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第二章函数
学案4函数及其表示
导学目标：1.了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域，了解映射的
概念.2.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法等)表
示函数.3.了解简单的分段函数，并能简单应用．
自主梳理
1．函数的基本概念
(1)函数定义
设A，B是非空的，如果按照某种确定的对应关系f,使对于集合A中
的,在集合B中，称f:A→B为从集合A到集合B的一个函数，
x的取值范围A叫做函数的__________，__________________叫做函数的值域．
(2)函数的三要素
__________、________和____________．
(3)函数的表示法
表示函数的常用方法有：________、________、________.
(4)函数相等
如果两个函数的定义域和__________完全一致，则这两个函数相等，这是判定两函数相
等的依据．
(5)分段函数：在函数的________内，对于自变量x的不同取值区间，有着不同的
____________，这样的函数通常叫做分段函数．
分段函数是一个函数，它的定义域是各段取值区间的________，值域是各段值域的
________．
2．映射的概念
(1)映射的定义
设A、B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意
一个元素x,在集合B中确定的元素y与之对应，那么就称对应f:A→B为从集合A
到集合B的.
（2）由映射的定义可以看出，映射是概念的推广，函数是一种特殊的映射，
要注意构成函数的两个集合，A、B必须是数集.
自我检测
1．(2011·佛山模拟)设集合M＝{x|0≤x≤2}，N＝{y|0≤y≤2}，给出下列4个图形，其
中能表示集合M到N的函数关系的有()
A．0个B．1个
C．2个D．3个
2．(2010·湖北)函数y＝1log
0.5?4x－3?
的定义域为()
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A．(34，1)B．(34，＋∞)
C．(1，＋∞)D．(34，1)∪(1，＋∞)
3．(2010·湖北)已知函数f(x)＝
??
??
?log3x，x>0
2x，x≤0，则f(f(
1
9))等于()
A．4B.14
C．－4D．－14
4．下列函数中，与函数y＝x相同的函数是()
A．y＝x
2
xB．y＝(x)
2
C．y＝lg10xD．y＝2log2x
5．(2011·衡水月考)函数y＝lg(ax2－ax＋1)的定义域是R，求a的取值范围．
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探究点一函数与映射的概念
例1(教材改编)下列对应关系是集合P上的函数的是________．
(1)P＝Z，Q＝N，对应关系f：对集合P中的元素取绝对值与集合Q中的元素相对应；
y＝x2，x∈P，y∈Q；
（2）P={-1,1,-2,2}，Q={1，4}，对应关系:f:x→y=x2,x∈P,y∈Q;
(3)P={三角形}，Q={x|x>0}，对应关系f:对P中三角形求面积与集合Q中元素对应.
变式迁移1已知映射f:A→B.其中B．其中A＝B＝R，对应关系f：x→y＝－x2＋2x，
对于实数k∈B，在集合A中不存在元素与之对应，则k的取值范围是()
A．k>1B．k≥1
C．k<1D．k≤1
探究点二求函数的定义域
例2(1)求函数y＝x＋1＋?x－1?
0
lg?2－x?的定义域；
(2)已知函数f(2x＋1)的定义域为(0,1)，求f(x)的定义域．
变式迁移2已知函数y＝f(x)的定义域是[0,2]，那么g(x)＝f?x
2?
1＋lg?x＋1?的定义域是
________________________________________________________________________．
探究点三求函数的解析式
例3(1)已知f(2x＋1)＝lgx，求f(x)；
(2)已知f(x)是一次函数，且满足3f(x＋1)－2f(x－1)＝2x＋17，求f(x)；
(3)已知f(x)满足2f(x)＋f(1x)＝3x，求f(x)．
变式迁移3(2011·武汉模拟)给出下列两个条件：
(1)f(x＋1)＝x＋2x；
(2)f(x)为二次函数且f(0)＝3，f(x＋2)－f(x)＝4x＋2.试分别求出f(x)的解析式．
探究点四分段函数的应用
例4设函数f(x)＝
??
??
?x2＋bx＋c，x≤0，
2，x>0.若f(－4)＝f(0)，f(－2)＝－2，则关于x的
方程f(x)＝x的解的个数为()
A．1B．2C．3D．4
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变式迁移4(2010·江苏)已知函数f(x)＝
??
??
