二十世纪的数学在19世纪变革与积累的基础上，20世纪数学呈现出指数式的飞速发展。现代数学不再仅仅是代数、几何、分析等经典学科的集合，而已成为分支众多的、庞大的知识体系,并且仍在继续急剧地变化发展之中。 大体说来，数学核心领域（即核心数学，也称纯粹数学）的扩张，数学的空前广泛的应用，以及计算机与数学的相互影响,形成了现代数学研究活动的三大方面。 纯粹数学的主要趋势;应用数学的发展和计算机的影响，最后在选讲一些有代表性的成就来进一步说明20 世纪数学的特征。 纯粹数学是19世纪的遗产,在20世纪得到了巨大的发展。20 世纪纯粹数学的前沿不断挺进，产生出令人惊异的成就。 与19 世纪相比，20世纪纯粹数学的发展表现出如下主要的特征或趋势: ① 更高的抽象性; ② 更强的统一性; ③ 更深入的基础探讨。 20世纪的序幕 1900年8月，德国数学家希尔伯特在巴黎国际数学家大会上作了题为《数学问题》的著名讲演。他的讲演是这样开始的：“我们当中有谁不想揭开未来的帷幕，看一看今后的世纪里我们这门科学发展的前景和奥秘呢?我们下一代的主要数学思潮将追求什么样的特殊目标?在广阔而丰富的数学思想领域，新世纪将会带来什么样的新方法和新成果?” 希尔伯特在讲演的前言和结束语中，对各类数学问题的意义、源泉及研究方法发表了许多精辟的见解，而整个演说的主体，则是他根据19世纪数学研究的成果和发展趋势而提出的23个数学问题，这些问题涉及现代数学的许多重要领域。一个世纪以来，这些问题一直激发着数学家们浓厚的研究兴趣。 但一位科学家如此自觉、如此集中地提出一整批问题，并如此持久地影响了一门科学的发展，这在科学史上是不多见的。当然任何科学家都会受到当时科学发展的水平及其个人的科学素养、研究兴趣和思想方法等限制。希尔伯特问题未能包括拓扑学、微分几何等在20 世纪成为前沿学科的领域中的数学问题，除数学物理外很少涉及应用数学，等等。20 世纪数学的发展，远远超出了希尔伯特问题所预示的范围 。 Ⅰ纯粹数学的主要趋势 更高的抽象化是20 世纪纯粹数学的主要趋势或特征之一。这种趋势最初主要是受到了两大因素的推动，即集合论观点的渗透和公理化方法的运用。 （1）集合论观点 19 世纪末由康托尔创立的集合论，最初遭到许多数学家（包括克罗内克、克莱因和庞加莱等）的反对，但到20世纪初，这一新的理论在数学中的作用越来越明显，集合概念本身被抽象化了。在弗雷歇等人的著作(如《关于泛函演算若干问题》，1906)中集合已不必是数集或点集，而可以是任意性质的元素集合，如函数的集合，曲线的集合等等。这就使集合论能够作为一种普遍的语言而进入数学的不同领域，同时引起了数学中基本概念（如积分、函数、空间等等）的深刻变革。 （2）公理化方法 外尔曾说过：“20 世纪数学的一个十分突出的方面是公理化方法所起的作用极度增长，以前公理方法仅仅用来阐明我们所建立的理论的基础，而现在它却成为具体数学研究的工具。” 现代公理化方法的奠基人是希尔伯特。我们已经知道，虽然欧几里得已用公理化方法总结了古代的几何知识 ，但他的公理系统是不完备的。希尔伯特在1899 年发表的《几何基础》中则提出第一个完备的公理系统。与以往相比，希尔伯特公理化方法具有两个本质的飞跃。首先是希尔伯特在几何对象上达到了更深刻的抽象。欧几里得几何对所讨论的几何对象（点、线、面等）都给以描述性定义，而希尔伯特发现点、线、面的具体定义本身在数学上并不重要，它们之所以成为讨论的中心，仅仅是由于它们与所选择的公理的关系。因此希尔伯特的公理体系虽然也是从“点、线、面”这些术语开始，但它们都是纯粹抽象的对象，没有特定的具体内容。 希尔伯特考察了各公理间的相互关系，明确提出了对公理系统的基本逻辑要求，即：① 相容性，② 独立性，③ 完备性。由于上述的特点，希尔伯特的公理化方法不仅使几何学具备了严密的逻辑基础，而且逐步渗透到数学的其他领域，成为组织、综合数学知识并推动具体数学研究的强有力的工具。 集合论观点与公理化方法在20 世纪逐渐成为数学抽象的范式，它们相互结合将数学的发展引向了高度抽象的道路。这方面的发展，导致了20 世纪上半叶实变函数论、泛函分析、拓扑学和抽象代数等具有标志性的四大抽象分支的崛兴。这四大分支所创造的抽象语言、结构及方法，又渗透到数论、微分方程论、微分几何、代数几何、复变函数论及概率论等经典学科，推动它们在抽象的基础上革新提高、演化发展先以概率论为典型例子说明这种发展。 从观念上来说，泛函分析的建立体现了20 世纪在集合论影响下空间和函数这两个基本概念的进一步变革。“空间”现在被理解为某类元素的集合，这些元素按习惯被称作“点”它们之间受到某种关系的约束，这些关系被称之为空间的结构。简言之，“空间”仅仅是具有某种结构的集合，而“函数”的概念则被推广为两个空间（包括一个空间到它自身）之间的元素对应（映射）关系。其中将函数映为实数（或复数）的对应关系就是通常所称的“泛函”。 弗雷歇在将普通的微积分演算推广到函数空间方面做了大量先驱性工作，因此弗雷歇是本世纪抽象泛函分析理论的奠基人之一。 抽象空间理论与泛函分析在20 世纪上半叶有了巨大的发展，1922年波兰数学家巴拿赫提出了比希尔伯特空间更一般的赋范空间(后称巴拿赫空间)概念，用与角度概念无关的“范数”替代内积而定义距离及收敛性，极大地拓广了泛函分析的疆域。 1945年，法国数学家施瓦茨（L.Schwartz）将这些函数解释为函数空间上的连续线性泛函即广义函数，使它们有了严格的数学基础。广义函数标志着函数概念发展史上的一个新阶段。盖尔范德对广义函数论的发展也有重大贡献。 泛函分析有力地推动了其他分析分支的发展，使整个分析领域的面貌发生了巨大变化。泛函分析的观点与方法还广泛渗透到其他科学与工程技术领域。 抽象代数 在20 世纪公理化方法向各个数学领域渗透的过程中，代数的形成与发展占有特殊的地位。在19 世纪，代数学的对象已突破了数（包括用符号表示的数）的范畴，这种突破是由伽罗瓦群的概念开始的。在伽罗瓦之后，群的概念本身进一步发展，除了有限的、离散的群，又出现了无限群、连续群等。代数对象的扩张，在19 世纪还沿着其他途径进行，先后产生了许多其他的代数系统，例如，我们已提到过的四元数与超复数、域 、 理想等。 |
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