或被敞开或被关闭，且概率均为0.5.记此时教室里敞开的窗户个数为X.
(1)求X的分布列；
(2)若此时教室里有两扇或两扇以上的窗户被关闭，班长就会将关闭的窗户全部敞开，否则维持原状不变．记每天上午第三节课上课时该教室里敞开的窗户个数为Y，求Y的数学期望．
解答此类题目关键是利用正态曲线的对称性表示出所给区间的概率．利用对称性转化区间时，要注意正态曲线的对称轴是x＝μ，只有在标准正态分布下对称轴才为x＝0.
典例：(12分)甲袋和乙袋中都装有大小相同的红球和白球，已知甲袋中共有m个球，乙袋中共有2m个球，从甲袋中摸出1个球为红球的概率为，从乙袋中摸出1个球为红球的概率为P2.
(1)若m＝10，求甲袋中红球的个数；
(2)若将甲、乙两袋中的球装在一起后，从中摸出1个红球的概率是，求P2的值；
(3)设P2＝，若从甲、乙两袋中各自有放回地摸球，每次摸出1个球，并且从甲袋中摸1次，从乙袋中摸2次．设ξ表示摸出红球的总次数，求ξ的分布列和均值．
解(1)设“两人都享受折扣优惠”为事件A，
“两人都不享受折扣优惠”为事件B，
则A能够入选包含以下几个互斥事件：MN，MP，NP，MNP.
P(ξ＝3000)＝C3＝，
P(ξ＝6000)＝C22＝，
P(ξ＝9000)＝C3＝，
记“这2人的累计得分X≤3”的事件为A，
(2)设小明、小红都选择方案甲抽奖中奖次数为X1，都选择方案乙抽奖中奖次数为X2，则这两人选择方案甲抽奖累计得分的数学期望为E(2X1)，选择方案乙抽奖累计得分的数学期望为E(3X2)．
因为E(2X1)>E(3X2)，所以他们都选择方案甲进行抽奖时，累计得分的数学期望较大．
因为P(X＝0)＝(1－)×(1－)＝，P(X＝2)＝×(1－)＝，P(X＝3)＝(1－)×＝，
所以P(A)＝P(X＝0)＋P(X＝2)＋P(X＝3)＝，
∴Eξ＝0×＋1×＋2×＋3×＋4×＝1.5.
(2)由Dη＝a2Dξ，得a2×2.75＝11，即a＝±2.
又Eη＝aEξ＋b，
所以当a＝2时，由1＝2×1.5＋b，得b＝－2.
(2)由题意，得P(ξ＝0)＝C3＝，
P(ξ＝1)＝C2×＝，
P(ξ＝2)＝C××2＝，
P(ξ＝3)＝C3＝.
所以，随机变量ξ的分布列为
ξ 0 1 2 3 P
故随机变量ξ的数学期望
(或∵ξ～B(3，)，∴Eξ＝3×＝.)
解(1)∵X的所有可能取值为0,1,2,3,4，X～B(4,0.5)，
∴P(X＝0)＝C()4＝，
P(X＝1)＝C()4＝，P(X＝2)＝C()4＝，
P(X＝3)＝C()4＝，P(X＝4)＝C()4＝，
∴X的分布列为
X 0 1 2 3 4 P
(2)Y的所有可能取值为3,4，则P(Y＝3)＝P(X＝3)＝，P(Y＝4)＝1－P(Y＝3)＝，∴Y的期望值EY＝3×＋4×＝.
∴μ＝80，σ＝5，μ－σ＝75，μ＋σ＝85.
于是成绩在(75,85)内的同学占全班同学的68.3%.
由正态曲线的对称性知，成绩在(80,85)内的同学占全班同学的×68.3%＝34.15%.
设该班有x名同学，则x×34.15%＝17，解得x≈50.
又μ－2σ＝80－10＝70，μ＋2σ＝80＋10＝90，
∴成绩在(70,90)内的同学占全班同学的95.4%.
∴成绩在(80,90)内的同学占全班同学的47.7%.