?x2＋1，x≥0，
1，x<0，则满足不等式f(1－x
2)>f(2x)的
x的范围是________________．
1．与定义域有关的几类问题
第一类是给出函数的解析式，这时函数的定义域是使解析式有意义的自变量的取值范
围；
第二类是实际问题或几何问题，此时除要考虑解析式有意义外，还应考虑使实际问题或
几何问题有意义；
第三类是不给出函数的解析式，而由f(x)的定义域确定函数f[g(x)]的定义域或由f[g(x)]
的定义域确定函数f(x)的定义域．
第四类是已知函数的定义域，求参数范围问题，常转化为恒成立问题来解决．
2．解析式的求法
求函数解析式的一般方法是待定系数法和换元法，除此还有代入法、拼凑法和方程组法．
(满分：75分)
一、选择题(每小题5分，共25分)
1．下列各组中的两个函数是同一函数的为()
(1)y1＝?x＋3??x－5?x＋3，y2＝x－5；
(2)y1＝x＋1x－1，y2＝?x＋1??x－1?；
(3)f(x)＝x，g(x)＝x2；
(4)f(x)＝3x4－x3，F(x)＝x3x－1；
(5)f1(x)＝(2x－5)2，f2(x)＝2x－5.
A．(1)(2)B．(2)(3)
C．(4)D．(3)(5)
2．函数y＝f(x)的图象与直线x＝1的公共点数目是()
A．1B．0
C．0或1D．1或2
3．(2011·洛阳模拟)已知f(x)＝
??
??
?x＋2?x≤－1?，
x2?－1
2x?x≥2?，
若f(x)＝3，则x的值是()
A．1B．1或32
C．1，32或±3D.3
4．(2009·江西)函数y＝ln?x＋1?－x2－3x＋4的定义域为()
A．(－4，－1)B．(－4,1)
C．(－1,1)D．(－1,1]
5.（2011·台州模拟）设f:x→x2是从集合A到集合B的映射，如果B={1，2}，则A∩B
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为
()
A．?B．{1}
C．?或{2}D．?或{1}
题号12345
答案
二、填空题(每小题4分，共12分)
6．下列四个命题：(1)f(x)＝x－2＋1－x有意义；(2)函数是其定义域到值域的映射；
(3)函数y＝2x(x∈N)的图象是一条直线；(4)函数y＝
??
??
?x2，x≥0，
－x2，x<0的图象是抛物线．其中
正确的命题个数是________．
7．设f(x)＝
??
??
?3x＋1?x≥0?
x2?x<0?，g(x)＝???
??2－x2?x≤1?
2?x>1?，
则f[g(3)]＝________，g[f(－12)]＝________.
8．(2010·陕西)已知函数f(x)＝
??
??
?3x＋2，x<1，
x2＋ax，x≥1，若f(f(0))＝4a，则实数a＝______.
三、解答题(共38分)
9．(12分)(1)若f(x＋1)＝2x2＋1，求f(x)的表达式；
(2)若2f(x)－f(－x)＝x＋1，求f(x)的表达式；
(3)若函数f(x)＝xax＋b，f(2)＝1，又方程f(x)＝x有唯一解，求f(x)的表达式．
10．(12分)已知f(x)＝x2＋2x－3，用图象法表示函数g(x)＝f?x?＋|f?x?|2，并写出g(x)的解
析式．
11．(14分)(2011·湛江模拟)某产品生产厂家根据以往的生产销售经验得到下面有关销售
的统计规律：每生产产品x(百台)，其总成本为G(x)万元，其中固定成本为2万元，并
且每生产100台的生产成本为1万元(总成本＝固定成本＋生产成本)，销售收入R(x)(万
元)满足R(x)＝
??
??
?－0.4x2＋4.2x－0.8，0≤x≤5，
10.2，x>5.假定该产品产销平衡，那么根据上述
统计规律：
(1)要使工厂有盈利，产品x应控制在什么范围？
(2)工厂生产多少台产品时盈利最大？此时每台产品的售价为多少？
答案自主梳理
1．(1)数集任意一个数x都有唯一确定的数f(x)和它对应定义域函数值的集合
{f(x)|x∈A}(2)定义域值域对应关系(3)解析法列表法图象法(4)对应关系
(5)定义域对应关系并集并集2.(1)都有唯一一个映射(2)函数非空
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自我检测
1．B[对于题图(1)：M中属于(1,2]的元素，在N中没有象，不符合定义；
对于题图(2)：M中属于(43，2]的元素的象，不属于集合N，因此它不表示M到N的函
数关系；对于题图(3)：符合M到N的函数关系；对于题图(4)：其象不唯一，因此也不表示
M到N的函数关系．]
2．A3.B4.C
5．解函数y＝lg(ax2－ax＋1)的定义域是R，即ax2－ax＋1>0恒成立．
①当a＝0时，1>0恒成立；
②当a≠0时，应有
??
