十七世纪的数学17世纪是一个创作丰富的时期,而最辉煌的成就是微积分的发明。它的出现是整个数学史也是整个人类历史的一件大事。它从生产技术和理论科学的需要中产生,同时又回过头来深刻地影响着生产技术和自然科学的发展。微积分对于今天的科技工作者来说,已经是使用非常普遍的方法了。 微积分是经过了长时间的酝酿才产生的。积分的思想,早在阿基米德时代已经萌芽,16、17世纪之交,开普勒、卡瓦列里、费马、沃利斯特别是巴罗等人作了许多准备工作。作为微分学中心问题的切线问题的探讨,却是比较晚的事,因而微分学的起点远远落在积分学之后。 17世纪的著名数学家(主要是法国)如费马、笛卡儿、罗贝瓦尔、德扎格等人都曾卷入“切线问题”的论战中。笛卡儿和费马认为切线是当两个交点重合时的割线。而罗贝瓦尔则从运动的角度出发,将切线看作描画这曲线的运动在这点的方向,这观点至今在力学上还有实际意义。 牛顿、莱布尼茨的最大功劳是将两个貌似不相关的问题联系起来,一个是切线问题(微分学的中心问题),一个是求积问题(积分学的中心问题),建立起两者之间的桥梁,用微积分基本定理或者“牛顿—莱布尼茨公式”表达出来。 在牛顿1665年5月20日手写的一页文件中,有微积分的最早记载,但他的工作长久没有人知道,直到1687年才用几何的形式摘记在他的名著《自然哲学的数学原理》中。牛顿建立微积分主要从运动学的观点出发,而莱布尼茨则是从几何学的角度去考虑。特别和巴罗的“微分三角形”有密切关系。 莱布尼茨第一篇微分学的文章1684年在《学艺》上发表,第一篇积分学的文章1686年在同一杂志发表。他所创设的符号远优于牛顿,故为后世所沿用。它的理论很快就得到洛必达、伯努利家族和欧拉等人的继承和发扬光大,到18世纪进入了一个丰收的时期。 任何一项重大发明,都不可能一开始便完整无瑕。17世纪的微积分带有严重的逻辑困难,以致受到多方面的非议。它的基础是极限论,而牛顿、莱布尼茨的极限观念是十分模糊的。究竟极限是什么,无穷小是什么,这在当时是带有根本性质的难题。尽管如此,微积分在实践方面的胜利,足以令人信服。大多数数学家暂时搁下逻辑基础不顾,勇往直前地去开拓这个新的园地。 17世纪数学发展的特点,可以概括如下:产生了几个影响很大的新领域,如解析几何、微积分、概率论、射影几何等。每一个领域都使古希腊人的成就相形见绌。 代数化的趋势,希腊数学的主体是几何学,代数的问题往往也要用几何方法去论证。17世纪的代数学比几何学占有更重要的位置,它冲破希腊人的框框,进一步向符号代数转化,几何问题常常反过来用代数方法去解决。 出现了大量新概念,如无理数、虚数、瞬时变化率、导数、积分等等,都不是经验事实的直接反映,而是由数学理论进一步抽象所产生。 数学和其他自然科学的联系更加紧密,实验科学(从伽利略开始)的兴起,促进数学的发展,而数学的成果又渗透到其他科学部门中去。许多数学家,如牛顿、莱布尼茨、笛卡儿、费马等,本身也都是天文学家、物理学家或哲学家。 数学知识广泛交流传播,希腊时代只有少数人在研究数学,直到16世纪,情况并无多大改变。17世纪研究人员大增,学术团体(学会或学院)相继成立,加上印刷业的兴旺发达,数学知识得到普遍的推广和应用。 1614年,英国的耐普尔制定了对数。
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