∴成绩在90分以上的同学占全班同学的50%－47.7%＝2.3%.即有50×2.3%≈1(人)，
即成绩在90分以上的同学仅有1人．
解(1)由ξ～N(100,100)知μ＝100，σ＝10.
∴P(80<ξ<120)＝P(100－20<ξ<100＋20)＝0.954，
即考试成绩位于区间(80,120)内的概率为0.954.
(2)P(90<ξ<110)＝P(100－10<ξ<100＋10)＝0.683，
∴P(ξ≥110)＝(1－0.683)＝0.1585，
∴P(ξ≥90)＝0.683＋0.1585＝0.8415.
∴及格人数为2000×0.8415≈1683(人)．
(1)概率的应用，知甲袋中总球数为10和摸1个为红球的概率，求红球．(2)利用方程的思想，列方程求解．(3)求分布列和均值，关键是求ξ的所有可能值及每个值所对应的概率．
解(1)设甲袋中红球的个数为x，依题意得x＝10×＝4.
(2)由已知，得＝，解得P2＝.
(3)ξ的所有可能值为0,1,2,3.P(ξ＝0)＝××＝，
P(ξ＝1)＝××＋×C××＝，
P(ξ＝2)＝×C××＋×2＝，P(ξ＝3)＝×2＝.
所以ξ的分布列为
ξ 0 1 2 3 P
所以Eξ＝0×＋1×＋2×＋3×＝.
求离散型随机变量的均值和方差问题的一般步骤：
第一步：确定随机变量的所有可能值．
第二步：求每一个可能值所对应的概率．
第三步：列出离散型随机变量的分布列．
第四步：求均值和方差．
第五步：反思回顾．查看关键点、易错点和答题规范．
(1)本题重点考查了概率、离散型随机变量的分布列、均值．(2)本题解答中的典型错误是计算不准确以及解答不规范．如第(3)问中，不明确写出ξ的所有可能值，不逐个求概率，这都属于解答不规范.
3．关于正态总体在某个区域内取值的概率求法
(1)熟记P(μ－σ
(2)充分利用正态曲线的对称性和曲线与x轴之间面积为1.
①正态曲线关于直线x＝μ对称，从而在关于x＝μ对称的区间上概率相等．
②P(X
(3)3σ原则：在实际应用中，通常认为服从正态分布N(μ，σ2)的随机变量只取(μ－3σ，μ＋3σ)之间的值，取该区间外的值的概率很小，通常认为一次试验几乎不可能发生．
1．正态总体N(1,9)在区间(2,3)和(－1,0)上取值的概率分别为m，n，则()
A．m>nB．m
2．已知某一随机变量X的分布列如下，且EX＝6.3，则a的值为()
X 4 a 9 P 0.5 0.1 b A．5B．6C．7D．8
3．(2013·湖北)如图，将一个各面都涂了油漆的正方体，
切割为125个同样大小的小正方体，经过搅拌后，从中随机取一个小正方体，记它的油漆面数为X，则X的均值EX等于()
A B． C. D．
4．某种种子每粒发芽的概率都为0.9，现播种了1000粒，对于没有发芽的种子，每粒需再补种2粒，补种的种子数记为X，则X的数学期望为()
A．100B．200C．300D．400
5．一射手对靶射击，直到第一次命中为止，每次命中的概率都为0.6，现有4颗子弹，则射击停止后剩余子弹的数目X的均值为()
A．2.44B．3.376C．2.376D．2.4
6．从装有3个红球、2个白球的袋中随机取出2个球，设其中有X个红球，则随机变量X的分布列为
X 0 1 2 P
7．已知随机变量ξ的分布列为P(ξ＝k)＝，k＝1,2,3，…，n，则P(2<ξ≤5)＝________.
8．已知某次英语考试的成绩X服从正态分布N(116,64)，则10000名考生中成绩在140分及以上的人数为________．
则P(A)＝＝，P(B)＝＝.
因为事件A，B互斥，
则P(A＋B)＝P(A)＋P(B)＝＋＝＝.
故这两人都享受折扣优惠或都不享受折扣优惠的概率是.
(2)据题意，得ξ的可能取值为0,1,2.