??
?a>0，
Δ＝a2－4a<0，
∴0
综上所述，a的取值范围为0≤a<4.
课堂活动区
例1解题导引函数是一种特殊的对应，要检验给定的两个变量之间是否具有函数
关系，只需要检验：①定义域和对应关系是否给出；②根据给出的对应关系，自变量在其定
义域中的每一个值，是否都有唯一确定的函数值．
(2)
解析由于(1)中集合P中元素0在集合Q中没有对应元素，并且(3)中集合P不是数集，
所以(1)和(3)都不是集合P上的函数．由题意知，(2)正确．
变式迁移1A[由题意知，方程－x2＋2x＝k无实数根，即x2－2x＋k＝0无实数根．∴
Δ＝4(1－k)<0，∴k>1时满足题意．]
例2解题导引在(2)中函数f(2x＋1)的定义域为(0,1)是指x的取值范围还是2x＋1的
取值范围？f(x)中的x与f(2x＋1)中的2x＋1的取值范围有什么关系？
解(1)要使函数有意义，
应有
??
??
?x＋1≥0，x－1≠0，
2－x>0，
2－x≠1，
即
??
??
?x≥－1，
x≠1，
x<2，
解得
??
??
?－1≤x<2，
x≠1.
所以函数的定义域是{x|－1≤x<1或1
(2)∵f(2x＋1)的定义域为(0,1)，
∴1<2x＋1<3，
所以f(x)的定义域是(1,3)．
变式迁移2(－1，－910)∪(－910，2]
解析由
??
??
?0≤x2≤2
x＋1>0
1＋lg?x＋1?≠0
得－1
即定义域为(－1，－910)∪(－910，2]．
例3解题导引函数解析式的类型与求法
(1)若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)，可用待定系数法．
(2)已知复合函数f(g(x))的解析式，可用换元法，此时要注意变量的取值范围．
(3)已知f(x)满足某个等式，这个等式除f(x)是未知量外，还出现其他未知量，如f(－x)、
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f(1x)等，要根据已知等式再构造其他等式组成方程组，通过解方程组求出f(x)．
解(1)令2x＋1＝t，则x＝2t－1，
∴f(t)＝lg2t－1，
∴f(x)＝lg2x－1，x∈(1，＋∞)．
(2)设f(x)＝ax＋b，(a≠0)
则3f(x＋1)－2f(x－1)＝3ax＋3a＋3b－2ax＋2a－2b
＝ax＋b＋5a＝2x＋17，
∴
??
??
?a＝2，
b＋5a＝17，
∴a＝2，b＝7，故f(x)＝2x＋7.
(3)2f(x)＋f(1x)＝3x，①
把①中的x换成1x，得
2f(1x)＋f(x)＝3x，②
①×2－②，得3f(x)＝6x－3x，
∴f(x)＝2x－1x.
变式迁移3解(1)令t＝x＋1，
∴t≥1，x＝(t－1)2.
则f(t)＝(t－1)2＋2(t－1)＝t2－1，
即f(x)＝x2－1，x∈[1，＋∞)．
(2)设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，
∴f(x＋2)＝a(x＋2)2＋b(x＋2)＋c，
则f(x＋2)－f(x)＝4ax＋4a＋2b＝4x＋2.
∴
??
??
?4a＝4，
4a＋2b＝2.∴???
??a＝1，
b＝－1.
又f(0)＝3，∴c＝3，∴f(x)＝x2－x＋3.
例4解题导引①本题可以先确定解析式，然后通过解方程f(x)＝x来确定解的个
数；也可利用数形结合，更为简洁．
②对于分段函数，一定要明确自变量所属的范围，以便于选择与之相应的对应关系．
③分段函数体现了数学的分类讨论思想，相应的问题处理应分段解决．
C[方法一若x≤0，则f(x)＝x2＋bx＋c.
