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接下来欧拉就集中研究这个图。 欧拉想，人们希望找到一条不重复的路线，可是这么多人的尝试都失败了，说不定这样的路线根本就不存在。于是欧拉开始考虑，这种不重复的路线是否存在，存在的解的充分必要条件是什么。经过研究欧拉找到问题的答案。 欧拉对“一笔画”问题的点进行了分析，发现一笔画有起点和终点，起点和终点重合的图形称为封闭图形，否则便称为开放图形。 他给出了欧拉图的定义。欧拉发现能够一笔画的图形必须是连通图。是指图形的各部分都有边相连。但是并不是所有的连通图都可以一笔画的。能否一笔画是由图的奇、偶点的数目来决定的。那么什么叫奇、偶点呢？与奇数条边相连的点叫做奇点；与偶数条边相连的点叫做偶点。 经过分析，欧拉得到了下面的结论：若是一个一笔画图形，要么只有两个奇点，也就是仅有起点和终点，这样一笔画成的图形是开放的； 要么没有奇点，也就是终点和起点连接起来，这样一笔画成的图形是封闭的。 1．凡是由偶点组成的连通图，一定可以一笔画成。画时可以把任一偶点为起点，最后一定能以这个点为终点画完此图。 2．凡是只有两个奇点的连通图（其余都为偶点），一定可以一笔画成。画时必须把一个奇点为起点，另一个奇点终点。 3．其他情况的图都不能一笔画出。 由于七桥问题有四个奇点，所以要找到一条经过七座桥，但每座桥只走一次的路线是不可能的。七桥问题就这样被欧拉解决了。1736年欧拉发表了图论的第一篇著名论文“哥尼斯堡七桥问题”。他在这篇论文中提出了一些图论奇数点、偶数点和欧拉图的定义以及判断有无解的定理。 “七桥问题”与欧拉和拓扑学 七桥问题是一个几何问题，但是一个以前的几何学里从来没有研究过的一类几何问题。在以前的几何学里，不论怎样移动图形，它的大小和形状都是不变的；而欧拉在解决七桥问题时，把陆地变成了点，桥梁变成了线。同时他注意到了线段的长短曲直，交点的准确方位。面积、体积等这些概念，显然在这个问题中都变得没有意义了。图中什么都可以变，唯独点线之间的相关位置，或相互连结的情况不能变。欧拉认为对这类问题的研究，属于一门新的几何学分支，他称之为“位置几何学”。但人们有时也把它叫做“橡皮几何学”。后来，这门数学分支被正式命名为“拓扑学” 欧拉对七桥问题的研究，是拓扑学研究的先声。 |
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