其中P(ξ＝0)＝P(B)＝，P(ξ＝1)＝＝，
P(ξ＝2)＝P(A)＝.
所以ξ的分布列为
ξ 0 1 2 P
9．某超市为了响应环保要求，鼓励顾客自带购物袋到超市购物，采取了如下措施：对不使用超市塑料购物袋的顾客，超市给予9.6折优惠；对需要超市塑料购物袋的顾客，既要付购买费，也不享受折扣优惠．假设该超市在某个时段内购物的人数为36人，其中有12位顾客自己带了购物袋，现从这36人中随机抽取两人．
(1)求这两人都享受折扣优惠或都不享受折扣优惠的概率；
(2)设这两人中享受折扣优惠的人数为ξ，求ξ的分布列和数学期望．
10．为了某项大型活动能够安全进行，警方从武警训练基地挑选防爆警察，从体能、射击、反应三项指标进行检测，如果这三项中至少有两项通过即可入选．假定某基地有4名武警战士(分别记为A、B、C、D)拟参加挑选，且每人能通过体能、射击、反应的概率分别为，，.这三项测试能否通过相互之间没有影响．
(1)求A能够入选的概率；
(2)规定：按入选人数得训练经费(每入选1人，则相应的训练基地得到3000元的训练经费)，求该基地得到训练经费的分布列与数学期望．
∴P(A)＝P(MN)＋P(MP)＋P(NP)＋P(MNP)
＝××＋××＋××＋××＝＝.
所以，A能够入选的概率为.
P(ξ＝0)＝4＝，
P(ξ＝12000)＝C4＝，
ξ的分布列为ξ 0 3000 6000 9000 12000 P
Eξ＝3000×＋6000×＋9000×＋12000×＝8000(元)．
所以，该基地得到训练经费的数学期望为8000元．
1．一个篮球运动员投篮一次得3分的概率为a，得2分的概率为b，不得分的概率为c(a、b、c∈(0,1))，已知他投篮一次得分的均值为2，则＋的最小值为()
A．B．C．D．2．若p为非负实数，随机变量ξ的分布列如下表，则Eξ的最大值为________，Dξ的最大值为________.
ξ 0 1 2 P －p p
EX＝0×＋1×＋2×＋3×＝.
3．某毕业生参加人才招聘会，分别向甲、乙、丙三个公司投递了个人简历．假定该毕业生得到甲公司面试的概率为，得到乙、丙两公司面试的概率均为p，且三个公司是否让其面试是相互独立的，记X为该毕业生得到面试的公司个数．若P(X＝0)＝，则随机变量X的数学期望EX＝________.
4．马老师从课本上抄录一个随机变量ξ的分布列如下表：
x 1 2 3 P(ξ＝x) ？ ！ ？ 请小牛同学计算ξ的数学期望．尽管“！”处完全无法看清，且两个“？”处字迹模糊，但能断定这两个“？”处的数值相同．据此，小牛给出了正确答案Eξ＝________.
5．某保险公司新开设一项保险业务，规定该份保单，在一年内如果事件E发生，则该公司要赔偿a元，在一年内如果事件E发生的概率为p，为使该公司收益期望值等于，公司应要求该保单的顾客缴纳的保险金为________元．
6．(2013·福建)某联欢晚会举行抽奖活动，举办方设置了甲、乙两种抽奖方案，方案甲的中奖率为，中奖可以获得2分；方案乙的中奖率为，中奖可以获得3分；未中奖则不得分．每人有且只有一次抽奖机会，每次抽奖中奖与否互不影响，晚会结束后凭分数兑换奖品．
(1)若小明选择方案甲抽奖，小红选择方案乙抽奖，记他们的累计得分为X，求X≤3的概率；
(2)若小明、小红两人都选择方案甲或都选择方案乙进行抽奖，问：他们选择何种方案抽奖，累计得分的数学期望较大？
则事件A的对立事件为“X＝5”，
因为P(X＝5)＝×＝，
所以P(A)＝1－P(X＝5)＝，
由已知可得，X1～B(2，)，X2～B(2，)，
所以EX1＝2×＝，EX2＝2×＝，
从而E(2X1)＝2EX1＝，E(3X2)＝3EX2＝，
方法二(1)由已知得，小明中奖的概率为，小红中奖的概率为，且两人中奖与否互不影响．
记“这2人的累计得分X≤3”的事件为A，
则事件A包含有“X＝0”，“X＝2”，“X＝3”三个两两互斥的事件，
即这2人的累计得分X≤3的概率为.