∵f(－4)＝f(0)，f(－2)＝－2，
∴
??
??
??－4?2＋b·?－4?＋c＝c，
?－2?2＋b·?－2?＋c＝－2，
解得
??
??
?b＝4，
c＝2.∴f(x)＝???
??x2＋4x＋2，x≤0，
2，x>0.
当x≤0，由f(x)＝x，得x2＋4x＋2＝x，
解得x＝－2，或x＝－1；
当x>0时，由f(x)＝x，得x＝2.
∴方程f(x)＝x有3个解．
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方法二由f(－4)＝f(0)且f(－2)＝－2，可得f(x)＝x2＋bx＋c的对称轴是x＝－2，且顶
点为(－2，－2)，于是可得到f(x)的简图(如图所示)．方程f(x)＝x的解的个数就是函数图象y
＝f(x)与y＝x的图象的交点的个数，所以有3个解．]
变式迁移4(－1，2－1)
解析函数f(x)＝
??
??
?x2＋1，x≥0，
1，x<0的图象如图所示：
f(1－x2)>f(2x)?
??
??
?1－x2>2x
1－x2>0，
解得－1
课后练习区
1．C[(1)定义域不同；(2)定义域不同；(3)对应关系不同；(4)定义域相同，且对应关
系相同；(5)定义域不同．]
2．C[有可能是没有交点的，如果有交点，那么对于x＝1仅有一个函数值．]
3．D[该分段函数的三段各自的值域为(－∞，1]，[0,4)，[4，＋∞)，而3∈[0,4)，∴f(x)
＝x2＝3，x＝±3，而－1
4．C
5．D[由已知x2＝1或x2＝2，解之得，x＝±1或x＝±2，若1∈A，则A∩B＝{1}，
若1?A，则A∩B＝?，
故A∩B＝?或{1}．]
6．1
解析(1)x≥2且x≤1，不存在；(2)函数是特殊的映射；(3)该图象是由离散的点组成的；
(4)该图象是两个不同的抛物线的两部分组成的，不是抛物线．故只有(2)正确．
7．73116
8．2
9．解(1)令t＝x＋1，则x＝t－1，∴f(t)＝2(t－1)2＋1＝2t2－4t＋3，∴f(x)＝2x2－4x＋
3.………………………………………………………………………………………………(4分)
(2)∵2f(x)－f(－x)＝x＋1，用－x去替换式子中的x，得2f(－x)－f(x)＝－x＋1，……(6
分)
即有
??
??
?2f?x?－f?－x?＝x＋1
2f?－x?－f?x?＝－x＋1，
解方程组消去f(－x)，得f(x)＝x3＋1.……………………………………………………(8分)
(3)由f(2)＝1得22a＋b＝1，即2a＋b＝2；
由f(x)＝x得xax＋b＝x，变形得x(1ax＋b－1)＝0，解此方程得x＝0或x＝1－ba，…(10分)
又∵方程有唯一解，
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∴1－ba＝0，解得b＝1，代入2a＋b＝2得a＝12，
∴f(x)＝2xx＋2.……………………………………………………………………………(12分)
10．解函数f(x)的图象如图所示，
……………………………………(6
分)
g(x)＝
??
??
?x2＋2x－3?x≤－3或x≥1?
0?－3
11．解依题意，G(x)＝x＋2，设利润函数为f(x)，则
f(x)＝
??
??
?－0.4x2＋3.2x－2.8，0≤x≤5，
8.2－x，x>5.………………………………………………(4分)
(1)要使工厂赢利，则有f(x)>0.
当0≤x≤5时，有－0.4x2＋3.2x－2.8>0，
得1
当x>5时，有8.2－x>0，
得x<8.2，所以5
综上所述，要使工厂赢利，应满足1
范围内．……………………………………………………………………………………(10分)
(2)当0≤x≤5时，f(x)＝－0.4(x－4)2＋3.6.
故当x＝4时，f(x)有最大值3.6.…………………………………………………………(12
分)
而当x>5时，f(x)<8.2－5＝3.2.
所以当工厂生产400台产品时，赢利最大，x＝4时，每台产品售价为R?4?4＝2.4(万元/
百台)＝240(元/台)．……………………………………………………………………………(14
分)
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