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| 西城2014－2015下学期高二年级期末考试数学试卷（文 |
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北京市西城区2014－2015学年下学期高二年级期末考试数学试卷（文科）
试卷满分：150分考试时间：120分钟
一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。
1.设集合，则＝（）
A. B. C. D.
2.在实数范围内，下列不等关系不恒成立的是（）
A. B.
C. D.
3.下列函数中，既是偶函数又在上是单调递增函数的是（）
A. B.
C. D.
4.命题“存在实数x，使得”的否定是（）
A.不存在实数x，使 B.存在实数x，使
C.对任意实数x，都有 D.对任意实数x，都有
5.已知是等差数列，，则公差等于（）
A.2 B.4 C.6 D.8
6.已知为不相等的两个正数，且，则函数和的图象之间的关系是（）
A.关于原点对称 B.关于y轴对称
C.关于x轴对称 D.关于直线对称
7.已知是实数，则“且”是“且”的（）
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
8.过曲线C：上一点作曲线C的切线，若切线的斜率为－4，则等于（）
A.2 B. C.4 D.
9.已知函数在R上满足：对任意，都有，则实数a的取值范围是（）
A. B. C. D.
10.已知函数，给出下列结论：
①是的单调递减区间；
②当时，直线与的图象有两个不同交点；
③函数的图象与的图象没有公共点。
其中正确的序号是（）
A.①②③ B.①③ C.①② D.②③
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。把答案填在题中横线上。
11.若，则的最小值为___________。
12.＝___________。
13.不等式的解集为___________。
14.已知定义在R上的奇函数满足，且当时，＝，则＝___________；＝___________。
15.函数的极值是___________。
16.个人取得的劳务报酬，应当交纳个人所得税。每月劳务报酬收入（税前）不超过800元不用交税；超过800元时，应纳税所得额及税率按下表分段计算：
劳务报酬收入（税前） 应纳税所得额 税率 劳务报酬收入（税前）不超过4000元 劳务报酬收入（税前）减800元 20% 劳报报酬收入（税前）超过4000元 劳务报酬收入（税前）的80% 20% … … … （注：应纳税所得额单次超过两万，另有税率计算方法。）
某人某月劳务报酬应交税款为800元，那么他这个月劳务报酬收入（税前）为________元。
三、解答题：本大题共6小题，共80分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.（本小题满分13分）
设函数的定义域为A，集合。
（Ⅰ）若，求；
（Ⅱ）若集合中恰有一个整数，求实数a的取值范围。
18.（本小题满分13分）
已知数列是等差数列，为其前n项和，。
（Ⅰ）求的通项公式；
（Ⅱ）设，求数列的前n项和。
19.（本小题满分13分）
已知函数。
（Ⅰ）当时，求函数在区间上的最大值和最小值；
（Ⅱ）若函数在区间上的值恒为正数，求m的取值范围。
20.（本小题满分13分）
已知函数，其中。
（Ⅰ）求函数的单调区间；
（Ⅱ）证明函数只有一个零点。
21.（本小题满分14分）
某人销售某种商品，发现每日的销售量y（单位：kg）与销售价格x（单位：元/kg）满足关系式，其中a为常数。已知销售价格为8元/kg时，该日的销售量是80kg。
（Ⅰ）求a的值；
（Ⅱ）若该商品成本为6元/kg，求商品销售价格x为何值时，每日销售该商品所获得的利润最大。
22.（本小题满分14分）
已知函数。
（Ⅰ）当时，求函数的极值点；
（Ⅱ）若关于x的不等式恒成立，求整数m的最小值。
【试题答案】
一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分。
1.B 2.D 3.C 4.D 5.A 6.B 7.C 8.B 9.C10.B
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11.4 12. 13.
14.0； 15. 16.5000
注：一题两空的试题，第一空3分，第二空2分。
三、解答题：本大题共6小题，共80分。
17.（本小题满分13分）
解：（Ⅰ）由得：， 1分
解得，或，从而定义域为。 3分
因为，所以，解得， 4分
所以。 6分
（Ⅱ）当时，， 7分
，若只有一个整数，则整数只能是5，
所以。 9分
当时，， 10分
，若只有一个整数，则整数只能是－3，
所以。 12分
综上所述，实数a的取值范围是。 13分
18.（本小题满分13分）
解：（Ⅰ）因为，所以。 2分
因为数列是等差数列，，
所以。 4分
所以。 6分
（Ⅱ）由可得， 8分
所以。 10分
从而可知是首项，公比为4的等比数列， 11分
所以其前n项和为。 13分
19.（本小题满分13分）
解：（Ⅰ）当时，。
函数的对称轴是。 2分
所以在上，当时，有最小值； 4分
当时，有最大值。 6分
（Ⅱ）由已知，函数的对称轴是。 7分
①当时，函数的最小值为，
若函数在区间上的值恒为正数，则， 9分
解得，所以； 10分
②当时，函数的最小值为，
若函数在区间上的值恒为正数，则， 12分
解得，所以。
综上所述，实数m的取值范围是。 13分
20.（本小题满分13分）
解：（Ⅰ）。 2分
令，解得。 4分
因为时，时，，
所以函数的单调增区间是，减区间是。 6分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，是极大值，也是最大值。
且。 8分
①当时，因为，
所以在上恒为正数，函数没有零点； 10分
②当时，取，则，
因为，所以，
从而。 11分
由零点存在定理可知，在区间上函数有一个零点； 12分
因为是的减区间，所以零点只有一个。 13分
综上，函数零点只有一个。
21.（本小题满分14分）
解：（Ⅰ）因为销售价格为8元/kg时，该日的销售量是80kg，
所以，， 3分
解得。 5分
（Ⅱ）当商品成本为6元/kg时，商品销售利润为：
7分
①当时，利润， 8分
10分
所以，在区间上单调递增，在区间上单调递减，
所以时利润最大，最大值为170元。 11分
②当时，利润，
是开口向下的二次函数，对称轴是，在区间上单调递减，
所以时利润最大，为150元。 13分
综上可知，当销售价格为7元/kg，该日销售该商品的利润最大，最大值为170元。
14分
22.（本小题满分14分）
解：（Ⅰ）当时，。
， 2分
在区间上，；在区间上，。
所以，在上单调递增，在上单调递减。 4分
所以的极大值点为1，没有极小值点。 5分
（Ⅱ）令。
则不等式恒成立，即恒成立。
。 7分
①当时，因为，所以
所以在上是单调递增函数，
又因为，
所以关于x的不等式不能恒成立。 9分
②当时，。
令，因为，得，
所以当时，；当时，。
因此函数在是增函数，在是减函数。 11分
故函数的最大值为
。 12分
令，因为在上是减函数，
又因为，所以当时，。
所以整数m的最小值为2。 14分
8
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