(2)设小明、小红都选择方案甲所获得的累计得分为X1，都选择方案乙所获得的累计得分为X2，则X1，X2的分布列如下：
X1 0 2 4 P
X2 0 3 6 P
所以EX1＝0×＋2×＋4×＝，EX2＝0×＋3×＋6×＝.
因为EX1>EX2，所以他们都选择方案甲进行抽奖时累计得分的数学期望较大．
思维启迪首先列出随机变量ξ的所有可能的取值，然后计算ξ的每个取值的概率．
2．基本方法
(1)已知随机变量的分布列求它的均值、方差和标准差，可直接按定义(公式)求解；
(2)已知随机变量ξ的均值、方差，求ξ的线性函数η＝aξ＋b的均值、方差和标准差，可直接用ξ的均值、方差的性质求解；
(3)如能分析所给随机变量是服从常用的分布(如二项分布)，可直接利用它们的均值、方差公式求解．
解析正态总体N(1,9)的曲线关于x＝1对称，区间(2,3)与(－1,0)到对称轴距离相等，故m＝n.
解析由分布列性质知：0.5＋0.1＋b＝1，∴b＝0.4.
∴EX＝4×0.5＋a×0.1＋9×0.4＝6.3，∴a＝7.
解析125个小正方体中8个三面涂漆，36个两面涂漆，
54个一面涂漆，27个没有涂漆，
∴从中随机取一个正方体，涂漆面数X的均值EX＝×1＋×2＋×3＝＝.
解析记“不发芽的种子数为ξ”，
则ξ～B(1000,0.1)，所以Eξ＝1000×0.1＝100，
而X＝2ξ，故EX＝E(2ξ)＝2Eξ＝200.
解析X的所有可能取值为3,2,1,0，其分布列为
X 3 2 1 0 P 0.6 0.24 0.096 0.064
∴EX＝3×0.6＋2×0.24＋1×0.096＋0×0.064＝2.376.
解析P(X＝0)＝＝0.1，
P(X＝1)＝＝＝0.6，P(X＝2)＝＝0.3.
解析P(2<ξ≤5)＝P(ξ＝3)＋P(ξ＝4)＋P(ξ＝5)＝＋＋＝.
解析由已知得μ＝116，σ＝8.
∴P(92
∴P(X≥140)＝(1－0.997)＝0.0015，
∴成绩在140分以上的人数为15.
解析由已知得，3a＋2b＋0×c＝2，
即3a＋2b＝2，其中0
又＋＝
＝3＋＋＋≥＋2＝，
当且仅当＝，即a＝2b时取“等号”，
又3a＋2b＝2，即当a＝，b＝时，＋的最小值为，故选D.
解析Eξ＝p＋1≤(0≤p≤)；Dξ＝－p2－p＋1≤1.
1
解析由题意知P(X＝0)＝(1－p)2＝，∴p＝.
随机变量X的分布列为
X 0 1 2 3 P
解析设随机变量X表示公司此项业务的收益额，x表示顾客交纳的保险金，则X的所有可能值为x，x－a，且P(X＝x)＝1－p，P(X＝x－a)＝p，
所以EX＝x(1－p)＋(x－a)p＝，得x＝.
a1p1＋a2p2＋…＋xrpr
X取值的“中
心位置”
E(X－EX)2
μ和σ2
直线x＝μ
σ(σ>0)的大小
【例(2013·浙江)设袋子中装有a个红球，b个黄球，c个蓝球，且规定：取出一个红球得1分，取出一个黄球得2分，取出一个蓝球得3分．
(1)当a＝3，b＝2，c＝1时，从该袋子中任取(有放回，且每球取到的机会均等)2个球，记随机变量ξ为取出此2球所得分数之和，求ξ的分布列；
(2)从该袋子中任取(每球取到的机会均等)1个球，记随机变量η为取出此球所得分数．若Eη＝，Dη＝，求a∶b∶c.
【例(2013·浙江)设袋子中装有a个红球，b个黄球，c个蓝球，且规定：取出一个红球得1分，取出一个黄球得2分，取出一个蓝球得3分．
(1)当a＝3，b＝2，c＝1时，从该袋子中任取(有放回，且每球取到的机会均等)2个球，记随机变量ξ为取出此2球所得分数之和，求ξ的分布列；
(2)从该袋子中任取(每球取到的机会均等)1个球，记随机变量η为取出此球所得分数．若Eη＝，Dη＝，求a∶b∶c.
【例(2013·浙江)设袋子中装有a个红球，b个黄球，c个蓝球，且规定：取出一个红球得1分，取出一个黄球得2分，取出一个蓝球得3分．
(1)当a＝3，b＝2，c＝1时，从该袋子中任取(有放回，且每球取到的机会均等)2个球，记随机变量ξ为取出此2球所得分数之和，求ξ的分布列；
(2)从该袋子中任取(每球取到的机会均等)1个球，记随机变量η为取出此球所得分数．若Eη＝，Dη＝，求a∶b∶c.
【例(2013·浙江)设袋子中装有a个红球，b个黄球，c个蓝球，且规定：取出一个红球得1分，取出一个黄球得2分，取出一个蓝球得3分．
(1)当a＝3，b＝2，c＝1时，从该袋子中任取(有放回，且每球取到的机会均等)2个球，记随机变量ξ为取出此2球所得分数之和，求ξ的分布列；
(2)从该袋子中任取(每球取到的机会均等)1个球，记随机变量η为取出此球所得分数．若Eη＝，Dη＝，求a∶b∶c.
解(1)由题意得ξ＝2,3,4,5,6.
故P(ξ＝2)＝＝，P(ξ＝3)＝＝，
P(ξ＝4)＝＝，P(ξ＝5)＝＝，
P(ξ＝6)＝＝.
所以ξ的分布列为
ξ 2 3 4 5 6 P
(2)由题意知η的分布列为
η 1 2 3 P
思维升华(1)求离散型随机变量的均值与方差关键是确定随机变量的所有可能值，写出随机变量的分布列，正确运用均值、方差公式进行计算．
所以Eη＝＋＋＝，
Dη＝2·＋2·＋2·＝.
化简得
解得a＝3c，b＝2c，故a∶b∶c＝3∶2∶1.
(2)注意性质的应用：
若随机变量X的期望为EX，则对应随机变量aX＋b的期望是aEX＋b，方差为a2DX.
跟踪训练1袋中有20个大小相同的球，其中记上0号的有10个，记上n号的有n个(n＝1,2,3,4)．现从袋中任取一球，ξ表示所取球的标号．
(1)求ξ的分布列、期望和方差；
(2)若η＝aξ＋b，Eη＝1，Dη＝11，试求a，b的值．
Dξ＝(0－1.5)2×＋(1－1.5)2×＋(2－1.5)2×＋(3－1.5)2×＋(4－1.5)2×＝2.75.
当a＝－2时，由1＝－2×1.5＋b，得b＝4.
∴或
【例(2012·四川)某居民小区有两个相互独立的安全防范系统(简称系统)A和B，系统A和系统B在任意时刻发生故障的概率分别为和p.
(1)若在任意时刻至少有一个系统不发生故障的概率为，求p的值；
(2)设系统A在3次相互独立的检测中不发生故障的次数为随机变量ξ，求ξ的分布列及数学期望Eξ.
【例(2012·四川)某居民小区有两个相互独立的安全防范系统(简称系统)A和B，系统A和系统B在任意时刻发生故障的概率分别为和p.
(1)若在任意时刻至少有一个系统不发生故障的概率为，求p的值；
(2)设系统A在3次相互独立的检测中不发生故障的次数为随机变量ξ，求ξ的分布列及数学期望Eξ.
【例(2012·四川)某居民小区有两个相互独立的安全防范系统(简称系统)A和B，系统A和系统B在任意时刻发生故障的概率分别为和p.
(1)若在任意时刻至少有一个系统不发生故障的概率为，求p的值；
(2)设系统A在3次相互独立的检测中不发生故障的次数为随机变量ξ，求ξ的分布列及数学期望Eξ.
【例(2012·四川)某居民小区有两个相互独立的安全防范系统(简称系统)A和B，系统A和系统B在任意时刻发生故障的概率分别为和p.
(1)若在任意时刻至少有一个系统不发生故障的概率为，求p的值；
(2)设系统A在3次相互独立的检测中不发生故障的次数为随机变量ξ，求ξ的分布列及数学期望Eξ.
【例(2012·四川)某居民小区有两个相互独立的安全防范系统(简称系统)A和B，系统A和系统B在任意时刻发生故障的概率分别为和p.
(1)若在任意时刻至少有一个系统不发生故障的概率为，求p的值；
(2)设系统A在3次相互独立的检测中不发生故障的次数为随机变量ξ，求ξ的分布列及数学期望Eξ.
【例(2012·四川)某居民小区有两个相互独立的安全防范系统(简称系统)A和B，系统A和系统B在任意时刻发生故障的概率分别为和p.
(1)若在任意时刻至少有一个系统不发生故障的概率为，求p的值；
(2)设系统A在3次相互独立的检测中不发生故障的次数为随机变量ξ，求ξ的分布列及数学期望Eξ.
Eξ＝0×＋1×＋2×＋3×＝.
跟踪训练2假设某班级教室共有4扇窗户，在每天上午第三节课上课预备铃声响起时，每扇窗户或被敞开或被关闭，且概率均为0.5.记此时教室里敞开的窗户个数为X.
(1)求X的分布列；
(2)若此时教室里有两扇或两扇以上的窗户被关闭，班长就会将关闭的窗户全部敞开，否则维持原状不变．记每天上午第三节课上课时该教室里敞开的窗户个数为Y，求Y的数学期望．
【例在某次大型考试中，某班同学的成绩服从正态分布N(80,52)，现已知该班同学中成绩在80～85分的有17人．试计算该班成绩在90分以上的同学有多少人．
【例在某次大型考试中，某班同学的成绩服从正态分布N(80,52)，现已知该班同学中成绩在80～85分的有17人．试计算该班成绩在90分以上的同学有多少人．
【例在某次大型考试中，某班同学的成绩服从正态分布N(80,52)，现已知该班同学中成绩在80～85分的有17人．试计算该班成绩在90分以上的同学有多少人．
【例在某次大型考试中，某班同学的成绩服从正态分布N(80,52)，现已知该班同学中成绩在80～85分的有17人．试计算该班成绩在90分以上的同学有多少人．
【例在某次大型考试中，某班同学的成绩服从正态分布N(80,52)，现已知该班同学中成绩在80～85分的有17人．试计算该班成绩在90分以上的同学有多少人．
跟踪训练3在某次数学考试中，考生的成绩ξ服从正态分布，即ξ～N(100,100)，已知满分为150分．
(1)试求考试成绩ξ位于区间(80,120)内的概率；
(2)若这次考试共有2000名考生参加，试估计这次考试及格(不小于90分)的人数．
所以Eξ＝0×＋1×＋2×＝＝.
1．一个篮球运动员投篮一次得3分的概率为a，得2分的概率为b，不得分的概率为c(a、b、c∈(0,1))，已知他投篮一次得分的均值为2，则＋的最小值为()
A．B．C．D．3．某毕业生参加人才招聘会，分别向甲、乙、丙三个公司投递了个人简历．假定该毕业生得到甲公司面试的概率为，得到乙、丙两公司面试的概率均为p，且三个公司是否让其面试是相互独立的，记X为该毕业生得到面试的公司个数．若P(X＝0)＝，则随机变量X的数学期望EX＝________.
解析设“？”处的数值为x，则“！”处的数值为1－2x，则
Eξ＝1·x＋2×(1－2x)＋3x＝x＋2－4x＋3x＝2.
即这2人的累计得分X≤3的概率为.
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